線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/,2),3.3,線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,,,嚴格說來,,,實際控制對象都是時變系統(tǒng),,,其系統(tǒng)結構或參數(shù)隨時間變化。,,如電機的溫升導致電阻以及系統(tǒng)的數(shù)學模型變化,;,電子器件的老化使其特性也發(fā)生變化,;,,火箭燃料的消耗導致其質量以及運動方程的參數(shù)的變化等。,,但是,,,由于時變系統(tǒng)的數(shù)學模型較復雜,,,且不易于系統(tǒng)分析、優(yōu)化和控制,,,因此只要實際工程允許,,,都可將慢時變系統(tǒng)在一定范圍內近似地作為定常系統(tǒng)處理。,,但對控制目標要求較高的高精度控制系

2、統(tǒng),,,需作為時變系統(tǒng)處理。,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(,2/2),下面將討論線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解問題,,,依次討論:,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,,非齊次狀態(tài)方程的解,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,(1,/3),3.3.1,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,,,當系統(tǒng)沒有外部輸入作用時,,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為齊次狀態(tài)方程,,,可表示為,,x,’,(,t,)=,A,(,t,),x,(,t,),,這里討論其滿足初始狀態(tài),的解,也就是由初始時刻,t,0,的初始狀態(tài),x,(,t,0,),所引起的無輸入強迫項(無外力)時的,自由

3、運動,。,,為保證該齊次狀態(tài)方程,解的存在性和唯一性,,,在系統(tǒng)的時間定義域,[,t,0,,,t,f,],內,,,A,(,t,),的各元素為時間,t,的分段連續(xù)函數(shù)。,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,(2,/3),下面證明時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程,的解為,,x,(,t,)=,?(,t,,,t,0,),x,(,t,0,),,式中,,,?,(,t,,,t,0,),為時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,,,它定義為如下矩陣微分方程的解。,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,(,3/3),證明,對解表達式,x,(,t,)=,?(,t,,,t,0,),x,(,t,0,),求導,,,則有,,,且,,x,(,t,0,)

4、=,?(,t,0,,,t,0,),x,(,t,0,)=,x,(,t,0,),,說明式,x,(,t,)=,?(,t,,,t,0,),x,(,t,0,),滿足齊次狀態(tài)方程及其初始條件。,,根據(jù)微分方程解的唯一性，所以它是齊次狀態(tài)方程的解。,,,時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解表示了系統(tǒng)自由運動的特性,,,也代表了初始狀態(tài),x,(,t,0,),的轉移,,,其轉移特性完全由狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,,,t,0,),決定。,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,(1/1),3.3.2,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,,,下面進一步討論前面引入的狀態(tài)轉移矩陣,主要內容為:,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,

5、,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(1/7),1.,狀態(tài)轉移矩陣,的求解,,,對于線性時變連續(xù)系統(tǒng),,,狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,,,t,0,),是如下矩陣微分方程和初始條件,,?,’,(,t,),=,A,(,t,),?,(,t,),,,?,(,t,),|,t,=0,=,I,,,的解,,,它是一個,n,×,n,維的關于時間變量,t,和,t,0,的矩陣函數(shù)。,,,為了求得狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,,,t,0,),的表達式,,,可在時間域內對該,矩陣微分方程積分,,,即有,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(2/7),如果將上式中積分號內的,Φ,(,?,1,,,t,0,),再按上式展開,,,則有,,,,然后按此法繼續(xù)迭代

6、下去,,,并將各展開式代入式,(3-59),,,可得,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(3/7),于是,,,可得一個由無窮項之和組成的狀態(tài)轉移矩陣,?,(,t,,,t,0,),,,即,,,,,,,,上式,就是線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的計算公式。,,在一般情況下,,,它不能寫成封閉的解析形式。,,在實際應用此公式時,,,可按一定的精度要求,,,用數(shù)值積分計算方法去近似計算,t,1,時刻的,Φ,(,t,1,,,t,0,),的值。,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(4/7),當時變的系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),滿足如下條件,,,,時,,,時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的解,可以表示為,,,,,的指數(shù)形式。,,也就是說,,,

