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《高等代數(shù)》試卷與答案
一． 填空題：（210=20）
1．若向量組可由線性表示，且r>s,則線性 。
2．?dāng)?shù)域P上所有n階反對(duì)稱矩陣構(gòu)成的線性空間的維數(shù)是 ；
3．設(shè)是線性空間V的兩個(gè)子空間，則的充分必要條件是= ；
4．?dāng)?shù)域P上的兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是 。
5．設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，是V上一切線性變換所成的P上的線性空間，則dim(L(V))= 。
6．設(shè)是線性空間V的一組基，則由這個(gè)基到基的過度矩陣是 。
7．令Pn[x]表示一切次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式
2、連同零多項(xiàng)式組成的線性空間，，則關(guān)于基下的矩陣是 。
8．設(shè)是n維歐氏空間V上的一個(gè)正交變換，且 （單位變換），則是 變換 。
9． 歐氏空間V上的對(duì)稱變換的特征根都是 數(shù)。
10．設(shè) 是n維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則它的度量矩陣是 。
二．判斷題（每題1分，計(jì)10分）
1．設(shè)。（ ）
2．兩個(gè)等價(jià)的向量組一個(gè)線性無關(guān)，則另一個(gè)也線性無關(guān)。（ ）
3．若，，且V中的任意一個(gè)向量都可由線性表示，則實(shí)數(shù)是V的組基。（ ）
4．線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組。（ ）
5．如果一個(gè)線
3、性變換是單射，則它無零特征根。（）
6．設(shè)是線性空間V上的一個(gè)線性變換，則的核與的象都是的不變子空間。（）
7．如果W是歐氏空間的一個(gè)子空間，那么對(duì)V的內(nèi)積來說，W也作成歐氏空間。（）
8．設(shè)是歐氏空間V上的一個(gè)正交變換，則對(duì)于夾角等于的夾角。（）
9．兩個(gè)n元二次型（與（等價(jià)的充分必要條件是A與B合同。（）
10．實(shí)二次型（正定的當(dāng)且僅當(dāng)A合同于單位矩陣。（）
三、證明題（103=30）
1．在一個(gè)歐氏空間里，對(duì)任意向量 有不等式；且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)等式成立。
2．設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，是V的一組基，那么對(duì)V的任意n個(gè)向量 有且僅有一個(gè)線性變換 σ 使得。
3． 設(shè)，
4、令V表示A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式矩陣關(guān)于通常加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成的線性空間；證明：dim(V)=3.
四、計(jì)算題（152=30）
1． 設(shè)，求出一個(gè)正交矩陣U，使得是對(duì)角矩陣。
2． 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求相應(yīng)的變換矩陣。
五、以下四個(gè)證明題中任選兩個(gè)作答。（每題5分共10分）
1． 設(shè)V是復(fù)數(shù)域P上的n維線性空間，是V的一組基，那么實(shí)數(shù)域R上的線性空間V，有。
2． 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，是V的一個(gè)線性變換，證明：1）若是的兩個(gè)不同特征根，是分別屬于的特征向量，則不是的特征向量；2）若是線性變換，如果V中的每一個(gè)向量都是它的特征向量，則為數(shù)乘變換。
3． 若在線性空間定義中去掉算律（1）而把算律（2）改成都有而其于算律保持不變，則V對(duì)原來的如法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間。
4． 設(shè)是n維歐氏空間V上的一個(gè)線性變換，稱為廣義正交變換，如果存在一個(gè)正數(shù)k,使得，證明：是廣義正交變換當(dāng)且僅當(dāng)在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣A，滿足。
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《高等代數(shù)》試卷與答案
