2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 3 基本不等式 第1課時 基本不等式同步練習 北師大版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 3 基本不等式 第1課時 基本不等式同步練習 北師大版必修5 一、選擇題 1．下列結(jié)論正確的是(　　) A．當x>0且x≠1時，lgx＋≥2 B．當x>0時，＋≥2 C．當x≥2時，x＋的最小值為2 D．當0<x≤2時，x－無最大值 [答案]　B [解析]　A中l(wèi)gx不一定為正；C中x＋的最小值為；D中函數(shù)為增函數(shù)，區(qū)間(0,2]上有最大值．故選B. 2．設(shè)a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為(　　) A．8　　　 B．4　　　　 C．1　　　 D. [答案]　B [解析]　由已知，得3a3b＝3，∴3a＋b＝3， ∴a＋b＝1. ∵a>0，b>0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋＝4， 當且僅當a＝b＝時，等號成立． 3．若x>4，則函數(shù)y＝x＋(　　) A．有最大值－6　 B．有最小值6 C．有最大值－2　 D．有最小值2 [答案]　B [解析]　∵x>4，∴x－4>0， ∴y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6. 當且僅當x－4＝，即x－4＝1，x＝5時，取等號． 4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，則(　　) A．R<P<Q　 B．P<Q<R C．Q<P<R　 D．P<R<Q [答案]　B [解析]　由a＞b＞1，得lga＞lgb＞0， Q＝(lga＋lgb)＞＝P， R＝lg()＞lg＝(lga＋lgb)＝Q， ∴R＞Q＞P. 5．在下列函數(shù)中，最小值為2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝3x＋3－x C．y＝lgx＋(1<x<10) D．y＝sinx＋(0<x<) [答案]　B [解析]　對于A，當x>0時，y＝x＋≥2， 當x<0時，y＝－[(－)＋(－x)]≤－2； 對于B，∵3x>0,3－x>0，∴y＝3x＋3－x≥2. 對于C、D兩項中，等號均不能成立． 6．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a, 第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則(　　) A．x＝　 B．x≤ C．x＞　 D．x≥ [答案]　B [解析]　∵這兩年的平均增長率為x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由題設(shè)a＞0，b＞0. ∴1＋x＝≤ ＝1＋，∴x≤. 等號在1＋a＝1＋b即a＝b時成立． 二、填空題 7．若x<0，則y＝＋2x＋的最大值是________． [答案]?。? [解析]　y＝－(－2x－) ≤－2＝－2 ＝－4＝－3. 當且僅當－2x＝－，即x＝－時取等號． 8．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． [答案]　3 [解析]　∵x>0，y>0，且1＝＋≥2， ∴xy≤3，當且僅當＝，即x＝，y＝2時，等號成立． 三、解答題 9．(1)若x>0，y>0，且lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值； (2)已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝2，求lgxlgy的最大值； (3)已知x>1，求y＝的最小值． [解析]　(1)∵lgx＋lgy＝2，∴l(xiāng)gxy＝2，∴xy＝100， 又∵5x＋2y≥2＝2＝20， 當且僅當5x＝2y，即x＝2，y＝5時，5x＋2y取得最小值20. (2)∵x>1，y>1， ∴l(xiāng)gx>0，lgy>0，∴l(xiāng)gxlgy≤()2， ∴l(xiāng)gxlgy≤1， 即lgxlgy的最大值為1. 當且僅當lgx＝lgy，即x＝y(tǒng)＝10時，等號成立． (3)y＝＝＝x＋1＋ ＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當＝x－1， 即(x－1)2＝1時，等式成立，∵x>1， ∴當x＝2時，ymin＝4. 10．(1)求函數(shù)y＝＋x(x>3)的最小值． (2)設(shè)x>0，求y＝2－x－的最大值． [解析]　y＝＋x＝＋(x－3)＋3， ∵x>3，∴x－3>0， ∴＋(x－3)≥2＝2， 當且僅當＝x－3，即x－3＝1，x＝4時，等號成立． ∴當x＝4時，函數(shù)y＝＋x(x>3)取最小值2＋3＝5. (2)∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴y＝2－≤2－4＝－2.當且僅當x＝，即x＝2時等號成立，y取最大值－2. 一、選擇題 1．如果a，b滿足0<a<b，a＋b＝1，則，b,2ab，a2＋b2中值最大的是(　　) A.　 B．a(chǎn) C．2ab　 D．