福建省《高等代數》與《線性代數》課程建設第十三次研討會

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1、福 建 省 高 等 代 數 與 線 性 代 數 課 程 建 設 第 十 三 次 研 討 會矩 陣 多 項 式 與 可 逆 矩陣 的 確 定 莆 田 學 院 數 學 系楊 忠 鵬 ， 陳 梅 香 ， 林 志 興 ， 晏 瑜 敏 ， 陳 智 雄 ， 張 金 輝 ,王 海 明 ,戴 培 培 ,曾 閩 麗 2011.4.23 寧 德 矩 陣 多 項 式 與 可 逆 陣 的 確 定問 題 解 決 的 一 種 可 行 的 解 決 方 法問 題 的 已 有 解 法問 題 的 提 出 1.問 題 的 提 出 11 0.m mm mf x a x a x ax a 是 關 于 的 次 多 項 式 ， 為 階 方

2、 陣 ， 稱為 A的 m 次 多 項 式 。x m A n 11 1 0.m mm mf A a A a A a A a E 設 （ 見 1,P45,2,P7等 ） 。 由 于 學 時 的 限 制 ， 與 數 學 專 業(yè) 的 教 學 相 關 ， 矩 陣 多 項 式 的定 義 在 矩 陣 運 算 之 后 就 作 為 正 式 的 教 學 內 容 ， 這 是 有 意 義 的 ，是 值 得 借 鑒 的 處 理 方 式 。 關 于 矩 陣 多 項 式 本 身 的 訓 練 和 例 題 習 題在 “ 線 性 代 數 ” 教 材 并 不 多 見 。 因 此 多 數 情 況 下 ， 這 樣 很 有 價 值的 教

3、 學 內 容 在 某 種 意 義 上 講 只 是 走 了 過 場 ， 或 者 有 些 教 師 就 不 講這 個 內 容 。 這 固 然 是 學 時 限 制 所 致 ， 但 缺 乏 有 啟 發(fā) 性 的 相 關 題 目也 是 一 個 重 要 的 原 因 。 A 問 題 1.1.1(見 1,P5)設 階 方 陣 2 2 0A A E n證 明 及 都 可 逆 ， 求 其 逆 。A 2A E 滿 足 問 題 1.1.2 (見 7,例 2.22)設 階 方 陣 滿 足n A 證 明 和 都 可 逆 ， 求 其 逆 。A 3A E 2 5 4 0A A E 1( )A E 求問 題 1.1.3 （ 見 9

4、,P52） 設 A滿 足 2 2 2 0A A E ， 2 2 3 0A A E 1 1 1,( ) ,( )A A E A E 求問 題 1.1.4（ 見 9,P52） 設 A 滿 足 11 A（ ） 證 明 A可 逆 且 求 12 2 2A E A E （ ） 證 明 為 可 逆 陣 ， 求2 2 3 0A A E 問 題 1.1.5（ 見 11,P98） 設 A 為 n階 矩 陣 ， 滿 足 問 題 1.1.6（ 見 12,P42 ）21 4 0 -A A A E A E （ ） 設 滿 足 證 明 可 逆 并 求 其 逆22 2 0A A A E （ ） 設 滿 足 證 明 A可 逆

5、并 求 其 逆 。 -1 -1- +3AE A E用 A表 示 及 。問 題 1.1.7（ 見 13 ， P57） 設 為 n階 矩 陣A2+2 4 0. - +3A A E A E A E 證 及 均 為 可 逆 陣 ，若 可 逆 ， 求 其 逆 。問 題 1.1.8（ 見 2， 例 1.31） 已 知 n階 矩 陣 A 滿 足 2+2 9 0. , +4A A E A A E 問 是 否 可 逆 。 證 明 和 不 同 時 可 逆 。A E 2A E證 明 和 不 同 時 可 逆 ， 并 求 出 它 們 的 逆 矩 陣 。 問 題 1.1.10(見 6,P88)設 階 方 陣 滿 足An

