《高等代數(shù)》期末考試題A

一、 填空題 （將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分） 1、設(shè) ， ，則==_____________。 2、四階方陣，已知=，且，則=_____________。 3、三階方陣的特征值為1，-1，2，且，則的特征值為_____________。 4、若n階方陣滿足關(guān)系式，若其中是單位陣，那么=_____________。 5、設(shè)，，線性相關(guān)，則t=_____________。 二、單項(xiàng)選擇題 （每小題僅有一個正確答案，將正確答案的番號填入下表內(nèi)，每小題2分，共20分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案番 號 1、若方程成立，則x是 （A）-2或3； （B）-3或2； （C）-2或-3； （D）3或2； 2、設(shè)A、B均為n階方陣，則下列正確的公式為 （A）； （B）； （C）； （D） 3、設(shè)A為可逆n階方陣，則= （A）； （B）A； （C）； （D）； 4、下列矩陣中哪一個是初等矩陣 （A）； （B）； （C）； （D）； 5、下列命題正確的是 （A）如果有全為零的數(shù) 使，則，， 線性無關(guān)； （B）向量組，， 若其中有一個向量可由向量組線性表示，則，，線性相關(guān)； （C）向量組，， 的一個部分組線性相關(guān)，則原向量組本身線性相關(guān)； （D）向量組，，線性相關(guān)，則每一個向量都可由其余向量線性表示。 6、，，和，，，為兩個n維向量組，且 =+++ =+++ =+++ 則下列結(jié)論正確的是 （A） （B） （C） （D）無法判定 7、設(shè)A為n階實(shí)對稱方陣且為正交矩陣，則有 （A）A=E （B）A相似于E （C） （D）A合同于E 8、若是線性方程組的基礎(chǔ)解系，則+++是的 （A）解向量 （B）基礎(chǔ)解系 （C）通解； （D）A的行向量； 9、 都是n階矩陣A的特征值，，且和分別是對應(yīng)于和的特征向量，當(dāng) 滿足什么條件時，必是矩陣A的特征向量。 （A）且； （B）， （C） （D）而 10、下列哪一個二次型的矩陣是 （A）； （B）; (C); (D); 三、計(jì)算題（每小題9分，共63分） 1、設(shè)3階矩陣，， ，其中均是3維行向量，且已知行列式，，求 2、解矩陣方程，其中 ， 3、設(shè)有三維列向量組 ， ， ， 為何值時： （1）可由，，線性表示，且表示式是唯一的； （2）不能由，，線性表示； （3）可由，，線性表示，且有無窮種表示式，并寫出表示式。 4、已知四元非齊次線性方程組滿足，是的三個解向量，其中 ， 求的通解。 5、已知A=B，且， 求a , b 6、齊次線性方程組 中當(dāng)a為何值時，有非零解，并求出通解。 7、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出正交變換。 四、證明題（7分） 設(shè)A為mn矩陣，B為n 階矩陣，已知 證明：若，則 《高等代數(shù)》期末考試題A題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、 填空題 1、-10； 2、81； 3、4，6，12； 4、； 5、5； 二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案番 號 A C D B C C C A D C 三、計(jì)算題(每小題9分，共63分) 1、 （2分） =+ （4分） =+ （7分） =218+122=60 （9分） 2、 （2分） （3分） （5分） （7分） （9分） 3、設(shè) 且時，方程組有唯一解 即可由，，唯一線性表示， （2）當(dāng)時 無解 即當(dāng)時，不能由，，線性表示 （6分） （3）當(dāng)時 有無窮組解 基礎(chǔ)解系為：， 通解為 當(dāng)時 可由，，線性表示為無窮多種形式 ，為任意常數(shù) （9分） 4、的基礎(chǔ)解系含一個解 （2分） （i=1，2，3） 設(shè) （4分） 為基礎(chǔ)解系 （6分） 為特解 （8分） 故的通解為 c為任意常數(shù) （9分） 5、 （2分） （4分） （6分） 比較同次冪系數(shù)有 (8分) 解之， 得 （9分） 6、 （3分） 當(dāng)時， 有非零解 （5分） 基礎(chǔ)解系為 （8分） 通解為 c為任意常數(shù) （9分） 7、 （3分） 特征值為， （4分） 特征向量為 ，， （6分） 正交單位化為 ，， （7分） 標(biāo)準(zhǔn)型為 （8分） 正交變換為 （9分） 四、證明題（） （2分） B的每一列向量為齊次方程組的解 （4分） 由于 只有零解 （6分）