（課標通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第11講 函數(shù)模型及其應(yīng)用檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第11講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 [基礎(chǔ)題組練] 1.如圖，在不規(guī)則圖形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB于E，當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把圖形ABCD分成兩部分，設(shè)AE＝x，左側(cè)部分面積為y，則y關(guān)于x的大致圖象為(　　) 解析：選D.因為左側(cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最初面積增加得快，后來均勻增加，最后緩慢增加，只有D選項適合． 2．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)＝已知某家庭今年前四個月的煤氣費如下表： 月份 一月份 二月份 三月份 四月份 用氣量/m3 4 5 25 35 煤氣費/元 4 4 14 19 若五月份該家庭使用了22 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　) A．12.5元　　　　　　　　　 B．12元 C．11.5元 D．11元 解析：選A.由題意得C＝4.將(25，14)，(35，19)代入f(x)＝4＋B(x－A)，得解得所以f(x)＝故當x＝22時，f(22)＝12.5.故選A. 3．成都市某物流公司為了配合“北改”項目順利進行，決定把三環(huán)內(nèi)的租用倉庫搬遷到北三環(huán)外重新租地建設(shè)．已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站(　　) A．5千米處 B．4千米處 C．3千米處 D．2千米處 解析：選A.設(shè)倉庫應(yīng)建在離車站x千米處．因為倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，所以令反比例系數(shù)為m(m>0)，則y1＝.當x＝10時，y1＝＝2，所以m＝20.因為每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，所以令正比例系數(shù)為n(n>0)，則y2＝nx.當x＝10時，y2＝10n＝8，所以n＝.所以兩項費用之和為y＝y(tǒng)1＋y2＝＋≥2＝8，當且僅當＝，即x＝5時取等號．所以要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站5千米處．故選A. 4．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的函數(shù)關(guān)系為P＝P0e－kt(k，P0均為正的常數(shù))．如果在前5小時的過濾過程中污染物被排除了90%，那么排放前至少還需要過濾的時間是(　　) A.小時 B.小時 C．5小時 D．10小時 解析：選C.由題意，前5小時消除了90%的污染物．因為P＝P0e－kt，所以(1－90%)P0＝P0e－5k，所以0.1＝e－5k.設(shè)廢氣中污染物含量為1%所需過濾時間為t，由1% P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，得e－kt＝(0.1)2＝(e－5k)2＝e－10k，所以t＝10，所以排放前至少還需過濾t－5＝5(小時)．故選C. 5．(2019·河北武邑中學(xué)月考)已知某品牌商品靠廣告宣傳得到的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝a(a為常數(shù)且a>0)，廣告效應(yīng)為D＝a－A.那么對于此商品，精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費應(yīng)為________．(用常數(shù)a表示) 解析：由題意得D＝a－A＝－＋，且A≥0，所以當＝，即A＝時，D最大． 答案： 6.某人準備購置一塊占地1 800平方米的矩形地塊，中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝____________． 解析：由題意可得xy＝1 800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，當且僅當3x＝，即x＝40時取等號，所以當S取得最大值時，y＝＝45. 答案：45 7．聲強級Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lg給出，其中I為聲強(單位：W/m2)． (1)平常人交談時的聲強約為10－6W/m2，求其聲強級； (2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到的最低聲強為多少？ 解：(1)當聲強為10－6W/m2時，由公式Y(jié)＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分貝)． (2)當Y＝0時，由公式Y(jié)＝10lg 得10lg＝0. 所以＝1，即I＝10－12W/m2， 則最低聲強為10－12W/m2. 8．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年． (1)當0<x≤20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式； (2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值． 解：(1)由題意得當0<x≤4時，v＝2； 當4<x≤20時，設(shè)v＝ax＋b， 顯然v＝ax＋b在(4，20]內(nèi)是減函數(shù)， 由已知得解得 所以v＝－x＋， 故函數(shù)v＝ (2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝ 當0<x≤4時，f(x)為增函數(shù)，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 當4<x≤20時，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以當x＝10時，f(x)的最大值為12.5. 即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米． [綜合題組練] 1．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(　　) A．略有盈利 B．略有虧損 C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況 解析：選B.設(shè)該股民購進這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這支股票略有虧損． 2．(創(chuàng)新型)我們定義函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))為“下整函數(shù)”；定義y＝{x}({x}表示不小于x的最小整數(shù))為“上整函數(shù)”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停車場收費標準為每小時2元，即不超過1小時(包括1小時)收費2元，超過一小時，不超過2小時(包括2小時)收費4元，以此類推．若李剛停車時間為x小時，則李剛應(yīng)付費為(單位：元)(　　) A．2[x＋1] B．2([x]＋1) C．2{x} D．{2x} 解析：選C.如x＝1時，應(yīng)付費2元， 此時2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；當x＝0.5時，付費為2元，此時{2x}＝1，排除D，故選C. 3．一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一． 解析：當t＝0時，y＝a； 當t＝8時，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝. 當容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16 min容器中的沙子只有開始時的八分之一． 答案：16 4．(應(yīng)用型)一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x＞20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為____________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)． 解析：當0<x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當x＞20時，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝(x∈N*)． 當0<x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時，ymax＝156.而當x＞20時，160－x<140，故x＝16時取得最大年利潤． 答案：y＝(x∈N*)　16 5．某書商為提高某套叢書的銷量，準備舉辦一場展銷會．據(jù)市場調(diào)查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格．問： (1)每套叢書售價定為100元時，書商所獲得的總利潤是多少萬元？ (2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？ 解：(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，所以每套叢書的供貨價格為30＋＝32(元)， 故書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元)． (2)每套叢書售價定為x元時，由得0<x<150. 設(shè)單套叢書的利潤為P元，則P＝x－(30＋)＝x－－30， 因為0<x<150，所以150－x>0，所以P＝－[(150－x)＋]＋120， 又(150－x)＋≥2＝2×10＝20， 當且僅當150－x＝，即x＝140時等號成立， 所以Pmax＝－20＋120＝100. 故每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，為100元． 6．(綜合型)某廠有一個容量300噸的水塔，每天從早六點到晚十點供應(yīng)生活和生產(chǎn)用水，已知該廠生活用水每小時10噸，生產(chǎn)用水總量W(噸)與時間t(單位：小時，規(guī)定早晨六點時t＝0)的函數(shù)關(guān)系為W＝100，水塔的進水量有10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，進水量增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在供應(yīng)同時打開進水管，問該天進水量應(yīng)選擇幾級，既能保證該廠用水(即水塔中水不空)，又不會使水溢出？ 解：設(shè)水塔進水量選擇第n級，在t時刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100噸加進水量10nt噸，減去生活用水10t噸，再減去生產(chǎn)用水W＝100噸，即y＝100＋10nt－10t－100(0<t≤16)． 若水塔中的水量既能保證該廠用水，又不會使水溢出，則一定有0<y≤300，即0<100＋10nt－10t－100≤300， 所以－＋＋1<n≤＋＋1對一切t∈(0，16]恒成立． 因為－＋＋1＝－10＋≤， ＋＋1＝20－≥. 所以<n≤，即n＝4. 即進水量應(yīng)選擇4級．