2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案 新人教A版 自主梳理 1．平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個________向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，__________一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝______________. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________. 1．不共線　有且只有　λ1e1＋λ2e2　基底 2．夾角 （1）已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b， 則∠AOB＝θ叫做向量a與b的________． (2)向量夾角θ的范圍是________，a與b同向時，夾角θ＝____；a與b反向時，夾角θ＝____. (3)如果向量a與b的夾角是________，我們說a與b垂直，記作________． 　2.(1)夾角 (2)[0，π]　0　π　(3)　a⊥b　 3．平面向量的正交分解： 把一個向量分解為兩個____________的向量，叫做把向量正交分解． 3.互相垂直 4．平面向量的坐標(biāo)表示： ①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對______叫做向量a的________，記作a＝________，其中x叫a在________上的坐標(biāo)，y叫a在________上的坐標(biāo)． 　4.(x，y)　坐標(biāo)　(x，y)　x軸　y軸　 ②設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是________的坐標(biāo)，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為__________，反之亦成立.(O是坐標(biāo)原點(diǎn)) ②終點(diǎn)A　(x，y) 注意：要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息. 5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1) 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實(shí)數(shù)λ，那么a＋b＝________________________， a－b＝________________________，λa＝________________.|a|＝____________. (x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　 （2）向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). 已知A（），B（），則＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)， 即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的__________的坐標(biāo)減去__________的坐標(biāo)． ||＝______________. (2)終點(diǎn)　始點(diǎn) 6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，則a∥b的充要條件是________________________． x1y2－x2y1＝0　 注意：.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成 ＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.同時，a∥b的充要條件也不能錯記為x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等. 7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____________________． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則△P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_______________． 7.(1) (2) 點(diǎn)評： 1.基底的不唯一性 只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的. 2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y). 當(dāng)平面向量平行移動到時，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化. 基礎(chǔ)檢測 1.設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝__________.(7,3) 2.在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為____.(－3，－5)　 3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與b平行，則k＝________.0 4.在平面坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0).給出下面的結(jié)論： ①直線OC與直線BA平行；②＋＝； ③＋＝；④＝－2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 (　C　) 　A.1 B.2 C.3 D.4 5.若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c等于 (　B　) A.3a＋b B.3a－b C.－a＋3b D.a＋3b 6．若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 A　[由x＝4知|a|＝＝5；由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要條件．] 7．設(shè)a＝，b＝，且a∥b，則銳角α為 (　　) A．30 B．45 C．60 D．75 B　[∵a∥b，∴－sin αcos α＝0， ∴sin 2α＝1,2α＝90，α＝45.] 8.已知向量a=(6，-4)，b（0，2），＝c＝a＋λb，若C點(diǎn)在函數(shù)y＝sin x的圖象上，則實(shí)數(shù)λ等于 (　　) A. B. C．－ D．－ A　[c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sin x得， －4＋2λ＝sin ＝1，解得λ＝.] 9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析　a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c， 得12－(m－1)(－1)＝0，所以m＝－1. 10.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120 .如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動， 若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是______. 解析　建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則A(1,0)，B(cos 120，sin 120)， 即B(－，)． 設(shè)＝,則＝ (cos α，sin α)． ∵＝x＋y ＝(x,0)＋＝(cos α，sin α)． ∴　∴ ∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30)． ∵0≤α≤120，∴30≤α＋30≤150. ∴x＋y有最大值2，當(dāng)α＝60時取最大值． 探究點(diǎn)一　平面向量基本定理的應(yīng)用 例1如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為 DC，BC的中點(diǎn)，已知＝c，＝d，試用c，d 表示，. 　解　方法一　設(shè)＝a，＝b，則a＝＋＝d＋， ① b＝＋＝c＋. ② 將②代入①得 a＝d＋ ∴a＝d－c＝(2d－c)，代入② 得b＝c＋(2d－c)＝(2c－d). ∴＝(2d－c)，＝(2c－d). 方法二　設(shè)＝a，＝b. 因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以＝b，＝a， 因而?， 即＝(2d－c)，＝(2c－d). 變式訓(xùn)練1 （1）如圖，平面內(nèi)有三個向量、、，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則λ＋μ的值為________． 