6、2 2 0A A E A E 2A E 問 題 1.1.9(見 6,P88)設 階 方 陣 滿 足n A 2 2 0A A E 1A 6EA A A （ ） 必 可 逆 ， 且 （ ）1( ) 6B A A A E 必 可 逆 ， 且（ C） A 必 不 可 逆 （ D） A+E必 不 可 逆 問 題 1.1.11（ 見 9,P51） 設 A為 n階 方 陣 ， 且 , 則2 2( ) 2( E)A E A 2 1A A 4E 0, (A E) 求 。問 題 1.1.12曾 作 為 2001年 全 國 碩 士 生 入 學 考 試 數 學 一 的 試 題 .問 題 1.1.12 設 A 滿 足問

7、 題 1.1.13 設 階 矩 陣 A滿 足 矩 陣 方 程 求 證 A可 逆 ， 并 求 逆 2 3 2 0,A A E 問 題 1.1.13曾 作 為 1988年 全 國 碩 士 生 入 學 統 一 考 試 數 學 四 的 試 題 . 問 題 1.1.15（ 見 3， 例 7， P42） 若 方 陣 A滿 足 方 程 2 10aA bA cE A A ， 證 明 為 可 逆 矩 陣 并 求 出 。問 題 1.1.14（ 見 8,P81） 設 n A階 方 陣 滿 足 ,2 6 8 0n nTA A R A A E 且 ，證 明 A+3E為 正 交 矩 陣 。 2 2 2 0A A E 證

8、明 A-KE（ 其 中 k為 任 意 實 數 ） 可 逆 ， 并 求 它 的 表 達 式 。問 題 1.1.16（ 見 9,P52） 設 n階 矩 陣 A 滿 足+4+nA E nA E為 可 逆 陣 ， 并 求 逆 。 設 為 正 整 數 ， 那 么可 逆 嗎 ？問 題 1.1.17（ 見 2， P56） 設 2 3 2 0,A A E 證 明 問 題 1.2.1（ 見 7 ， 例 2.23） 設 n階 矩 陣 A0 滿 足 A3=0，證 明 E-A， A+E都 可 逆 ， 并 求 逆 。問 題 1.2.2（ 見 2， 習 題 一 （ B） ， 34） 設 方 陣 A滿 足A3-2A2+9A

9、-E=0， 問 A,A-2E是 否 都 是 可 逆 矩 陣 ?如 果 是 ， 求 其 逆 。問 題 1.2.3（ 見 21 ， P43,13（ 2） ， 22,P49,18(2)）設 A 3=3A(A-E)， 證 明 E-A都 可 逆 ， 并 求 逆 。 問 題 1.3.1曾 是 1990碩 士 生 入 學 統 一 考 試 1990年 數 學 三 的 試 題 （ 見 15，P333） ， 幾 乎 所 有 的 線 性 代 數 和 高 等 代 數 教 材 都 將 問 題 1.3.1化 為 基 本 問 題 。階 矩 陣 ， 若 0kA E A （ k為 整 數 ） ， 證 明可 逆 ， 并 寫 出

10、的 表 達 式 。 1E A 問 題 1.3.1 （ 見 4,習 題 1.4.9， 5,P94， 14,習 題 3,3-4，A n為21,P34, 6, 22,P39,6) 1 2 1( )kE A E A A A 問 題 1.4.1（ 見 11， 習 題 3.2.8， 21,P50,3(2)）1 .1n nE J E Jn 證 明 可 逆 且 逆 為設 Jn為 所 有 元 素 全 為 1的 n（ 1)階 方 陣 ， 2 問 題 的 已 有 解 法下 面 抄 錄 的 11對 問 題 1.1.5的 解 答 ：(1) 由 題 設 條 件 移 項 得 ， 2 2 3A A E 等 式 左 邊 提 出

