2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第33講 圓錐曲線方程及性質(zhì)教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第33講 圓錐曲線方程及性質(zhì)教案 新人教版 一.課標要求: 1.了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用; 2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程,掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì); 3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道雙曲線的有關性質(zhì)。 二.命題走向 本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎內(nèi)容,也是高考重點考查的內(nèi)容,在每年的高考試卷中一般有2~3道客觀題,難度上易、中、難三檔題都有,主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì),從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例,且選擇題、填空題和解答題都涉及到,客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質(zhì)等基礎知識和處理有關問題的基本技能、基本方法。 對于本講內(nèi)容來講,預測07年: (1)1至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題,主要是求值問題; (2)可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應用,結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。 三.要點精講 1.橢圓 (1)橢圓概念 平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點,則有。 橢圓的標準方程為:()(焦點在x軸上)或()(焦點在y軸上)。 注:①以上方程中的大小,其中; ②在和兩個方程中都有的條件,要分清焦點的位置,只要看和的分母的大小。例如橢圓(,,)當時表示焦點在軸上的橢圓;當時表示焦點在軸上的橢圓。 (2)橢圓的性質(zhì) ①范圍:由標準方程知,,說明橢圓位于直線,所圍成的矩形里; ②對稱性:在曲線方程里,若以代替方程不變,所以若點在曲線上時,點也在曲線上,所以曲線關于軸對稱,同理,以代替方程不變,則曲線關于軸對稱。若同時以代替,代替方程也不變,則曲線關于原點對稱。 所以,橢圓關于軸、軸和原點對稱。這時,坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是對稱中心,橢圓的對稱中心叫橢圓的中心; ③頂點:確定曲線在坐標系中的位置,常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中,令,得,則,是橢圓與軸的兩個交點。同理令得,即,是橢圓與軸的兩個交點。 所以,橢圓與坐標軸的交點有四個,這四個交點叫做橢圓的頂點。 同時,線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別為和,和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 由橢圓的對稱性知:橢圓的短軸端點到焦點的距離為;在中,,,,且,即; ④離心率:橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?!撸?,且越接近,就越接近,從而就越小,對應的橢圓越扁;反之,越接近于,就越接近于,從而越接近于,這時橢圓越接近于圓。當且僅當時,,兩焦點重合,圖形變?yōu)閳A,方程為。 2.雙曲線 (1)雙曲線的概念 平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線()。 注意:①(*)式中是差的絕對值,在條件下;時為雙曲線的一支(含的一支);時為雙曲線的另一支(含的一支);②當時,表示兩條射線;③當時,不表示任何圖形;④兩定點叫做雙曲線的焦點,叫做焦距。 橢圓和雙曲線比較: 橢 圓 雙 曲 線 定義 方程 焦點 注意:如何有方程確定焦點的位置! (2)雙曲線的性質(zhì) ①范圍:從標準方程,看出曲線在坐標系中的范圍:雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即,即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。 ②對稱性:雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的,這時,坐標軸是雙曲線的對稱軸,原點是雙曲線的對稱中心,雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 ③頂點:雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里,對稱軸是軸,所以令得,因此雙曲線和軸有兩個交點,他們是雙曲線的頂點。 令,沒有實根,因此雙曲線和y軸沒有交點。 1)注意:雙曲線的頂點只有兩個,這是與橢圓不同的(橢圓有四個頂點),雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。 2)實軸:線段叫做雙曲線的實軸,它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸:線段叫做雙曲線的虛軸,它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。 ④漸近線:注意到開課之初所畫的矩形,矩形確定了兩條對角線,這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看,雙曲線的各支向外延伸時,與這兩條直線逐漸接近。 ⑤等軸雙曲線: 1)定義:實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式:; 2)等軸雙曲線的性質(zhì):(1)漸近線方程為: ;(2)漸近線互相垂直。 