2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3 基本不等式 第1課時(shí) 基本不等式同步練習(xí) 北師大版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3 基本不等式 第1課時(shí) 基本不等式同步練習(xí) 北師大版必修5 一、選擇題 1.下列結(jié)論正確的是( ) A.當(dāng)x>0且x≠1時(shí),lgx+≥2 B.當(dāng)x>0時(shí),+≥2 C.當(dāng)x≥2時(shí),x+的最小值為2 D.當(dāng)00時(shí),y=x+≥2, 當(dāng)x<0時(shí),y=-[(-)+(-x)]≤-2; 對(duì)于B,∵3x>0,3-x>0,∴y=3x+3-x≥2. 對(duì)于C、D兩項(xiàng)中,等號(hào)均不能成立. 6.某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長率為a, 第三年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x,則( ) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ [答案] B [解析] ∵這兩年的平均增長率為x, ∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b), ∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由題設(shè)a>0,b>0. ∴1+x=≤ =1+,∴x≤. 等號(hào)在1+a=1+b即a=b時(shí)成立. 二、填空題 7.若x<0,則y=+2x+的最大值是________. [答案]?。? [解析] y=-(-2x-) ≤-2=-2 =-4=-3. 當(dāng)且僅當(dāng)-2x=-,即x=-時(shí)取等號(hào). 8.已知x,y∈R+,且滿足+=1,則xy的最大值為________. [答案] 3 [解析] ∵x>0,y>0,且1=+≥2, ∴xy≤3,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=,y=2時(shí),等號(hào)成立. 三、解答題 9.(1)若x>0,y>0,且lgx+lgy=2,求5x+2y的最小值; (2)已知x>1,y>1,且lgx+lgy=2,求lgxlgy的最大值; (3)已知x>1,求y=的最小值. [解析] (1)∵lgx+lgy=2,∴l(xiāng)gxy=2,∴xy=100, 又∵5x+2y≥2=2=20, 當(dāng)且僅當(dāng)5x=2y,即x=2,y=5時(shí),5x+2y取得最小值20. (2)∵x>1,y>1, ∴l(xiāng)gx>0,lgy>0,∴l(xiāng)gxlgy≤()2, ∴l(xiāng)gxlgy≤1, 即lgxlgy的最大值為1. 當(dāng)且僅當(dāng)lgx=lgy,即x=y(tǒng)=10時(shí),等號(hào)成立. (3)y===x+1+ =x-1++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=x-1, 即(x-1)2=1時(shí),等式成立,∵x>1, ∴當(dāng)x=2時(shí),ymin=4. 10.(1)求函數(shù)y=+x(x>3)的最小值. (2)設(shè)x>0,求y=2-x-的最大值. [解析] y=+x=+(x-3)+3, ∵x>3,∴x-3>0, ∴+(x-3)≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)=x-3,即x-3=1,x=4時(shí),等號(hào)成立. ∴當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)y=+x(x>3)取最小值2+3=5. (2)∵x>0,∴x+≥2=4,∴y=2-≤2-4=-2.當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,y取最大值-2. 一、選擇題 1.如果a,b滿足02a, ∴a<, 又a2+b2≥2ab,∴最大數(shù)一定不是a和2ab, 又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab, ∵1=a+b>2,∴ab<, ∴1-2ab>1-=,即a2+b2>. 解法二:特值檢驗(yàn)法:取a=,b=,則2ab=, a2+b2=,∵>>>,∴a2+b2最大. 2.設(shè)x+3y=2,則函數(shù)z=3x+27y的最小值是( ) A. B.2 C.3 D.6 [答案] D [解析] z=3x+27y≥2 =2=6, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=1, 即x=1,y=時(shí),z=3x+27y取最小值6. 3.設(shè)正數(shù)x,y滿足x+4y=40,則lgx+lgy的最大值是( ) A.40 B.10 C.4 D.2 [答案] D [解析] ∵x+4y≥2=4, ∴≤==10, 當(dāng)且僅當(dāng)x=4y即x=20,y=5時(shí)取“=”, ∴xy≤100,即(xy)max=100, ∴l(xiāng)gx+lgy=lg(xy)的最大值為lg100=2.故選D. 4.對(duì)x∈R且x≠0都成立的不等式是( A.x+≥2 B.x+≤-2 C.≥ D.|x+|≥2 [答案] D [解析] 因?yàn)閤∈R,所以當(dāng)x>0時(shí),x+≥2; 當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以x+=-(-x+)≤-2, 所以A、B都錯(cuò)誤;又因?yàn)閤2+1≥2|x|, 所以≤,所以C錯(cuò)誤,故選D. 二、填空題 5.周長為l的矩形對(duì)角線長的最小值為________. [答案] l [解析] 設(shè)矩形長為a,寬為b,則a+b=,∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤2a2+2b2,∴a2+b2≥, ∴對(duì)角線長≥=l. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”. 6.若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是__________(寫出所有正確命題的編號(hào)). ①ab≤1;?、冢?;?、踑2+b2≥2; ④a3+b3≥3; ⑤+≥2. [答案]?、佗邰? [解析]?、賏b≤()2=()2=1,成立. ②欲證+≤,即證a+b+2≤2, 即2≤0,顯然不成立. ③欲證a2+b2=(a+b)2-2ab≥2, 即證4-2ab≥2,即ab≤1,由①知成立. ④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3?a2-ab+b2≥?(a+b)2-3ab≥?4-≥3ab?ab≤,由①知,ab≤不恒成立. ⑤欲證+≥2,即證≥2, 即證ab≤1,由①知成立. 三、解答題 7.某商場預(yù)計(jì)全年分批購入每臺(tái)2 000元的電視機(jī)共3 600臺(tái),每批都購入x臺(tái)(x是正整數(shù)),且每批均需運(yùn)費(fèi)400元,儲(chǔ)存購入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比.若每批購入400臺(tái),則全年需用去運(yùn)輸和保管總費(fèi)用43 600元.現(xiàn)在全年只有24 000元資金可以支付這筆費(fèi)用,請(qǐng)問:能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由. [解析] 設(shè)全年需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用為y元,題中比例系數(shù)為k,每批購入x臺(tái),則共需分批,每批費(fèi)用為2 000x元. 由題意得y=400+k2 000x.由x=400時(shí),有y=43 600得k==,所以y=400+100x≥2=24 000(元). 當(dāng)且僅當(dāng)400=100x,即x=120時(shí),等號(hào)成立. 故只需每批購入120臺(tái),可以使資金夠用. 8.設(shè)函數(shù)f(x)=x+,x∈[0,+∞). (1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值; (2)當(dāng)00,>0,∴x+1+≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=-1時(shí),f(x)取最小值. 此時(shí),f(x)min=2-1. (2)當(dāng)0x2≥0,則 f(x1)-f(x2)=x1+-x2- =(x1-x2)[1-], ∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1, ∴(x1+1)(x2+1)>1,而00, ∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=f(0)=a.
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