全微分與鏈式法則

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1、 第八章 8.3 8.3.1、全微分 全微分與鏈式法則 8.3.2、鏈式法則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( xoxA 一元函數(shù) y = f (x) 的微分 )()( xfxxfy xxf )( 常數(shù) A與 x 無關 ,僅與 x 有關 ),( yxfz對 ),(),( yxfyxxf 關于 x 的高階無窮小 xyxfx ),( 對 x 的 偏增量 對 x 的 偏微分 ),(),( yxfyyxf yyxf y ),( 對 y 的 偏增量 對 y 的 偏微分 yd 8.3.1、全微分 引例 : 一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響 , 問此薄片面積改變了 設面積為 A , 則 0y y

2、面積的增量為 0000 )( yxyyxxA )(00 yxyxxy yx 0 00 yxA xy 0 yx 關于 x, y的 線性主部 故 yxxyA 00 稱為函數(shù)在 的全微分 ),( 00 yx 0 x 變到 ,0 xx 分別由 其邊長 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0y 變到 , 0 yy 多少 ? 0 x x 時 0,0 yx 比 較高 22 yx 階無窮小 定義 : 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內點 ( x , y ) ),(),( yxfyyxxfz 可表示成 ,)(oyBxAz 其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，

3、 稱為函數(shù) ),( yxf 在點 (x, y) 的 全微分 , 記作 yBxAfz dd 若函數(shù)在域 D 內各點都可微 , 22 )()( yx 則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點 ( x, y) 可微 ， 處全增量 則稱此函數(shù) 在 D 內可微 . 一般地 yBxA 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 偏導數(shù)連續(xù) ),(),( yxfyyxxfz )()(li m0 oyBxA 下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系 : (1) 函數(shù)可微 函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微 ),(l i m 0 0 yyxxf y x 由微分定義 : 得 z y x 0 0 li

4、m 0 ),( yxf 函數(shù)在該點連續(xù) 偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即 定理 1(必要條件 ) 若函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微 , 則該函數(shù)在該點偏導數(shù) y z x z , yyzxxzz d ), (), ( yfyfzx x z 同樣可證 ,Byz yy zx x zz d 證 : 因函數(shù)在 點 (x, y) 可微 , 故 ,)(oyBxAz ,0y令 )( xoxA 必存在 ,且有 得到對 x 的偏增量 xx x 因此有 x zx x 0 lim A 反例 : 函數(shù) ),( yxf 易知 ,0)0,0()0,0( yx ff 但 )0,0()0,0( yfxfz y

5、x )(o 注意 : 定理 1 的逆定理不成立 . 22 )()( yx yx 22 )()( yx yx 22 )()( yx yx 0 偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 即 : 0, 2222 yx yx yx 0,0 22 yx 時例如沿路徑 0 xy因此 ,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 . 定理 2 (充分條件 ) y z x z , （證略） 若函數(shù) ),( yxfz 的偏導數(shù) ,),( 連續(xù)在點 yx則函數(shù)在該點 可微分 . yyzxxzz ddd 于是，全微分 例 1. 計算函數(shù) 在點 (2,1) 處的全微分 . yxez 解 : x z 22 2)1,2(,)1,2( eyzex

6、z yexez d2dd 22 )1,2( yz,yxey yxex )d2d(2 yxe 習慣上 , yx , 分別記為 yx d,d 例 2. 計算函數(shù) 的全微分 . y xxyz )tan ( 解 : x z yz )(c os 1 2 xy y y 1 21 2 1 x )(c os 1 2 xy x x 2 3 )21( y )(c o s 2 xy y x xy d2 1 )(cos 2 xy x y yy x d 2 yyzxxzz ddd 例 3. 計算函數(shù) 的全微分 . zyeyxu 2si n 解 : ud xd1 yy d) c os( 221 zey zy d zyez

7、 例 4.計算 的近似值 . 02.204.1 解 : 設 yxyxf ),( ,則 ),( yxfx 取 ,2,1 yx 則 )02.2,04.1(04.1 02.2 f yfxff yx )2,1()2,1()2,1( 08.102.0004.021 ),( yxfy,1yxy xxy ln 02.0,04.0 yx 內容小結 1. 微分定義 : ),( yxfz z yyxfxyxf yx ),(),( zd yyxfxyxf yx d),(d),( 22 )()( yx 2. 重要關系 : )( o 偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 偏導數(shù)連續(xù) 函數(shù)可導 函數(shù)可微 偏導數(shù)連續(xù) 函數(shù)連續(xù) 機動 目錄

8、 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習 函數(shù) ),( yxfz 在 ),( 00 yx 可微的充分條件是 ( ) ;),(),()( 00 連續(xù)在 yxyxfA ),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx 在 的某鄰域內存在 ; yyxfxyxfzC yx ),(),()( 0000 0)()( 22 yx當 時是無窮小量 ; 22 0000 )()( ),(),()( yx yyxfxyxfzD yx 0)()( 22 yx當 時是無窮小量 . 1. 選擇題 D 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,