11、 公 因 子 A得 ， 2 3A A E E 13等 式 兩 邊 同 時 用 數 乘 得 ， 1 23 3A A E E 則 A為 可 逆 矩 陣 ， 且 1 2 3 3A A E (2).將 作 恒 等 變 形 +2 4 3A A E E E +2 4 8 5A A E A E E +2 4 +2 5A A E A E E 2 2 3A A E 1 4 25 A E A E E 1 12 2 45A E A E A E -為 可 逆 矩 陣 ， 且則 =- 。 這 樣 的 解 法 ， 對 問 題 1.1.1-1.1.13中 矩 陣 等 式 的 系 數 為 常 數且 有 很 好 性 質 的 情

12、 況 下 是 可 行 的 。 當 然 像 問 題 1.1.15- 1.1.17這 樣 系 數 為 字 母 的 解 決 就 得 不 那 樣 容 易 了 。 7給 出 了 問 題 1.2.1的 解 法 如 下 ：因 為 2E A E A A 2 2E E A A A E A A 2 2 3= E A A A A A 1 2所 以 和 均 可 逆 且 ，E A E A E A E A A 2 2E E A A A E A A 2E A E A A 且 2 2= 0 0E A A A A 2 2 0 0E A A A A 2 2 3= E A A A A A 1 2( )E A E A A 后 ， 問

13、 題 就 顯 得 復 雜 了 。 3那 樣 得 心 應 手 了 。 當 然 給 定 的 矩 陣 等 式 的 最 高 次 冪 之k 3 21.2.2 2 9 0題 給 定 矩 陣 等 式 的 解 決 ， 就 不 是A A A E 37的 解 法 對 給 定 的 矩 陣 等 式 是 有 效 的 ， 但 對 問0A 問 題 1.1.1-1.1.13都 是 由 一 個 矩 陣 等 式 ， 來 確 定 2或 3個 矩 陣性 來 說 是 相 當 有 意 義 的 。的 可 逆 性 求 相 應 矩 陣 。 對 給 定 的 矩 陣 等 式 來 說 ， 能 確 定 多 少 個形 如 問 題 1.1.16和 1.1

14、.17描 述 的 A-kE的 可 逆 陣 ， 這 類 問 題 就 一 般 已 有 文 獻 都 是 將 給 定 的 矩 陣 等 式 ， 看 成 是 矩 陣 的 線 性 運 算 與乘 法 運 算 的 恒 等 變 形 ， 應 用 可 逆 矩 陣 的 重 要 性 質來 解 答 ， 基 本 上 沒 有 將 教 材 上 已 經 介 紹 的 矩 陣 多 項 式 與 問 題 解 決 相聯 系 。 實 際 上 第 一 節(jié) 給 出 的 問 題 中 矩 陣 等 式 都 是 以 矩 陣 多 項 式 的 形 式1A B AB E A B （ 方 陣 ， 是 可 逆 的 且 ）3.問題解決的一種可行方法出 現 的 。 這

15、 樣 可 以 把 問 題 看 成 是 由 給 定 矩 陣 A的 化 零 多 項 式 ( ) 0f A 來 確 定 形 如 A-kE的 可 逆 性 及 逆 陣 。 定 理 3.1 n A設 階 方 陣 的 化 零 多 項 式 是 由 0,k f k 所 確 定 ， 為 常 數 。 如 果 ( )11( ) ( ) ( )2( )( 1)( ) 2 1( ) ( )( 1)! f kA kE f k E A kEf kmf k m mA kE a A kEmm （ 3.1）A kE則 可 逆 且 11 0.m mm mf x a x a x ax a 11 1 0.m mm mf A a A a

16、A a A a E 證 明 ： 由 多 項 式 的 導 數 的 性 質 及 泰 勒 中 值 定 理 知( ) 2( ) ( ) ( )( ) ( ) .2!( 1) ( )( ) ( )1( ) ( )!( 1)! f kf x f k f k x k x km mf k f km mx k x kmm （ 3.2）, (3.2)( ) 0 ( ) 0和 有這 樣 從 f A f k ( )( ) ( ) ( ) .2( 1)( ) ( )2 1( ) ( ) ( )!( 1)!f kA kE f k E A kEm mf k f km mA kE A kE f k Emm A-kE則 可 逆

