《復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第五章》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第五章（28頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,復(fù)變函數(shù),華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,*,*,第一節(jié) 解析函數(shù)的洛朗展式,1. 雙邊冪級(jí)數(shù),2. 解析函數(shù)的洛朗展式,3. 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,5. 典型例題,第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn),9/29/2024,1,1. 雙邊冪級(jí)數(shù),定義,稱級(jí)數(shù),（1）,為雙邊冪級(jí)數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級(jí)數(shù),為,雙邊冪級(jí)數(shù),，其中復(fù)常數(shù),負(fù)冪項(xiàng)部分,非負(fù)冪項(xiàng)部分,主要部分,解析部分,注: 主要部分與解析部分同時(shí)收斂稱冪級(jí)數(shù)收斂,9/29/2024,2,若,收
2、斂域?yàn)?的收斂半徑為R,,收斂域?yàn)?時(shí)收斂,,兩收斂域無公共部分,,兩收斂域有公共部分,H:,這時(shí),級(jí)數(shù)(1)在,圓環(huán),H,:,r,<|,z-a,|<,R,收斂于和函數(shù),f,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,),9/29/2024,3,定理,設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為,,,H:,r,<|,z-a,|<,R,(,r,≥0,,R,≤+∞),,則(1) 級(jí)數(shù)在H內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于:,,,f,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,).,(2),f,(,z,) 在,H,內(nèi)解析.,在,H,內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo),p,次(,p,=1,2,…).,(4) 函數(shù),f,(,z,)
3、可沿,H,內(nèi)曲線,C,逐項(xiàng)積分.,9/29/2024,4,定理5.2 (洛朗定理) 在圓環(huán)H:,r,<|,z,-,a,|<,R,,,,(,r,≥0,,R,≤+∞)內(nèi)解析的函數(shù),f,(,z,)必可展成雙邊,,冪級(jí)數(shù),其中,(2),2. 解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式,定義,,(2)式稱為,f,(,z,),在點(diǎn),a,處的,羅朗展式,，(3)稱為其,羅朗系數(shù),，而(2)右邊的級(jí)數(shù)則稱為,羅朗級(jí)數(shù),。,(3),注: 泰勒級(jí)數(shù)是羅朗級(jí)數(shù)的特殊情形。,3. 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,9/29/2024,5,例1,求函數(shù) 分別在圓環(huán) 及
4、 的洛朗級(jí)數(shù)。,(1)在圓環(huán) 內(nèi)， ,于是有洛朗級(jí)數(shù),(2),在圓環(huán) 上, ,,于是有洛朗級(jí)數(shù),解,9/29/2024,6,例2,求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例3,求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例4,求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,9/29/2024,7,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,定義,如果,
5、f,(,z,)在點(diǎn),a,的某一去心鄰域,K,-{,a,}： 0<|,z,-,a,|<,R,內(nèi)解析，點(diǎn),a,是,f,(,z,)的奇點(diǎn)，則稱為,f,(,z,)的,孤立奇點(diǎn),.,如果,a,為,f,(,z,)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則,f,(,z,)在點(diǎn),a,的某一去心鄰域,K-,{,a,}：0<|,z-a,|
