第2節(jié)-平面向量基本定理及其坐標表示

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1、,高中總復(fù)習,一輪,理數(shù),高中總復(fù)習,一輪,理數(shù),第2節(jié)平面向量基本定理及其坐標表示,考綱展示,1.,了解平面向量的基本定理及其意義,.,2.,掌握平面向量的正交分解及其坐標表示,.,3.,會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算,.,4.,理解用坐標表示的平面向量共線的條件,.,知識鏈條完善,考點專項突破,知識鏈條完善,把散落的知識連起來,知識梳理,1.平面向量基本定理,如果,e,1,e,2,是同一平面內(nèi)的兩個,向量,那么對于這個平面內(nèi)任意向量,a,有且只有一對實數(shù),1,2,使,a,=,.,其中,不共線的向量,e,1,e,2,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底,.,2.,平面向量的正交分

2、解,把一個向量分解為兩個,的向量,叫做把向量正交分解,.,不共線,1,e,1,+,2,e,2,互相垂直,單位向量,3.,平面向量的坐標表示,(1),在平面直角坐標系中,分別取與,x,軸、,y,軸方向相同的兩個,i,j,作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量,a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù),x,y,使得,a,=,xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量,a,都可由,x,y,唯一確定,我們把,叫做向量,a,的坐標,記作,其中,x,叫做,a,在,x,軸上的坐標,y,叫做,a,在,y,軸上的坐標,.,(,x,y,),a,=(,x,y,),(2)若A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),則 =(x

3、,2,-x,1,y,2,-y,1,).,4.,平面向量的坐標運算,(1),若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),則,a,b,=,.,(2),若,a,=(,x,y,),則,a,=(,x,y,).,5.,向量共線的充要條件的坐標表示,若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),則,a,b,.,(x,1,x,2,y,1,y,2,),x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,對點自測,1.已知,e,1,e,2,是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底,則下列四組向量中,不能作為一組基底的是(),(A),e,1,+,e,2,和,e,1,-,e,2,(B)3,e,1,-2,e,2

4、,和4,e,2,-6,e,1,(C),e,1,+2,e,2,和,e,2,+2,e,1,(D),e,2,和,e,1,+,e,2,B,解析,:,因為,4,e,2,-6,e,1,=-2(3,e,1,-2,e,2,),所以,3,e,1,-2,e,2,與,4,e,2,-6,e,1,共線,又作為一組基底的兩個向量一定不共線,所以它們不能作為一組基底,.,故選,B.,2.,若向量,a,=(2,3),b,=(-1,2),則,a,+,b,的坐標為,(,),(A)(1,5)(B)(1,1),(C)(3,1)(D)(3,5),A,解析:,因為向量,a,=(2,3),b,=(-1,2),所以,a,+,b,=(1,5)

5、.故選A.,3.,(2018,湖南省永州市一模,),已知,a,=(1,-1),b,=(1,0),c,=(1,-2),若,a,與,m,b,-,c,平行,則,m,等于,(,),(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3,A,解析,:,由題,m,b,-,c,=(m-1,2),又因為,a,與,m,b,-,c,平行,所以,12=-(m-1),m=-1,故選,A.,4.設(shè),e,1,e,2,是平面內(nèi)一組基向量,且,a,=,e,1,+2,e,2,b,=-,e,1,+,e,2,則向量,e,1,+,e,2,可以表示為另一組基向量,a,b,的線性組合,即,e,1,+,e,2,=,a,+,b,.,答案,:,考點專項突破

6、,在講練中理解知識,考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用,答案,:,(1)D,答案,:,(2)6,(1),應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算,.,(2),用平面向量基本定理解決問題的一般思路是,:,先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決,.,反思歸納,答案,:,(1)1,答案,:,(2)-3,考點二平面向量的坐標運算,【,例,2】,(1),已知向量,a,=(5,2),b,=(-4,-3),c,=(,x,y,),若,3,a,-2,b,+,c,=,0,則,c,等于,(,),(A)(-23,-12)(B)(

7、23,12),(C)(7,0)(D)(-7,0),解析,:,(1)3,a,-2,b,+,c,=(23+x,12+y)=,0,故,x=-23,y=-12,故選,A.,反思歸納,(1),向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的,若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求向量的坐標,.,(2),解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程,(,組,),來進行求解,.,(2),設(shè)向量,a,=(1,-3),b,=(-2,4),c,=(-1,-2),若表示向量,4,a,4,b,-2,c,2(,a,-,c,),d,的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形,則向量,d,等于,(,),(A)

8、(2,6)(B)(-2,6),(C)(2,-6)(D)(-2,-6),解析,:,(2),設(shè),d,=(,x,y,),由題意知,4,a,+(4,b,-2,c,)+2(,a,-,c,)+,d,=,0,所以,(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得,x=-2,y=-6,所以,d,=(-2,-6).,故選,D.,答案,:,(1)C,(2),(2018,全國,卷,),已知向量,a,=(1,2),b,=(2,-2),c,=(1,).,若,c(2,a,+,b,),則,=,.,思考探究,:,若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),則,a,b,的充要條件是什么

9、,?,答,:,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0.,【,跟蹤訓(xùn)練,3】,(1),(2018,湖北襄陽模擬,),設(shè)向量,a,=(m,2),b,=(1,m+1),且,a,與,b,的方向相反,則實數(shù),m,的值為,(,),(A)-2,(B)1,(C)-2,或,1 (D)m,的值不存在,解析,:,(1),向量,a,=(m,2),b,=(1,m+1),因為,a,b,所以,m(m+1)=21,解得,m=-2,或,1.,當,m=1,時,a,=(1,2),b,=(1,2),a,與,b,的方向相同,舍去,;,當,m=-2,時,a,=(-2,2),b,=(1,-1),a,與,b,的方向相反,符合題意,.,故選,A.,備選例題,【,例,1】,已知向量,a,=(2,1),b,=(1,-2).,若,m,a,+n,b,=(9,-8)(m,n,R,),則,m-n,的值為,.,答案,:,-3,【,例,2】,設(shè)向量,a,=(3,3),b,=(1,-1).,若,(,a,+,b,)(,a,-,b,),則實數(shù),=,.,答案,:,3,點擊進入 應(yīng)用能力提升,