17、 且 （ 3.1） 成 立 。 0A-kE f k 可在 定 理 3.1的 題 設 下 ， ， 是 否 必 有逆 ?(2,2,3), (1,1,2)A diag A E diag設 顯 然 是 可 逆 的 ， 例 3.23 2( ) 6 11 6 (1) 0從 ， 知 且 易 知f x x x x f 3 2( ) 6 11 6 0f A A A A E 3.2 ( ) 0f k A kE 例 說 明 不 是 可 逆 的 充 要 條 件 ！ 定 理 3.3 n A設 階 矩 陣 的 化 零 多 項 式 是 由 ,(0 2)A kE t t m 所 確 定 ， 如 果 可 逆 ， 則 存 在 使

18、 得(0) () ( 1)( ) ( ) ( ) . ( ) 0 ( ) 0t tf k f k f k f k f k 且 11 0.m mm mf x a x a x ax a 11 1 0.m mm mf A a A a A a A a E ()( ) 0 0,1,2., 1tf k t m 證 明 ： 如 果 結 論 不 成 立 ， 那 么 ，則 = ( ) 0ma A kEm 這 與 A-kE可 逆 矛 盾 。 ( ) 2( ) ( ) ( )( ) ( ) .2!( 1) ( )( ) ( )1( ) ( )!( 1)! f kf A f k E f k A kE A kEm mf

19、 k f km mA kE A kEmm 定 理 3.4 題 設 同 于 定 理 3.1且 設 對 的 帶 余 除 法 式（ 3.3） 如 果 ， 則 可 逆 且 x k( ) ( ) ( )f x x k g x r ( ) 0r f k A kE這 里 多 項 式 g(x) 由 （ 3.3） 確 定 .1 1( ) ( )( )A kE g Af k （ 3.4） 證 明 ： 由 帶 余 除 法 的 性 質 知 （ 3.3） 中 ， 且( )r f k ( )g x是 多 項 式 ， 這 樣 當 時 ，( ) 0f x ( ) ( ) ( )A kE g A f k E 這 說 明 可 逆

20、 ， 結 論 成 立 。A kE 除 式 為 一 次 因 式 的 帶 余 除 法 ， 有 更 為 簡 單 “ 綜 合 除 法 ”的 形 式 。 這 樣 將 矩 陣 多 項 式 與 化 零 矩 陣 等 式 相 結 合 ， 可 實施 以 下 的 步 驟 ： 對 給 定 的 化 零 矩 陣 等 式 ， 得 相 關 的 化 零 多 項 式 ；1) ( )f x 由 泰 勒 中 值 定 理 或 綜 合 除 法 給 出 的 等 價 表 示2) ( )f x （ 3.3） ； 如 果 ， 則 可 逆 ， 且 逆 陣 可3) ( ) 0f k A kE- A kE由 （ 3.1） 或 （ 3.4） 確 定 。

21、 例 3.5 問 題 1.1.5中 矩 陣 的 化 零 多 項 式 為 A（ 2） 由 （ 3.1） 得 2 2 3f x x x （ 1） ， 由 定 理 3.1知 可 逆 。 2 5f 2A E( 2) 6f 1 1 12 6 2 45 5A E E A E A E 例 3.6 問 題 1.2.1的 化 零 多 項 式 為 ， 3f x x 1 1 0f 1 1 0f A E A E從 ， 和 定 理 3.1知 , 都可 逆 。 1 1 2 11 11 2E A A E ff E A E A Ef 2E A A 1 2 E A E A A 同 理 ， 。 例 3.7 問 題 1.1.11中