注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一,即可推知雙曲線為等軸雙曲線,同時其他幾個亦成立。 3)注意到等軸雙曲線的特征,則等軸雙曲線可以設為: ,當時交點在軸,當時焦點在軸上。 ⑥注意與的區(qū)別:三個量中不同(互換)相同,還有焦點所在的坐標軸也變了。 3.拋物線 (1)拋物線的概念 平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點,定直線l叫做拋物線的準線。 方程叫做拋物線的標準方程。 注意:它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上,焦點坐標是F(,0),它的準線方程是 ; (2)拋物線的性質(zhì) 一條拋物線,由于它在坐標系的位置不同,方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式:,,.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表: 標準方程 圖形 焦點坐標 準線方程 范圍 對稱性 軸 軸 軸 軸 頂點 離心率 說明:(1)通徑:過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑;(2)拋物線的幾何性質(zhì)的特點:有一個頂點,一個焦點,一條準線,一條對稱軸,無對稱中心,沒有漸近線;(3)注意強調(diào)的幾何意義:是焦點到準線的距離。 四.典例解析 題型1:橢圓的概念及標準方程 例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程: (1)兩個焦點的坐標分別是、,橢圓上一點到兩焦點距離的和等于; (2)兩個焦點的坐標分別是、,并且橢圓經(jīng)過點; (3)焦點在軸上,,; (4)焦點在軸上,,且過點; (5)焦距為,; (6)橢圓經(jīng)過兩點,。 解析:(1)∵橢圓的焦點在軸上,故設橢圓的標準方程為(), ∵,,∴, 所以,橢圓的標準方程為。 (2)∵橢圓焦點在軸上,故設橢圓的標準方程為(), 由橢圓的定義知, , ∴,又∵,∴, 所以,橢圓的標準方程為。 (3)∵,∴,① 又由代入①得, ∴,∴,又∵焦點在軸上, 所以,橢圓的標準方程為。 (4)設橢圓方程為, ∴,∴, 又∵,∴, 所以,橢圓的標準方程為. (5)∵焦距為,∴, ∴,又∵,∴,, 所以,橢圓的標準方程為或. (6)設橢圓方程為(), 由得, 所以,橢圓方程為. 點評:求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義,還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關系。 例2.(1)(06山東)已知橢圓中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的標準方程是 。 (2)(06天津理,8)橢圓的中心為點,它的一個焦點為,相應于焦點的準線方程為,則這個橢圓的方程是( ) A. B. C. D. 解析:(1)已知為所求; (2)橢圓的中心為點它的一個焦點為 ∴ 半焦距,相應于焦點F的準線方程為 ∴ ,,則這個橢圓的方程是,選D。 點評:求橢圓方程的題目屬于中低檔題目,掌握好基礎知識就可以。 題型2:橢圓的性質(zhì) 例3.(1)(06山東理,7)在給定橢圓中,過焦點且垂直于長軸的弦長為,焦點到相應準線的距離為1,則該橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D) (2)(xx全國,15)設橢圓=1(a>b>0)的右焦點為F1,右準線為l1,若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離,則橢圓的離心率是 。 解析:(1)不妨設橢圓方程為(a>b>0),則有,據(jù)此求出e=,選B。 (2);解析:由題意知過F1且垂直于x軸的弦長為, ∴,∴,∴,即e=。 點評:本題重點考查了橢圓的基本性質(zhì)。 例4.(1)(xx京皖春,9)橢圓短軸長是2,長軸是短軸的2倍,則橢圓中心到其準線距離是( ) A. B. C. D. (2)(xx全國理,2)橢圓=1的焦點為F1和F2,點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上,那么|PF1|是|PF2|的( ) A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解析:(1)D;由題意知a=2,b=1,c=,準線方程為x=, ∴橢圓中心到準線距離為. (2)A;不妨設F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)由條件得P(3,),即|PF2|=,|PF1|=,因此|PF1|=7|PF2|,故選A。 點評:本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想,具有較強的思辨性,是高考命題的方向。 題型3:雙曲線的方程 例5.(1)已知焦點,雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于,求雙曲線的標準方程; (2)求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程; (3)已知雙曲線的焦點在軸上,并且雙曲線上兩點坐標分別為,求雙曲線的標準方程。 解析:(1)因為雙曲線的焦點在軸上,所以設它的標準方程為, ∵,∴,∴。 所以所求雙曲線的方程為; (2)橢圓的焦點為,可以設雙曲線的方程為,則。 又∵過點,∴。 綜上得,,所以。 點評:雙曲線的定義;方程確定焦點的方法;基本量之間的關系。 (3)因為雙曲線的焦點在軸上,所以設所求雙曲線的標準方程為①; ∵點在雙曲線上,∴點的坐標適合方程①。 將分別代入方程①中,得方程組: 將和看著整體,解得, ∴即雙曲線的標準方程為。 點評:本題只要解得即可得到雙曲線的方程,沒有必要求出的值;在求解的過程中也可以用換元思想,可能會看的更清楚。 例6.(06上海卷)已知雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為,則雙曲線的標準方程是____________________. 解析:雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上,且a=3,焦距與虛軸長之比為,即,解得,則雙曲線的標準方程是; 點評:本題主要考查雙曲線的基礎知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,更為直觀簡捷。 