6、 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例3,試問函數(shù) 能否在 內(nèi)展成,洛朗級(jí)數(shù)？,9/29/2024,9,第二節(jié),解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn),2. 孤立奇點(diǎn)的性質(zhì),3. Picard定理,4 . Schwarz引理,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,9/29/2024,10,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,如,a,為,f,(,z,),的孤立奇點(diǎn),則,f,(,z,),在,a,的某去心鄰域,K-{,a,},內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù),則稱,為,f,(,z,),在點(diǎn),a,的,正則部分,,而稱,為,f
7、,(,z,),在點(diǎn),a,的,主要部分,。,定義,設(shè),a,為,f,(,z,)的孤立奇點(diǎn). (1)如果,f,(,z,),在點(diǎn),a,的主要部分為零,則稱,a,為,f,(,z,),的,可去奇點(diǎn),;(2)如果,f,(,z,),在點(diǎn),a,的主要部分為有限多項(xiàng),,設(shè)為,則稱,a,為,f,(,z,),的,m,階極點(diǎn),，一階極點(diǎn)也稱為,簡單極點(diǎn),；,(3),如果,f,(,z,),在點(diǎn),a,的主要部分有無限多項(xiàng),則稱,a,為,f,(,z,),的,本性奇點(diǎn),.,9/29/2024,11,定理,若,a,為,f,(,z,),的孤立,奇點(diǎn),，則下列三條是等價(jià)的,。,因此，它們中的任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征。,(2),(1
8、),f,(,z,),在點(diǎn),a,的主要部分為零,;,(3),f,(,z,),在點(diǎn),a,的某去心鄰域內(nèi)有界,。,2.,可去奇點(diǎn)的性質(zhì),9/29/2024,12,證,,(1),?,(2).,由(1)有,因此,(2),?,(3).,因,(3),?,(1).,因主要部分的系數(shù),其中 , 可任意小，故,9/29/2024,13,Schwarz引理,如果函數(shù),f,(,z,)在單位圓|,z,|<1內(nèi)解析,并且滿足條件,f,(0)=0,|,f,(,z,)|<1(|,z,|<1)，則在單位圓|,z,|<1內(nèi)恒有|,f,(,z,)|≤|,z,|,且有 .,3.,
9、施瓦茨(Schwarz)引理,如果上式等號(hào)成立,或在圓|,z,|<1內(nèi)一點(diǎn),z,0,≠0,,處前一式等號(hào)成立,則(當(dāng)且僅當(dāng)),,,其中,α,為一實(shí)常數(shù).,9/29/2024,14,4. 極點(diǎn)的性質(zhì),定理,如果,f,(,z,)以,a,為孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是m階極點(diǎn)的特征。,(1),f,(,z,),在,a,點(diǎn)的主要部分為,(2),f,(,z,),在點(diǎn),a,的某去心鄰域內(nèi)能表示成,其中,λ,(,z,),,在點(diǎn),a,的鄰域內(nèi)解析,且,λ,(,a,),≠,0,以點(diǎn),a,為,m,階零點(diǎn)。,注意,第(3)條表明：,f,(,z,)以點(diǎn),a,為,m,階極點(diǎn)的充要條件是,以點(diǎn),
10、a,為,m,階零點(diǎn)。,定理,,f,(,z,)的孤立奇點(diǎn),a,為極點(diǎn),?,9/29/2024,15,定理,,f,(,z,)的孤立奇點(diǎn),a,為本性奇點(diǎn),?,5. 本性奇點(diǎn)的性質(zhì),定理,若,z,=,a,為,f,(,z,)的本性奇點(diǎn),且在點(diǎn),a,的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則,z,=,a,亦必為,的本性奇點(diǎn).,9/29/2024,16,奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),非孤立奇點(diǎn),支點(diǎn),可去奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),（單值函數(shù)的）,（多值函數(shù)的）,9/29/2024,17,定理,如果,a,為,f,(,z,),的本性奇點(diǎn),則對(duì)于,,任何常數(shù),A,,,不管它是有限數(shù)還是無窮,都有一個(gè)收斂與,a,的點(diǎn)列,{,z,n,},,使得,6
