中考數學專題'胡不歸'經典講解

胡不歸 知識背景： 從前，有一個小伙子在外地當學徒，當他獲悉在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖1所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側全是沙礫地帶），當他氣喘吁吁地趕到父親眼前時，老人剛剛咽了氣，小伙子不覺失聲痛哭，鄰舍勸慰小伙子時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他應該選擇條怎樣的路線呢？這就是風靡千年的“胡不歸問題”. 由于在驛道和沙礫地的行走速度不一樣，那么，小伙子有沒有可能先在驛道上走一程后，再走沙礫地，雖然多走了路，但反而總用時更短呢？ 設在沙礫地行駛速度為，在驛道行駛速度為，顯然＜. 思路：不妨假設從C處進入砂礫地.設總共用時為t,t=+=(BC+AC). 因為，是確定的，所以只要(BC+AC)最小，用時就最少?？梢訟為頂點作一條射線ON，使得∠MAN=α，且sinα=,過點C作AN的垂線，交于點E，這樣AC=CE,當點B、C、E在一條直線上時，即過點B作AN的垂線交AM于點D，交AN于點F，即(BC+AC)的值最小為BF，小伙子可以先在驛道上走到點D處，然后再走砂礫地。這樣時間可以更短。 總結：在驛道上從點A走到點D的距離，其實就相當于，在砂礫上走了DF的距離，而 AB>BF,所以從點A直接到點B，用的時間肯定比先從點A到D再從點D到B所有的時間。 “胡不歸”模型建立： 如圖所示，已知sin∠MBN=k，點 P為角∠MBN其中一邊 BM上的一個動點，點A在射線BM、BN的同側，連接AP，則當“PA+kPB”最小時，P點的位置如何確定? (構造的角的正弦值為PB線段的系數值) 分析：本題的關鍵在于如何確定“kPB”系數化為1，過點P作 PQ⊥BN垂足為Q，則 kPB=PBsin∠MBN=PQ, “PA+kPB”的最小值轉化為求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三點共線時最小。 證明：直線外一點到直線上任意一點的距離垂線段最短，也就是點到直線的距離。 注意:當k值大于1時，則提取k，構造某角正弦值等于系數 解題策略：“胡不歸”模型中涉及到兩個定點，一個動點，且動點在直線上運動。 第一步：在系數不為1的線段的定端點處作一個角，使其的正弦值等 于此線段的系數.（注意題目中有無特殊角） 第二步：過動點作上一步的角的邊的垂線，構造直角三角形. 第三步：根據兩點之間線段最短，找到最小值的位置. 第四步：計算. 例題講解： 如圖四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60，M為對角線BD（不含B 點）上任意一點,則 AM+BM 的最小值為 . 解題思路：此題點A,B是定點，點M在BD上運動。可將 BM化為系數為1的線段，題目出現(xiàn)了特殊角 ∠DBC=30，只要過點M作BC的垂線交于點N， 即可將BM轉化為MN，即AM+BM=AM+MN， 過A點作BC的垂線交BD,BC分別于點M，N. 此時AM+BM 的最小值為AN. 證明：直線外一點到直線上任意一點的距離垂線段最短。 變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會求嗎？ 解題思路：可以將2AM+BM提取一個2，即2AM+BM=2（AM+BM），同上述的解題思路。 變式：如圖，AC是圓O的直徑，AC=4，弧BA=120，點D是弦AB上的一個動點，那么OD+BD的最小值為______. 解題思路：此題可將BM化為系數為1的線段，構造 “胡不歸”模型之前，一定要在點B處作一個角 使得sin∠B=,只要過點B作AC的平行線BK。 過點D作BK的垂線交于點E,BM=DE,即 OD+BD=OD+DE,過點O作BK的垂線交于點M,當 E點與M點重合時，OD+BD，最小值為OM. 如圖，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點D為射線AO上一點，一動點P從點A出發(fā)，沿AD-DC運動，動點P在AD上運動速度3個單位每秒，動點P在CD上運動的速度為1個單位每秒，則當AD= 時，運動時間最短為 秒. 解題思路: 求運動時間最短，可根據,先表示出時間出來， 點P在AD上運動的時間為,在DC上運動的時間 為,所以總時間為t=+.建立“胡不歸” 模型，過點D作AB的垂線交于點E，因為sin∠BAO=, 所以=DE即t=+,過點C作AB的垂線交 A0，AB分別于點D，E.此時+最小值為CE， 即可確定點D的位置使得運動時間最短。 填空題： 如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150，點P是對角線AC上的一個動點，則PA+2PB的最小值為 . 等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程菁優(yōu)網的時間最短，則點G的坐標為_________. 圓中胡不歸模型： 如圖，在△ACE中，CA=CE，CAE=30，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上． 試說明CE是⊙O的切線； 若中AE邊上的高為h，試用含 h的代數式表示⊙O的直徑AB； 設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求⊙O的AB的長． 二次函數胡不歸模型 如圖，已知拋物線（k為常數，k>0）與x軸從左至右依次交于點A、B，與y軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一個交點為D． （1）若點D的橫坐標為－5，求拋物線的函數關系式； （2）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標為多少時，點M在整個運動過程中用時最少？ 如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，交x軸于D、 C兩點，連接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）． （1）拋物線的函數關系式為____________________，tan∠BAC=__________； （2）設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位的速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到點A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？ 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點A（－1，0），B（0，－），C（2，0），其中對稱軸與x軸交于點D． 求二次函數的表達式及其頂點坐標； 若P為y軸上的一個動點，連接PD，則的最小值為__________． 如圖，已知拋物線，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過點A的直線與拋物線的另一個交點為D． （1）若點D的橫坐標為2，則拋物線的函數關系式為____________________； （2）在（1）的條件下，設點E是線段AD上一點（不含端點），連接BE，一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位運動到點D停止，問當點E的坐標為多少時，點Q運動的時間最少？ 【問題探究】 (1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點，請在AB上找一點F，使EF=AE，并說明理由； (2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求AM+MC的最小值； 【問題解決】 (3)如圖③，A、B兩地相距600km，AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路．點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉站M，再在BM間修一條筆直的公路．如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍．那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請確定中轉站M的位置，并求出AM的長．（結果保留根號）