《高等代數(shù)》試卷與答案

《高等代數(shù)》試卷與答案 一． 填空題：（210=20） 1．若向量組可由線性表示，且r>s,則線性 。 2．?dāng)?shù)域P上所有n階反對(duì)稱(chēng)矩陣構(gòu)成的線性空間的維數(shù)是 ； 3．設(shè)是線性空間V的兩個(gè)子空間，則的充分必要條件是= ； 4．?dāng)?shù)域P上的兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是 。 5．設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，是V上一切線性變換所成的P上的線性空間，則dim(L(V))= 。 6．設(shè)是線性空間V的一組基，則由這個(gè)基到基的過(guò)度矩陣是 。 7．令Pn[x]表示一切次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式組成的線性空間，，則關(guān)于基下的矩陣是 。 8．設(shè)是n維歐氏空間V上的一個(gè)正交變換，且 （單位變換），則是 變換 。 9． 歐氏空間V上的對(duì)稱(chēng)變換的特征根都是 數(shù)。 10．設(shè) 是n維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則它的度量矩陣是 。 二．判斷題（每題1分，計(jì)10分） 1．設(shè)。（ ） 2．兩個(gè)等價(jià)的向量組一個(gè)線性無(wú)關(guān)，則另一個(gè)也線性無(wú)關(guān)。（ ） 3．若，，且V中的任意一個(gè)向量都可由線性表示，則實(shí)數(shù)是V的組基。（ ） 4．線性變換把線性無(wú)關(guān)的向量組變成線性無(wú)關(guān)的向量組。（ ） 5．如果一個(gè)線性變換是單射，則它無(wú)零特征根。（） 6．設(shè)是線性空間V上的一個(gè)線性變換，則的核與的象都是的不變子空間。（） 7．如果W是歐氏空間的一個(gè)子空間，那么對(duì)V的內(nèi)積來(lái)說(shuō)，W也作成歐氏空間。（） 8．設(shè)是歐氏空間V上的一個(gè)正交變換，則對(duì)于夾角等于的夾角。（） 9．兩個(gè)n元二次型（與（等價(jià)的充分必要條件是A與B合同。（） 10．實(shí)二次型（正定的當(dāng)且僅當(dāng)A合同于單位矩陣。（） 三、證明題（103=30） 1．在一個(gè)歐氏空間里，對(duì)任意向量 有不等式；且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)等式成立。 2．設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，是V的一組基，那么對(duì)V的任意n個(gè)向量 有且僅有一個(gè)線性變換 σ 使得。 3． 設(shè)，令V表示A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式矩陣關(guān)于通常加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成的線性空間；證明：dim(V)=3. 四、計(jì)算題（152=30） 1． 設(shè)，求出一個(gè)正交矩陣U，使得是對(duì)角矩陣。 2． 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求相應(yīng)的變換矩陣。 五、以下四個(gè)證明題中任選兩個(gè)作答。（每題5分共10分） 1． 設(shè)V是復(fù)數(shù)域P上的n維線性空間，是V的一組基，那么實(shí)數(shù)域R上的線性空間V，有。 2． 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，是V的一個(gè)線性變換，證明：1）若是的兩個(gè)不同特征根，是分別屬于的特征向量，則不是的特征向量；2）若是線性變換，如果V中的每一個(gè)向量都是它的特征向量，則為數(shù)乘變換。 3． 若在線性空間定義中去掉算律（1）而把算律（2）改成都有而其于算律保持不變，則V對(duì)原來(lái)的如法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間。 4． 設(shè)是n維歐氏空間V上的一個(gè)線性變換，稱(chēng)為廣義正交變換，如果存在一個(gè)正數(shù)k,使得，證明：是廣義正交變換當(dāng)且僅當(dāng)在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣A，滿足。 2