2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.3 拋物線教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.3 拋物線教案 理 新人教A版.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.3 拋物線教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 拋物線定義的運(yùn)用
【例1】根據(jù)下列條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線過點P(2,-4);
(2)拋物線焦點F在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點A,|AF|=5.
【解析】(1)設(shè)方程為y2=mx或x2=ny.
將點P坐標(biāo)代入得y2=8x或x2=-y.
(2)設(shè)A(m,-3),所求焦點在x軸上的拋物線為y2=2px(p≠0),
由定義得5=|AF|=|m+|,又(-3)2=2pm,所以p=1或9,
所求方程為y2=2x或y2=18x.
【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2=2x上的一點,另一點A(a,0) (a>0)滿足|PA|=d,試求d的最小值.
【解析】設(shè)P(x0,y0) (x0≥0),則y=2x0,
所以d=|PA|===.
因為a>0,x0≥0,
所以當(dāng)0<a<1時,此時有x0=0,dmin==a;
當(dāng)a≥1時,此時有x0=a-1,dmin=.
題型二 直線與拋物線位置討論
【例2】(xx湖北模擬)已知一條曲線C在y軸右側(cè),C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點,那么點P(x,y)滿足:
-x=1(x>0).
化簡得y2=4x(x>0).
(2)設(shè)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).
設(shè)l的方程為x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0,
Δ=16(t2+m)>0,于是 ①
又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2).
<0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=,于是不等式②等價于 +y1y2-(+)+1<0
?+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③
由①式,不等式③等價于m2-6m+1<4t2.④
對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式④對于一切t成立等價于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2.
由此可知,存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有<0,且m的取值范圍是(3-2,3+2).
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2=4x的一條弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),則+= .
【解析】?y2-4my+8m=0,
所以+==.
題型三 有關(guān)拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C:y=2x2,直線y=kx+2交C于A,B兩點,M是線段AB的中點,過M作x軸的垂線交C于點N.
(1)求證:拋物線C在點N處的切線與AB平行;
(2)是否存在實數(shù)k使=0?若存在,求k的值;若不存在,說明理由.
【解析】(1)證明:如圖,設(shè)A(x1,2x),B(x2,2x),
把y=kx+2代入y=2x2,得2x2-kx-2=0,
由韋達(dá)定理得x1+x2=,x1x2=-1,
所以xN=xM==,所以點N的坐標(biāo)為(,).
設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y-=m(x-),
將y=2x2代入上式,得2x2-mx+-=0,
因為直線l與拋物線C相切,
所以Δ=m2-8(-)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,
所以m=k,即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實數(shù)k,使=0,則NA⊥NB,
又因為M是AB的中點,所以|MN|=|AB|.
由(1)知yM=(y1+y2)=(kx1+2+kx2+2)=[k(x1+x2)+4]=(+4)=+2.
因為MN⊥x軸,所以|MN|=|yM-yN|=+2-=.
又|AB|=|x1-x2|=
==.
所以=,解得k=2.
即存在k=2,使=0.
【點撥】直線與拋物線的位置關(guān)系,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;有關(guān)拋物線的弦長問題,要注意弦是否過焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須使用一般弦長公式.
【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2=2x上的一個動點,過點P作圓(x-3)2+y2=1的切線,切點分別為M、N,則|MN|的最小值是 .
【解析】.
總結(jié)提高
1.在拋物線定義中,焦點F不在準(zhǔn)線l上,這是一個重要的隱含條件,若F在l上,則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì):(1)頂點、焦點在對稱軸上;(2)準(zhǔn)線垂直于對稱軸;(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為p;(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時,若由已知條件可知曲線的類型,可采用待定系數(shù)法.
4.拋物線的幾何性質(zhì),只要與橢圓、雙曲線加以對照,很容易把握.但由于拋物線的離心率為1,所以拋物線的焦點有很多重要性質(zhì),而且應(yīng)用廣泛,例如:已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列性質(zhì):|AB|=x1+x2+p或|AB|=(α為AB的傾斜角),y1y2=-p2,x1x2=等.