9、0,0( 2. 設 ,co sco sco s1 co sco sco s),( zyx xzzyyxzyxf .d )0,0,0(f求 解 : x xxf co s3)0,0,( 0c os3)0,0,0( xx xf x 4 1 利用輪換對稱性 , 可得 4 1)0,0,0()0,0,0( zy ff )dd(d41 zyx 注意 : x , y , z 具有 輪換對稱性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .d,arc t an zyx yxz 求 答案 : 22 ddd yx yxxyz 3. 已知 在點 (0,0) 可微 . 備用題 在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數(shù)存在 , 續(xù) , )

10、,( yxf而 ),( yxf )0,0(),(,1si n 22 yx yx yx )0,0(),(,0 yx 證 : 1) 因 22 1s i n yx xy 0),(lim 0 0 yxf y x )0,0(f 故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導數(shù)在點 (0,0) 不連 證明函數(shù) xy 2 22 yx 所以 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),( yxf )0,0(),(,1s i n 22 yx yx xy )0,0(),(,0 yx ),( yxfx ,)0,0(),( 時當 yx ,)0,0(),( 時趨于沿射線當點 xyyxP ,0)0,( xf ;0)0,0( xf

11、 .0)0,0( yf同理 y 22 1si n yx 322 2 )( yx yx 22 1c o s yx ),(l i m )0,0(),( yxfxxx 極限不存在 , ),( yxfx 在點 (0,0)不連續(xù) ; 同理 , ),( yxf y 在點 (0,0)也不連續(xù) . xx (lim0 |21si n x 3 3 |22 x x ) |2 1c o s x 2) 3) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)()( 22 yx 4) 下面證明 )0,0(),( 在點yxf 可微 : yfxff yx )0,0()0,0( 1si nyx x 0 0 .)0,0(),( 可微在點y

12、xf 說明 : 此題表明 , 偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件 . 令 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一元復合函數(shù) )(),( xuufy 求導法則 xuuyxy dddddd 本節(jié)內容 : 一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則 二、多元復合函數(shù)的全微分 xxufuufy d)()(d)(d 微分法則 8.3.2、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則 )(),( ttfz 定理 . 若函數(shù) ,)(,)( 可導在點 ttvtu ),( vufz處偏導連續(xù) , ),( vu在點 在點 t 可導 , t v v z t u u z t z d d d d d d z 則復合函數(shù) 且有鏈式法則 vu tt 機動

13、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 全導數(shù)公式 ) 推廣 : 1) 中間變量多于兩個的情形 . 例如 , ,),( wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微 . tzdd 321 fff 2) 中間變量是多元函數(shù)的情形 .例如 , ),(,),(,),( yxvyxuvufz xz 1211 ff 2221 ff yz z z wvu vu yxyx ttt t u u z d d t v v z d d t w w z d d x u u z x v v z y u u z y v v z 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(,)(,)( twtvtu 3) ),(,),( yxvvxfz

14、當它們都具有可微條件時 , 有 x z 121 ff y z 22f fz x yx 注意 : 這里 x z x f x z 表示固定 y 對 x 求導 , x f 表示固定 v 對 x 求導 x f x v v f y v v f 與 不同 , v 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 口訣 : 連線相乘 , 分叉相加 , 單路全導 , 叉路偏導 例 1. 設 ,si n yxvyxuvez u ., yzxz 求 解 : x z veus in )co s()sin ( yxyxye yx y z )cos()si n( yxyxxe yx veus in x u u z x v v z v

15、euco s y u u z y v v z veuco s y 1 x 1 z vu yxyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 2. 設 ,s i ntvuz . d d t z z tvu tt t z d d tev tttet c os)s in( c os t u u z d d t v v z d d t z 求全導數(shù) ,teu ,c o stv 解 : tusin tcos 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 4. .)1( c o s2 的全導數(shù)設 xxz 解 : 令 u = 1+ x2 , v = cos x , 則 vuz x z d d x u u z d d

16、 x v v z d d )s in(ln21 xuuxuv vv )1l n(s i n)1(c os2)1( 221c o s2 xxxxxx x z vu x x 例 3. 求 yxyxz 2422 )3( 的偏導數(shù) . 解 : 設 ,24,3 22 yxvyxu 于是 z vu yxyxx z xuuz xvvz ,vuz 1 vvu x6 uu v ln 4 y z y u u z y v v z 12422 )3)(24(6 yxyxyxx )3l n ()3(4 222422 yxyx yx 1 vvu y2 uu v ln 2 例 4. ,sin,),( 2222 yxzezy