7、只有,A,(,t,),與,?,A,(,?,)d,?,滿足矩陣乘法的可交換條件時,,,上述指數(shù)表達形式的解才成立,。,,下面對這個條件給予證明。,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(5/7),將該指數(shù)表達形式,的右邊展開成級數(shù)形式,,,有,,,,如果上式,是系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,,,它必須滿足狀態(tài)轉移矩陣的定義式。,,于是,,,將上式的兩邊對時間取導數(shù),,,,,,,根據(jù)狀態(tài)轉移矩陣的解表達式,,,狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,,,t,0,),的導數(shù)可表示為,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(6/7),比較上述兩式可知,,,只有,A,(,t,),和,?,A,(,?,)d,?,滿足乘法可交換條件時,,,時變系統(tǒng)的,狀態(tài)轉移矩陣

8、可以表示為指數(shù)形式,。,,因此,,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解也可表示為指數(shù)形式,,,即,,狀態(tài)轉移矩陣的求解,(7/7),上述,A,(,t,),和,?,A,(,?,)d,?,可交換條件,一般較難以檢驗是否成立。,,事實上,,,根據(jù)該可交換條件有,,,,上式對于任意時間變量,t,和,t,0,都成立的充分必要條件是,:,對于任意的,t,1,和,t,2,,,下式成立,,A,(,t,1,),A,(,t,2,)=,A,(,t,2,),A,(,t,1,),,所以,,,實際上較易于檢驗的條件,可取代,A,(,t,),和,?,A,(,?,)d,?,可交換條件,,,成為時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的解可表示為

9、指數(shù)矩陣形式,的充分必要條件。,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,1/8),2.,狀態(tài)轉移矩陣的性質,,,時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的性質如下。,,1),,Φ(,t,,,t,)=,I,,,2),,傳遞性,,?,(,t,2,,,t,1,),?,(,t,1,,,t,0,)=,?,(,t,2,,,t,0,),,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(2,/8),證明,由于,,x,(,t,2,)=,?,(,t,2,,,t,0,),x,(,t,0,),,且,,x,(,t,2,)=,?,(,t,2,,,t,1,),x,(,t,1,)=,?,(,t,2,,,t,1,),?,(,t,1,,,t,0,),x,(,t,0,),,故有,,?,(

10、,t,2,,,t,0,),x,(,t,0,)=,?,(,t,2,,,t,1,),?,(,t,1,,,t,0,),x,(,t,0,),,由于上式對任意初始狀態(tài),x,(,t,0,),都成立,,,所以有,,?,(,t,2,,,t,0,)=,?,(,t,2,,,t,1,),?,(,t,1,,,t,0,),,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,3/8),3),,可逆性,,?,-1,(,t,,,t,0,)=,?,(,t,0,,,t,),,證明,由性質,1),和,2),,有,,?,(,t,,,t,0,),?,(,t,0,,,t,)=,?,(,t,,,t,)=,I,,故,?,-1,(,t,,,t,0,)=,?,(,t,

11、0,,,t,),成立。,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,4/8),4),對角線矩陣的狀態(tài)轉移矩陣,。,如果時變的系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),如下,表示的對角線矩陣。,,A,(,t,)=diag{,a,11,(,t,),a,22,(,t,) …,a,nn,(,t,)},,式中,,,a,ii,(,t,)(,i,=1,2,…,,n,),為標量函數(shù),,,則,A,(,t,),的狀態(tài)轉移矩陣,Φ(,t,,,t,0,),為如下對角線矩陣。,,?,(,t,,,t,0,)=diag{,?,11,(,t,,,t,0,),?,22,(,t,,,t,0,) …,?,nn,(,t,,,t,0,)},,式中,,?,ii,(,t,