22、 矩 陣 的 化 零 多 項 式A 22 2 2 1 1 1f x x x x 知 對 任 意 實 數 ， 總 有 ， 因 此 從 定 理 3.1知k 0f k A kE 是 可 逆 的 ， 從 和 （ 3.1） 知 2 2 2f k k k 1 22 1 2 22 21 22 2A kE k E A kEk k A k Ek k 問 題 1.1.17也 可 用 類 似 的 方 法 解 決 ， 從 A 的 化 零 多 項 式 2 3 2f x x x 知 2 3 2 0f n n n 由 定 理 知 對 任 意 正 整 數 來 說 A nE 可 逆 ， 且 從 2 3f n n 3.1 n和

23、(3.1) 知 1 2 1 3 2A nE f n E A nEn n 2 1 33 2 A n En n 例 3.8 問 題 1.2.2的 化 零 多 項 式 3 22 9 1f x x x x 用 2x 去 除 f x 得 綜 合 除 法 21 2 9 12 0 181 0 9 17 因 此 22 9 17f x x x ， 由 定 理 3.3知 2 17 0f 2A E， 是 可 逆 的 ， 且 1 212 917A E A E 例 3.9設 階 矩 陣 滿 足 （ k為 正 整 數 ） ， 則n A 0kA A的 化 零 多 項 式 為 ，( ) kf x x 由 定 理 3.1和 (

24、 ) 0kf t t 知 A tE 可 逆 ， 且 從 （ 3.1） 和 1 2 ( 1)( ) , ( ) ( 1) , , ( ) ! ,k k kf t kt f t k k t f t k t 知 1 2 11 ( 1)( ) ( ) ( )2k k kk k kkt E A tE kt A tE A tEt 1( )A tE 的 化 零 多 項 式 。 ， 所 以 為從 和 定 理 3.1知 是 可 逆 的 ， 由 （ 3.1） 得這 樣 2( )f x x nx nJnJ E ( )nE J即(1) 1 0f n . 1nJ n 3 10例 設 為 所 有 元 素 全 為 1的 （

25、 ） 方 陣 ， 因 此 ，, (1,1 ,1)T TnJ ee e 1 1( ) ( ) (2 ) ( )1n n nE J J E n E J En 1 1 nE Jn 3A E ( 3) 9 18 8 1 0f 例 3.11 問 題 1.1.7： 為 實 矩 陣 ， 且 證 明 ： 是 正 交 矩 陣 。證 明 ： 為 實 對 稱 矩 陣 的 化 零 多 項 式 ， 從 和 定 理 3.1知可 逆 ， 且2( ) 6 8f x x x 2 6 8 0A A E 3A E ATA A1 ( 3 ) ( 3) ( 3 )A E f E A E n n3A E 對 n階 矩 陣 A， 若 有

26、常 數 a,b存 在 ， 使 得( )( ) 0A aE A bE 稱 A為 由 a,b所 確 定 的 二 次 矩 陣 （ 見 17,18）( , ) (1,0)a b (1, 1) 2A A 2A E當 或 時 ，即 為 通 常 的 冪 等 矩 陣 或 對 合 矩 陣 ?；?由 冪 等 矩 陣 、 對 稱 矩 陣 的 特 殊 結 構 ， 特 別 是 應 用 的 廣 泛 ，現 行 的 線 性 代 數 ， 很 多 將 這 兩 類 矩 陣 作 為 教 學 內 容 ， 并且 有 定 理 3.5 （ 見 1,P110,2,p109等 ） ( ) ( )r A r A E n 2A A 當 時 （ 3.

