《高等代數(shù)》復(fù)習(xí)講座

高 等 代 數(shù) 復(fù) 習(xí) 講 座主 講 ： 趙 曉 東Email: 第 二 章 多 項 式1. 掌 握 多 項 式 的 整 除 性 的 概 念 、 性 質(zhì) 以 及 帶 余 除 法 ， 熟 練 運 用 帶 余 除 法 判 斷 和 證 明 多 項 式 之 間 的 整 除 問 題 （ p38-1、 2、 3、 7） ；2. 掌 握 多 項 式 最 大 公 因 式 的 概 念 、 性 質(zhì) （ 包 括 多 項 式 互 素 ） ；3. 掌 握 不 可 約 多 項 式 的 概 念 ,知 道 分 別 在 Q、 R、 C上 的 不 可 約多 項 式 ,會 求 多 項 式 在 不 同 數(shù) 域 上 的 典 型 分 解 式 （ p56-3、 4、 6） ；4. 掌 握 重 因 式 (重 根 )的 概 念 和 性 質(zhì) (定 理 2.5.2), 會 借 助 判 斷 是 否 有 重 因 式 (重 根 ) (p59-2、 4） ； ( ), ( ) 1f x f x ( )f x 5. 掌 握 余 式 定 理 和 綜 合 除 法 (p65-1、 2、 3、 7)；6. 掌 握 虛 根 成 對 出 現(xiàn) 定 理 (p71-3)；7. 掌 握 Eisenstein判 別 法 ,理 解 有 理 系 數(shù) 多 項 式 求 有 理 根 的 基 本思 想 .例 題 : 1.把 表 示 成 的 方 冪 和 , 2.已 知 1+i是 多 項 式 f（ x） = 的 一 個 根 ， 求 f（ x） 其 余 的 根 ,并 寫 出 其 在 C上 典 型 分 解 式 . 3.證 明 :（ ax-b） 除 多 項 式 f（ x） 的 余 式 為 . 3 2( ) 2 3 5f x x x x 2x4 3 24 5 2 2x x x x ( )bf a 第 三 章 行 列 式1. 會 計 算 排 列 的 反 序 數(shù) ；2. 會 用 定 義 計 算 行 列 式 ,掌 握 確 定 行 列 式 中 某 項 的 符 號 ；3. 會 用 性 質(zhì) 計 算 行 列 式 (化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 形 )(p121-1、 5)；4. 會 用 降 階 法 計 算 行 列 式 (借 助 代 數(shù) 余 子 式 降 階 ) (p134-1、 2(1),(4),(6)；5. 掌 握 Gramer規(guī) 則 解 線 性 方 程 組 .(p140-1) 第 四 章 線 性 方 程 組1.熟 練 運 用 對 增 廣 義 矩 陣 施 行 行 初 變 換 求 解 線 性 方 程 組 ；2.熟 練 掌 握 對 含 參 數(shù) 線 性 方 程 組 解 的 討 論 (p159-2、 5、 6)；4.掌 握 矩 陣 秩 的 概 念 ；5. 掌 握 齊 次 線 性 方 程 組 有 非 零 解 的 判 別 法 ,并 會 求 非 零 解 .例 題 : 1.若 方 程 組 有 非 零 解 ， 求 的 值及 非 零 解 ； 1 2 31 2 31 2 3 02 3 03 4 2 0 x x xx x xx x x 2.求 解 含 參 數(shù) a的 線 性 方 程 組 :1 2 31 2 31 2 3 322ax x x ax ax xx x ax 解 : 對 增 廣 矩 陣 A 施 行 行 初 等 變 換 : 221 1 3 1 1 2 1 1 21 1 2 1 1 2 0 1 1 01 1 2 1 1 3 0 1 1 3 31 1 20 1 1 00 0 2 3 3a a a aA a a a aa a a a a aaa aa a a 1 1 20 1 ( 1) 00 0 ( 1)( 2) 3( 1)aa aa a a 對 參 數(shù) a討 論 如 下 : (1).當(dāng) 1 2 , ( ) ( ) 3 ,a a r A r A 或 時方 程 組 有 唯 一 解 : 1 2 31 3,2 2ax x xa a (2). 當(dāng) 1, ( ) ( ) 1a r A r A ,方 程 組 有 無 窮 多 解 1 2 3 2 32 ( ,x x x x x 為 自 由 未 知 量 )(3). 當(dāng) 2 , ( ) 2, ( ) 3 ,a r A r A 方 程 組 無 解 . 3.求 解 含 參 數(shù) a的 線 性 方 程 組 2321 321 321 1aaxxx axaxx xxax解 ： 方 程 組 的 系 數(shù) 行 列 式 21 11 1 ( 1) ( 2)1 1a a a aa 1, 2 ) 3a a 時 , r(A)=r(A 21 2 31 1 ( 1); ;2 2 2a ax x xa a a 1 2 31 1a x x x 時 , 方 程 組 同 于2a 時a)當(dāng)方 程 組 有 唯 一 解 b)當(dāng)方 程 組 有 無 窮 多 解 方 程 組 無 解1 2 3 2 31 ( , )x x x x x 是 自 由 未 知 量c)當(dāng) 2 1 1 1 1 1 2 41 2 1 2 0 1 1 2 1 1 2 4 0 0 0 3A 第 五 章 矩 陣1.掌 握 矩 陣 的 運 算 及 運 算 律 (特 別 是 矩 陣 的 乘 法 運 算 )；2.理 解 矩 陣 的 可 逆 性 ,會 用 行 初 等 變 換 法 和 伴 隨 矩 陣 法 求 矩 陣 的逆 矩 陣 ；3.掌 握 數(shù) 乘 行 列 式 和 數(shù) 乘 矩 陣 的 區(qū) 別 .例 題 : 1.已 知 A是 n階 矩 陣 ,且 detA=2006,求 det(-2A),及 det(-2A -1) 2.設(shè) A,B都 是 n階 矩 陣 ,證 明 :若 AB可 逆 ,則 A,B都 可 逆 證 明 :因 AB可 逆 ,所 以 detAB=detAdetB 0 detA 0且 detB0,故 A,B都 可 逆 . 3.設(shè) A,B都 是 n階 矩 陣 ,證 明 :若 AB=I,則 A和 B互 為 逆 矩 陣 證 明 :因 AB=I,所 以 |AB|=|A| |B|=1,從 而 |A| 0, |B| 0 故 A， B都 可 逆 ， 于 是 A-1 =A-1I=A-1(AB) =(A-1A)B=IB=B B-1 =IB-1=(AB)B-1 =A(B-1B) =AI=A 得 證 .4. A為 n階 方 陣 ， 且 AA=I， |A | = -1， 證 明 ： I +A不 可 逆 .證 明 : 因 ( )I A AA A A A I A A IA I ( )I A I A I A 所 以 0I A 故 I A 不 可 逆 . 胸 有 成 竹 考 試 順 利祝 暑期愉快 合家歡樂