題型4:雙曲線的性質(zhì) 例7.(1)(06福建卷)已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) (2)(06湖南卷)過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( ) A. B. C. D. (3)(06陜西卷)已知雙曲線 - =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為( ) A.2 B. C. D. 解析:(1)雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率, ∴ ≥,離心率e2=,∴ e≥2,選C。 (2)過雙曲線的左頂點(1,0)作斜率為1的直線:y=x-1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯(lián)立方程組代入消元得, ∴ ,x1+x2=2x1x2, 又,則B為AC中點,2x1=1+x2,代入解得, ∴ b2=9,雙曲線的離心率e=,選A。 (3)雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為,則,∴ a2=6,雙曲線的離心率為 ,選D。 點評:高考題以離心率為考察點的題目較多,主要實現(xiàn)三元素之間的關系。 例8.(1)(06江西卷)P是雙曲線的右支上一點,M、N分別是圓(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的點,則|PM|-|PN|的最大值為( ) A. 6 B.7 C.8 D.9 (2)(06全國卷I)雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍,則 A. B. C. D. (3)(06天津卷)如果雙曲線的兩個焦點分別為、,一條漸近線方程為,那么它的兩條準線間的距離是( ) A. B. C. D. 解析:(1)設雙曲線的兩個焦點分別是F1(-5,0)與F2(5,0),則這兩點正好是兩圓的圓心,當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大,此時|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故選B。 (2)雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍,∴ m<0,且雙曲線方程為,∴ m=,選A。 (3)如果雙曲線的兩個焦點分別為、,一條漸近線方程為, ∴ ,解得,所以它的兩條準線間的距離是,選C。 點評:關于雙曲線漸近線、準線及許多距離問題也是考察的重點。 題型5:拋物線方程 例9.(1))焦點到準線的距離是2; (2)已知拋物線的焦點坐標是F(0,2),求它的標準方程。 解析:(1)y=4x,y=4x,x=4y,x=4y; 方程是x=8y。 點評:由于拋物線的標準方程有四種形式,且每一種形式中都只含一個系數(shù)p,因此只要給出確定p的一個條件,就可以求出拋物線的標準方程。當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后,它的標準方程就唯一確定了;若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定,則所求的標準方程就會有多解。 題型6:拋物線的性質(zhì) 例10.(1)(06安徽卷)若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則的值為( ) A. B. C. D. (2)(浙江卷)拋物線的準線方程是( ) (A) (B) (C) (D) (3)(06上海春)拋物線的焦點坐標為( ) (A). (B). (C). (D) 解析:(1)橢圓的右焦點為(2,0),所以拋物線的焦點為(2,0),則,故選D; (2)2p=8,p=4,故準線方程為x=-2,選A; (3)(直接計算法)因為p=2 ,所以拋物線y2=4x的焦點坐標為 。應選B。 點評:考察拋物線幾何要素如焦點坐標、準線方程的題目根據(jù)定義直接計算機即可。 例11.(1)(全國卷I)拋物線上的點到直線距離的最小值是( ) A. B. C. D. (2)(xx全國文,16)對于頂點在原點的拋物線,給出下列條件: ①焦點在y軸上; ②焦點在x軸上; ③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6; ④拋物線的通徑的長為5; ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線,垂足坐標為(2,1)。 (3)(xx廣東、河南,10)對于拋物線y2=4x上任意一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 C.[0,2] D.(0,2) 能使這拋物線方程為y2=10x的條件是 .(要求填寫合適條件的序號) 解析:(1)設拋物線上一點為(m,-m2),該點到直線的距離為,當m=時,取得最小值為,選A; (2)答案:②,⑤ 解析:從拋物線方程易得②,分別按條件③、④、⑤計算求拋物線方程,從而確定⑤。 (3)答案:B 解析:設點Q的坐標為(,y0), 由 |PQ|≥|a|,得y02+(-a)2≥a2. 整理,得:y02(y02+16-8a)≥0, ∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0. 即a≤2+恒成立.而2+的最小值為2. ∴a≤2.選B。 點評:拋物線問題多考察一些距離、最值及范圍問題。 五.思維總結(jié) 在復習過程中抓住以下幾點: (1)堅持源于課本、高于課本,以考綱為綱的原則。高考命題的依據(jù)是《高考說明》.并明確考點及對知識點與能力的要求作出了明確規(guī)定,其實質(zhì)是精通課本,而本章考題大多數(shù)是課本的變式題,即源于課本,因此掌握雙基、精通課本是關鍵; (2)在注重解題方法、數(shù)學思想的應用的同時注意一些解題技巧,橢圓、雙曲線、拋物線的定義揭示了各自存在的條件、性質(zhì)及幾何特征與圓錐曲線的焦點、焦半徑、準線、離心率有關量的關系問題,若能用定義法,可避免繁瑣的推理與運算; (3)焦半徑公式:拋物線上一點P(x1,y1),F(xiàn)為拋物線的焦點,對于四種拋物線的焦半徑公式分別為(p>0):- 配套講稿:
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