27、5） ( ) ( )r A E r A E n 2A E當 （ 3.6） 時 a b， 當 時( )( ) 0A aE A bE 21 1( ) ( )A aE A aEb a b a 定 理 3.6 na b設 為 階 矩 陣 滿 足A( ) ( )r A aE r A bE n 證 明 ： 由 （ 3.5 ） 和 （ 3.6） 得1 1( ( ) ( ( ) )n r A aE r A aE Eb a b a 如 果 ， 則 ( )( ) 0A aE A bE 1( ) ( ( ( ) )r A aE r A aE b a Eb a ( ) ( )r A aE r A bE 應 用 二 次

28、 矩 陣 與 其 化 零 多 項 式 的 性 質 ， 很 容 易 將 冪 等 矩陣 （ 算 子 ） 的 性 質 推 廣 到 更 一 般 的 情 況 。 參 考 文 獻1.同 濟 大 學 應 用 數 學 系 編 .線 性 代 數 （ 第 四 版 ） ， 高 等 教 育 出 版 社 ， 北 京 ，2004年 4月 .2.陳 建 龍 ， 周 建 華 ， 韓 瑞 珠 ， 周 后 行 .線 性 代 數 ， 科 學 出 版 社 ， 北 京 ， 2009年 1月 . 3.吳 贛 昌 .線 性 代 數 （ 理 工 類 ） ， 中 國 人 民 大 學 出 版 社 ， 北 京 ， 2006年 6月 .5.居 于

29、馬 ， 林 翠 琴 .線 性 代 數 學 習 指 南 ， 清 華 大 學 出 版 社 ， 北 京 2005年 9月 . 4.同 濟 大 學 應 用 數 學 系 編 .線 性 代 數 .清 華 大 學 出 版 社 ， 北 京 ， 2007年 5月6.居 于 馬 ， 林 翠 琴 .線 性 代 數 簡 明 教 程 ， 清 華 大 學 出 版 社 ， 北 京 2006年 7月 . 7.鄧 輝 文 .線 性 代 數 線 性 代 數 簡 明 教 程 ， 清 華 大 學 出 版 社 ， 北 京 2008年 7月 . 9.俞 正 光 ， 劉 坤 林 ， 譚 澤 光 ， 葛 余 博 . 線 性 代 數 通 用

30、輔 導 講 義 ,線 性 代 數 簡明 教 程 ， 清 華 大 學 出 版 社 ， 北 京 2007年 4月 .8.樊 復 生 .線 性 代 數 典 型 題 典 ,東 北 大 學 出 版 社 .沈 陽 ， 2004年 3月 .12陳 懷 琛 ， 高 淑 萍 ， 楊 威 .工 程 線 性 代 數 電 子 工 業(yè) 出 版 社 ， 北 京 ,2007年 7月 .10.上 海 交 通 大 學 數 學 系 .線 性 代 數 ， 科 學 出 版 社 ， 北 京 ， 2007年 .11.陳 維 新 . 線 性 代 數 簡 明 教 程 （ 第 二 版 ） ， 清 華 大 學 出 版 社 ， 北 京 , 200

31、6年 1月 .13.曹 重 光 ， 于 憲 君 ， 張 顯 . 線 性 代 數 （ 經 管 類 ） ， 科 學 出 版 社 ， 北 京 ， 2009年14.郝 志 峰 ， 謝 日 瑞 ， 方 文 波 ， 汪 日 強 .線 性 代 數 （ 修 訂 版 ） 高 等 教 育 出 版 社 ，北 京 ,2010年 1月 . 15.黃 光 谷 ， 胡 啟 旭 ， 向 曉 亞 ， 石 先 軍 . 考 研 數 學 題 典 ,華 中 科 技 大 學 出 版 社 , 武 漢 ,2003年 5月 .16.陳 文 燈 ， 黃 先 開 .考 研 數 學 復 習 指 南 （ 理 類 ） ,世 界 圖 書 出 版 公 司

32、， 北 京2008年 2月 .17 .M. Aleksiejczyk, A. Smoktunowicz. On Properties of Quadratic Matrices. Math.Panno， 2000， 11 ： 239-248. 19 J.H. Wang, Sums and Products of Quadratic Matrices. Linear Algebra Appl.，1995， 229： 127-149.18 F. Bunger, F. Knuppel, K.Nielsen. The Product of Two Quadratic Matrice. Linear A

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