11、.,Picard,(皮卡)定理,定理5.9(,皮,卡(大)定理),如果,a,為,f,(,z,),的本性奇,點(diǎn),則對(duì)于每一個(gè),A,≠∞,,,除掉可能一個(gè)值,A,=,A,0,外,必有趨于,a,的無限點(diǎn)列,{,z,n,},使,f,(,z,n,)=,A,(,n,=1,2,…).,9/29/2024,18,第三節(jié) 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),定義,設(shè)函數(shù),f,(,z,),在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(去心)鄰域,,,N,-{,∞,}：+∞>|,z,|>,r,≥0,,內(nèi)解析,則稱點(diǎn),∞,為,f,(,z,),的一個(gè),孤立奇點(diǎn),.,設(shè)點(diǎn),∞,為,f,(,z,),的孤立奇點(diǎn),利用變換,,,于是,在去心鄰域:,(5.12),內(nèi)解析
12、，則,9/29/2024,19,(1),對(duì)于擴(kuò)充,z,平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域,,N-{,∞,},,有擴(kuò)充,z,/,平面上的原點(diǎn)的去心鄰域,;,(2),在對(duì)應(yīng)點(diǎn),z,與,z,/,上,函數(shù),(3),或兩個(gè)極限都不存在.,注：,9/29/2024,20,定義,,若,z,/,=0,為,的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、,m,級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則相應(yīng)地稱,z,=,∞,為,f,(,z,),,的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn),)、,m,級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).,設(shè)在去心鄰域 內(nèi)將,展成羅朗級(jí)數(shù):,9/29/2024,21,定理,/,(對(duì)應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點(diǎn)z=∞為可去奇點(diǎn)的充
13、要條件是下列三條中的任何一條成立:,,(1)f(z)在 的主要部分為零;,,(2),,(3)f(z)在 的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)有界.,9/29/2024,22,定理,/,(對(duì)應(yīng)于定理5.4),f,(,z,),的孤立奇點(diǎn),z,,=∞為m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立:,(1),f,(,z,)在,z,=∞的主要部分為,(2),f,(,z,),在,z,,=∞的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)能表成,(3),g,(,z,),=1/,f,(,z,),以,z,,=∞為m級(jí)零點(diǎn)(只要令g(,∞,)=0).,其中 在,z,,=∞的鄰域N內(nèi)解析
14、,且,9/29/2024,23,定理5.5’(對(duì)應(yīng)于定理5.5) f(z)的孤立奇點(diǎn)∞為極點(diǎn)的充要條件是,定理5.6’(對(duì)應(yīng)于定理5.6) f(z)的孤立奇點(diǎn)∞為本性奇點(diǎn)的充要條件是下列任何一條成立:,,(1)f(z)在z=∞的主要部分有無窮多項(xiàng)正冪不等于零,廣義不存在(即當(dāng)z趨向于∞時(shí),,f(z)不趨向于任何(有限或無窮)極限).,(2),9/29/2024,24,第四節(jié) 整函數(shù)與亞純函數(shù),1. 整函數(shù),2. 亞純函數(shù),9/29/2024,25,在整個(gè)z平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).,(5.14),設(shè),f(,z)為一整函數(shù),則f(z)只以z=∞為孤立奇點(diǎn),且可設(shè),1. 整函數(shù)
15、,9/29/2024,26,定理5.10 若,f,(z)為一整函數(shù),則,,(1)z=∞為,f,(z)的可去奇點(diǎn)的充要條為:,f,(z)=,c.,,,(2)z=∞為,f,(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件:,f,(z)是一個(gè)m次多項(xiàng)式,(3)z=∞為,f,(z)的本性奇點(diǎn)的充要條件為:展式(5.14)有無窮多個(gè),c,n,不等于零.(我們稱這樣的,f,(z)為超越整函數(shù)).,9/29/2024,27,定義5.6 在z平面上除極點(diǎn)外無其他類型奇點(diǎn)的單值解析函數(shù)稱為亞純函數(shù).,2. 亞純函數(shù),定理5.11 一函數(shù),f,(z)為有理函數(shù)的充要條件為:,f,(z)在擴(kuò)充平面z平面上除極點(diǎn)外沒有其它類型的奇點(diǎn).,定義5.7 非有理的亞純函數(shù)稱為超越亞純函數(shù),9/29/2024,28,
復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第五章