17、xfu zyx y u x u ,求 解 : x u 2222 zyxex yxyxeyxx 2422 si n22 )si n21(2 zyx yx u y u 2222 zyxey yxyxeyyxy 2422 sin4 )c oss in(2 x f x z z f 2222 zyxez y f yzzf 222 zyxez yxsin2 yx co s2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(1 zyxzyxf 例 5. 設 f 具有一階連續(xù)偏導數(shù) , ,),( zyxzyxfw 求 .xw 解 : 令 , zyxvzyxu x w w vu zyx zyx ),( vufw 11

18、f zyf 2 ),(2 zyxzyxfy 則 21, ff 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元復合函數(shù)的全微分 設函數(shù) ),(,),(,),( yxvyxuvufz 的全微分為 y y zx x zz ddd xxvvzxuuz d)( yyvvzyuuz d)( u z v z u z 可見無論 u , v 是自變量還是中間變量 , )dd( yyuxxu )dd( yyvxxv 則復合函數(shù) ) (fz ),(,),( yxyx ud v z vd 都可微 , 其全微分表達 形式都一樣 , 這性質叫做 全微分形式不變性 . 機動 目錄 上頁 下頁

19、返回 結束 例 6. 設 ,si n yxvyxuvez u .dz求 )c os ( )si n( yxyxe yx 例 1 . ,s in yxvyxuvez u ., yzxz 求 解 : ) (dd z uveu dsi n )c o s ()s in ( yxyxye yx )c o s ()s i n ( yxyxyexz yx )co s ()s i n( yxyxxeyz yx 所以 veu sin vveu dc os )c o s( )s i n ( yxyxe yx )(d yx )(d yx )cos ()si n( yxyxxe yx )d(d yx xd yd )d

20、d( yxxy 8.3.3 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù) 定理 1. 設函數(shù) ),( 00 yxP),( yxF ;0),( 00 yxF 則方程 00),( xyxF 在點 單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , ,)( 00 xfy 并有連續(xù) y x F F x y d d (隱函數(shù)求導公式 ) 定理證明從略， 僅就求導公式推導如下： 具有連續(xù)的偏導數(shù) ; 的 某鄰域內 可唯一確定一個 在點 的某一鄰域內滿足 ,0),( 00 yxFy 滿足條件 導數(shù) 0)(,( xfxF 兩邊對 x 求導 0dd xyyFxF y x F F x y d d 0yF ,0),()( 所確定的隱函數(shù)為方程

21、設 yxFxfy 在 ),( 00 yx 的某鄰域內 則 若 F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù) , 2 2 d d x y 2 yF 3 22 2 y xyyyxyxyxx F FFFFFFF y x F F x y d d )( y x F F y 2 yF 二階導數(shù) : )( y x F F x x y xxydd 則還可求隱函數(shù)的 xxyyxx FFFF xyyyy FFFF )( y x F F 例 4. 求由方程 0 xxey y 解法一 令 所確定的 y是 x的函數(shù)的 導數(shù) . ),( yxF xxey y x F y F yxe11 ye y x F F x y d d

22、 y y xe e 1 1 y y xe e 1 1 解法二 方程兩邊對 x 求導 01)dd(dd xyxeexy yy xydd y y xe e 1 1 定理 2 . 若函數(shù) ),( 000 zyxP ),( zyxF z y z x F F y z F F x z , 的某鄰域內具有 連續(xù)偏導數(shù) ; 則方程 0),( zyxF 在點 ),( 00 yx 并有連續(xù)偏導數(shù) ,),( 000 yxfz定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略 , 僅就求導公式推導如下 : 滿足 ;0),( 000 zyxF ,0),( 000 zyxFz 在點 滿足 : 某一鄰域內可唯

23、一確 0),(,( yxfyxF 兩邊對 x 求偏導 xF z x F F x z z y F F y z 同樣可得 ,0),(),( 所確定的隱函數(shù)是方程設 zyxFyxfz 則 zF x z 0 0),( 000 zFzyx 的某鄰域內在 例 5. 設 ,04222 zzyx 解法 1 利用隱函數(shù)求導 0422 x z x zzx zx z 2 2 2 z x x z 2 2 2)(2 xz 2 2 2 x zz 04 2 2 x z 2)(1 x z 3 22 )2( )2( z xz .2 2 x z 求 再對 x 求導 解法 2 利用公式 設 zzyxzyxF 4),( 222 則

24、,2xFx z x F F x z 兩邊對 x 求偏導 )2(2 2 z x xx z 2)2( )2( z x z xz 3 22 )2( )2( z xz 2 z x z x 2 42 zFz 內容小結 0),( yxF y x F F x y d d 0),( zyxF 1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則 “分段用乘 , 分叉用加 , 單路全導 , 叉路偏導” 例如 , ,),(,),( yxvvyxfu u vyx yx xu 1f 3f ;1 y u 2f 3f 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 隱函數(shù)求導 (1) (2) , z x F F x z z y F F y z 時 , 時 , 作業(yè) P117 1(2),(6); 8; 9; 10; 17； 18.