12、,,t,0,)(,i,=1,2,…,,n,),為滿足如下標量微分方程的狀態(tài)轉移,函數(shù),,,,即,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,5/8),5),塊對角矩陣的狀態(tài)轉移矩陣,。,如果時變的系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),如下,表示的塊對角矩陣。,,A,(,t,)=block-diag{,A,1,(,t,),A,2,(,t,) …,A,l,(,t,)},,式中,,,A,i,(,t,)(,i,=1,2,…,,l,),為,m,i,×,m,i,維的分塊矩陣函數(shù),,,則,A,(,t,),的狀態(tài)轉移矩陣,?,(,t,,,t,0,),為如下塊對角矩陣。,,?,(,t,,,t,0,)=block-diag{,?,1,(,t,

13、,,t,0,),?,2,(,t,,,t,0,) …,?,l,(,t,,,t,0,)},,式中,,?,i,(,t,,,t,0,)(,i,=1,2,…,,l,),為滿足如下,矩陣微分方程的狀態(tài)轉移矩陣,,,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,6/8)—,例,3-9,例,3-,9,,求如下時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,,,t,0,),。,,,,,,解,首先檢驗矩陣,A,(,t,),和,?,A,(,?,)d,?,與是否可交換。,,為此計算,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,7/8)—,例,3-9,因此,,A,(,t,1,),A,(,t,2,)=,A,(,t,2,),A,(,t,1,),?,t,1,，,t,2,,即

14、矩陣,A,(,t,),和,?,A,(,?,)d,?,與滿足可交換條件,,,可由指數(shù)展開式方法計算狀態(tài)轉移矩陣,,,即,,狀態(tài)轉移矩陣的性質,(,8/8)—,例,3-9,由于,,,,,而,,,,,于是,,非齊次狀態(tài)方程的解,(1,/8),3.3.3,非齊次狀態(tài)方程的解,,,當具有外加輸入作用時,其狀態(tài)方程為如下非齊次狀態(tài)方程:,,x,’,(,t,),=,A,(,t,),x,(,t,),+,B,(,t,),u,(,t,),,該狀態(tài)方程在初始狀態(tài),(,t,),下的解,,,也就是,由初始狀態(tài),x,(,t,0,),和輸入作用,u,(,t,),所引起的系統(tǒng)狀態(tài)的運動軌跡,。,,非齊次狀態(tài)方程的解,(,2/

15、8),下面將證明當輸入,u,(,t,),為分段連續(xù)時,,,該,非齊次,狀態(tài)方程的解為,,,,,證明,先設該,非齊次,狀態(tài)方程的解為,,,顯然,,,有,,,式中,,,η,(,t,),為待定函數(shù)。,,非齊次狀態(tài)方程的解,(,3/8),將所設的解代入該狀態(tài)方程的左邊,,,有,,,,,將所設的解代入該非齊次狀態(tài)方程,的右邊,,,有,,,因此有,,,即,,非齊次狀態(tài)方程的解,(,4/8),對上式兩端積分,,,可得,,,,故該非齊次狀態(tài)方程的解為,,,,,,當系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型中輸出方程為,,y,(,t,)=,C,(,t,),x,(,t,)+,D,(,t,),u,(,t,),,時,,,系統(tǒng)的輸出為,,非齊

16、次狀態(tài)方程的解,(,5/8),比較線性定常連續(xù)系統(tǒng)與線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式:,,定常系統(tǒng),時變系統(tǒng),初始狀態(tài)的影響,初始時刻后輸入的影響,,,為脈沖響應函數(shù)與輸入的卷積,,非齊次狀態(tài)方程的解,(,6/8),與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解比較可知,,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的解的結構和形式相同,,,都為狀態(tài)的零輸入響應和零狀態(tài)響應的和。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解可視為線性時變連續(xù)系統(tǒng)相應的解的一種特殊形式。,,在,A,(,t,),為時不變時,,,時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,,,t,0,),即為定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,Φ,(,t,-,t,0,),。,,由此可以看出引入狀態(tài)轉移矩陣的重要性。,,只有引入狀態(tài)轉移矩陣,,,才能使時變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)的求解公式建立統(tǒng)一的形式。,,非齊次狀態(tài)方程的解,(,7/8),例,3-10,,求如下時變系統(tǒng)在階躍輸入時的狀態(tài)變量的值。,,,,,,,解,,由例,3-,9,有,,非齊次狀態(tài)方程的解,(,8/8),由時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解表達式,,,有,,