解析 如右圖，＝＋ ＝λ＋μ 在△OCD中，∠COD＝30，∠OCD＝∠COB＝90， 可求||＝4，同理可求||＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6. （2）在△ABC中，＝，DE∥BC，與邊 AC相交于點(diǎn)E，△ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N， 如圖，設(shè)＝a，＝b，試用a和b表示. 　解　∵＝，DE∥BC，M為BC中點(diǎn)， ∴＝＝＝(b－a). 探究點(diǎn)二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2) 求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 　解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8). (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20). ∴M(0,20).又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴＝(9，－18). 變式訓(xùn)練2 （1） 已知點(diǎn)A（1，-2），若向量|與a＝(2,3)同向，||＝2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________． 解析　∵向量與a同向， ∴設(shè)＝(2t,3t) (t>0)． 由||＝2，∴4t2＋9t2＝413.∴t2＝4. ∵t>0，∴t＝2.∴＝(4,6)． 設(shè)B為(x，y)，∴　∴(5,4) （2）已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo). 解　如圖所示，設(shè)A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)， D(x，y). (1)若四邊形ABCD1為平行四邊形，則＝， 而＝(x＋1，y)，＝(－2，－5). 由＝，得 ∴∴D1(－3，－5). (2)若四邊形ACD2B為平行四邊形，則＝2. 而＝(4,0)，2＝(x－1，y＋5). ∴∴∴D2(5，－5). (3)若四邊形ACBD3為平行四邊形，則3＝. 而3＝(x＋1，y)，＝(2,5)， ∴∴∴D3(1,5). 綜上所述，平行四邊形第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，－5)或(5，－5)或(1,5). 探究點(diǎn)三　在向量平行下求參數(shù)問題 例3　已知平面內(nèi)三個向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k. (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 　解　(1)∵a＝mb＋nc，m，n∈R， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． ∴　解之得 (2)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴(3＋4k)2－(－5)(2＋k)＝0， ∴k＝－. (3)設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)， a＋b＝(2,4)， 由題意得，解得或， ∴d＝(3，－1)或d＝(5,3). 變式訓(xùn)練3?。?）已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 解析　∵a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)， 且(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5. （2）已知a＝(1,0)，b＝(2,1). ①求|a＋3b|； ②當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時，ka－b與a＋3b平行，平行時它們是同向還是反向？ 解?、?因?yàn)閍＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)， ∴|a＋3b|＝＝. ②ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， 因?yàn)閗a－b與a＋3b平行， 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－. 此時ka－b＝(k－2，－1)＝， a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)， 即此時向量a＋3b與ka－b方向相反. （3）已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4，5)，＝t1＋t2， ①求點(diǎn)P在第二象限的充要條件. ②證明：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，P三點(diǎn)共線； ③試求當(dāng)t1，t2滿足什么條件時，O，A，B，P能組成一個平行四邊形. ①解?。絫1(1,2)＋t2(3,3)＝(t1＋3t2,2t1＋3t2)， P在第二象限的充要條件是有解.∴－t20，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是___8_____. 三、解答題 11.a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 當(dāng)ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實(shí)數(shù)λ使ka＋b＝λ(a－3b)， 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，解得k＝λ＝－， ∴當(dāng)k＝－時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b). ∵λ＝－<0，∴ka＋b與a－3b反向. 12.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＋2 ＋3＝0，設(shè)Q為CP延長線與AB的交點(diǎn)，令 ＝p，試用p表示. 解　設(shè)＝a，＝b，由已知條件3＝＋2， 即3p＝a＋2b，＝λ＝(a＋2b)， 又＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝(1－μ)a＋μb， 由平面向量基本定理.解得λ＝1，因此＝λ＝p. 13.如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0，0)，B(4,1)， C(6,8). (1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)若＝2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo). 解　(1)設(shè)點(diǎn)D(x，y)，因?yàn)椋剑? 所以(x，y)＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)， 所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,7). (2)設(shè)點(diǎn)I(x，y)，則有F點(diǎn)坐標(biāo)為，(xE－2，yE－7)＝2(6－xE,8－yE) ?E，＝， ＝(x－4，y－1)，∥?(x－4)＝－3(y－1)，又∥?x＝y(tǒng)，聯(lián)立方程組可得x＝，y＝， 則點(diǎn)I的坐標(biāo)為. 14.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線； (3)若t1＝a2，求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時a的值. 8.(1)解　＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2). 當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時， 有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明　當(dāng)t1＝1時，由(1)知＝(4t2,4t2＋2). ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴A、B、M三點(diǎn)共線. (3)解　當(dāng)t1＝a2時，＝(4t2,4t2＋2a2). 又＝(4,4)，⊥，∴4t24＋(4t2＋2a2)4＝0， ∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2). 又||＝4，點(diǎn)M到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴|AB|d＝4|a2－1|＝12，解得a＝2，故所求a的值為2.