a(chǎn)2＋b2 [答案]　D [解析]　解法一：∵0<a<b，∴1＝a＋b>2a， ∴a<， 又a2＋b2≥2ab，∴最大數(shù)一定不是a和2ab， 又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab， ∵1＝a＋b>2，∴ab<， ∴1－2ab>1－＝，即a2＋b2>. 解法二：特值檢驗法：取a＝，b＝，則2ab＝， a2＋b2＝，∵>>>，∴a2＋b2最大． 2．設(shè)x＋3y＝2，則函數(shù)z＝3x＋27y的最小值是(　　) A.　 B．2 C．3　 D．6 [答案]　D [解析]　z＝3x＋27y≥2 ＝2＝6， 當且僅當x＝2y＝1， 即x＝1，y＝時，z＝3x＋27y取最小值6. 3．設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是(　　) A．40　 B．10 C．4　 D．2 [答案]　D [解析]　∵x＋4y≥2＝4， ∴≤＝＝10， 當且僅當x＝4y即x＝20，y＝5時取“＝”， ∴xy≤100，即(xy)max＝100， ∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)的最大值為lg100＝2.故選D. 4．對x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　 A．x＋≥2　 B．x＋≤－2 C.≥　 D．|x＋|≥2 [答案]　D [解析]　因為x∈R，所以當x>0時，x＋≥2； 當x<0時，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2， 所以A、B都錯誤；又因為x2＋1≥2|x|， 所以≤，所以C錯誤，故選D. 二、填空題 5．周長為l的矩形對角線長的最小值為________． [答案]　l [解析]　設(shè)矩形長為a，寬為b，則a＋b＝，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥， ∴對角線長≥＝l. 當且僅當a＝b時，取“＝”． 6．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是__________(寫出所有正確命題的編號)． ①ab≤1；?、冢埽弧、踑2＋b2≥2； ④a3＋b3≥3；　⑤＋≥2. [答案]?、佗邰? [解析]　①ab≤()2＝()2＝1，成立． ②欲證＋≤，即證a＋b＋2≤2， 即2≤0，顯然不成立． ③欲證a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2， 即證4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立． ④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3?a2－ab＋b2≥?(a＋b)2－3ab≥?4－≥3ab?ab≤，由①知，ab≤不恒成立． ⑤欲證＋≥2，即證≥2， 即證ab≤1，由①知成立． 三、解答題 7．某商場預計全年分批購入每臺2 000元的電視機共3 600臺，每批都購入x臺(x是正整數(shù))，且每批均需運費400元，儲存購入的電視機全年所付保管費與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比．若每批購入400臺，則全年需用去運輸和保管總費用43 600元．現(xiàn)在全年只有24 000元資金可以支付這筆費用，請問：能否恰當安排每批進貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由． [解析]　設(shè)全年需用去的運費和保管費的總費用為y元，題中比例系數(shù)為k，每批購入x臺，則共需分批，每批費用為2 000x元． 由題意得y＝400＋k2 000x.由x＝400時，有y＝43 600得k＝＝，所以y＝400＋100x≥2＝24 000(元)． 當且僅當400＝100x，即x＝120時，等號成立． 故只需每批購入120臺，可以使資金夠用． 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． (1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)當0<a<1時，求函數(shù)f(x)的最小值． [解析]　(1)把a＝2代入f(x)＝x＋， 得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1 ∵x∈[0，＋∞)， ∴x＋1>0，>0，∴x＋1＋≥2. 當且僅當x＋1＝，即x＝－1時，f(x)取最小值． 此時，f(x)min＝2－1. (2)當0<a<1時， f(x)＝x＋1＋－1，若x＋1＋≥2，則當且僅當x＋1＝時取等號，此時x＝－1<0(不合題意)， 因此，上式等號取不到．設(shè)x1>x2≥0，則 f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)[1－]， ∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1， ∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而0<a<1， ∴<1，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)min＝f(0)＝a.