2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 勾股定理教案 北師大版.doc

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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 勾股定理教案 北師大版 知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.體驗(yàn)勾股定理的探索過程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗(yàn)證勾股定理. 2.會(huì)利用勾股定理解釋生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象． 過程與方法目標(biāo)： 1.在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想． 2.在探索勾股定理的過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)過程及結(jié)論的能力． 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識(shí)． 2.在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣． 教學(xué)重點(diǎn) 探索和驗(yàn)證勾股定理． 教學(xué)難點(diǎn) 在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理． 教學(xué)方法 交流—探索—猜想. 在方格紙上，同學(xué)們通過計(jì)算以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形的面積，在合作交流的過程中，比較這三個(gè)正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系． 教具準(zhǔn)備 1.學(xué)生每人課前準(zhǔn)備若干張方格紙. 2.投影片三張： 第一張：填空(記作1.1.1 A)； 第二張：?jiǎn)栴}串(記作1.1.1 B)； 第三張：做一做(記作1.1.1 C). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 出示投影片(1.1.1 A) (1)三角形按角分類，可分為_________、_________、_________. (2)對(duì)于一般的三角形來說，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對(duì)于直角三角形呢？ (3)有兩個(gè)直角三角形，如果有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？ ［師］上面三個(gè)小問題是我們以前討論過的，我們簡(jiǎn)單的回憶一下. ［生］(1)三角形按角的大小來分類可分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形； (2)對(duì)于一般三角形來說，我們可以用SAS(邊角邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊)、SSS(邊邊邊)來判斷兩個(gè)三角形全等；而對(duì)于直角三角形來說，除以上四種方法外，還可以用HL(即有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等). (3)兩個(gè)直角三角形，有兩邊對(duì)應(yīng)相等，有兩種情況： 第一種情況：兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，這時(shí)，我們可注意到它們的夾角也對(duì)應(yīng)相等，利用SAS可判斷它們?nèi)? 第二種情況：一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，利用HL公理即可判斷它們?nèi)? 綜上所述，兩個(gè)直角三角形，如果有兩邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等. ［師］我們可以注意到直角三角形有它獨(dú)有的一些特征.在我們學(xué)習(xí)和生活中，你是否還發(fā)現(xiàn)直角三角形的其他特征呢？ 這節(jié)課，我們就來繼續(xù)研究直角三角形. Ⅱ.講述新課 1.問題串 ［師］(出示投影片1.1.1 B) 觀察下圖，并回答問題： (1)觀察圖1. 正方形A中含有_________個(gè)小方格，即A的面積是_________個(gè)單位面積； 正方形B中含有_________個(gè)小方格，即B的面積是_________個(gè)單位面積； 正方形C中含有_________個(gè)小方格，即C的面積是_________個(gè)單位面積. (2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流. (3)請(qǐng)將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C的面積關(guān)系嗎？ A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖1 圖2 圖3 ［生］在圖1中，正方形A含1個(gè)小方格，所以它的面積是1個(gè)單位面積；正方形B含1個(gè)小方格，所以B的面積也是1個(gè)單位面積；正方形C含2個(gè)小方格，所以C的面積是2個(gè)單位面積. ［師］如何求得正方形C的面積呢？ ［生］正方形C可劃分為四個(gè)直角邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位的四個(gè)全等的等腰直角三角形，所以C的面積為4(11)=2個(gè)單位面積. ［生］我們觀察可發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)等腰直角三角形重新拼擺，剛好可拼擺成2個(gè)小方格，所以C的面積為2個(gè)單位面積. ［生］正方形C還可以看成邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的正方形面積的一半，即C的面積為22=2個(gè)單位面積. ［師］同學(xué)們能夠不拘一格地積極思考問題，用多種方法去求得圖1中C的面積，值得發(fā)揚(yáng)廣大，那么圖2，圖3中的A，B，C的面積是否可借鑒圖1中的A，B，C的求法獲得呢？請(qǐng)與你的同學(xué)們討論、交流。 ［生］圖2中，A含有9個(gè)小方格或者說正方形A的邊長(zhǎng)是3個(gè)單位長(zhǎng)度，都可以求得A的面積是9個(gè)單位面積；同理可求得B含有9個(gè)小方格，所以B的面積為9個(gè)單位面積；對(duì)于正方形C來說，我們觀察可發(fā)現(xiàn)它含有18個(gè)小方格，所以C的面積為18個(gè)單位面積. ［師］看來，同學(xué)們已能從圖2中很容易地就求得了A，B，C的面積.是不是在求C的面積時(shí)也和圖1相類似，有多種求法呢？ ［生］是的.在正方形C中，我們可以把它的邊緣的12個(gè)全等的等腰直角三角形拼擺成6個(gè)小方格，再加上中間的12個(gè)小方格，正方形C共含有18個(gè)小方格，所以它的面積為18個(gè)單位面積；我們也可以把C分割成四個(gè)直角邊為3個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角形，也可算得C的面積為4(32)=18個(gè)單位面積. ［生］如果把組成C的四個(gè)等腰直角三角形沿正方形的邊向外翻，我們觀察又可發(fā)現(xiàn)C在邊長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形中，并且C的面積恰好是這個(gè)正方形面積的一半即62=18個(gè)單位面積. ［生］圖3與圖1，圖2類似，所以我們可用同樣的方法觀察求得A，B，C各含4個(gè)，4個(gè)，8個(gè)小方格，面積分別為4個(gè)，4個(gè)，8個(gè)單位面積. ［師］把三個(gè)圖中A，B，C的面積分別填入上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系嗎？ ［生］C的面積=A的面積+B的面積. (表格略) ［師］很好！但是A，B，C的面積為什么會(huì)有這種關(guān)系呢？我們接著觀察這三個(gè)圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？ ［生］在前面您說過這節(jié)課我們主要研究直角三角形，而在這三個(gè)圖中，都是三個(gè)正方形圍著一個(gè)直角三角形. ［師］的確如此，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)：三個(gè)正方形好像是“長(zhǎng)”在直角三角形的三邊上. ［生］這說明三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)得到的. ［師］那么，(3)的結(jié)論即C的面積=A的面積+B的面積與三角形有什么關(guān)系？這個(gè)關(guān)系說明什么？大家可以討論、交流. ［生］C是斜邊上的正方形，所以C的面積是斜邊的平方；A，B是兩直角邊上的正方形，所以A，B的面積分別是這兩條直角邊的平方.根據(jù)A，B，C的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方就等于兩直角邊的平方和. ［師］但是，我們也不難發(fā)現(xiàn)上面3個(gè)圖中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，會(huì)不會(huì)也有這種三邊關(guān)系呢？ 2.做一做 出示投影片(1.1.1 C) (1)觀察圖4，圖5， 并填寫下表： A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖4 圖5 你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流. (2)三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系？ (讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后填寫上面的表格.最后以小組為單位充分交流各自的想法，特別是在計(jì)算斜邊上的正方形的面積即正方形C的求法) ［師生共析］根據(jù)圖4，圖5可填表如下： A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖4 16 9 25 圖5 4 9 13 我們先來觀察圖4，不難看出A，B分別含有16個(gè)小方格，9個(gè)小方格，所以A、B的面積分別為16個(gè)單位面積，9個(gè)單位面積，但斜邊上的正方形C的面積的計(jì)算較為復(fù)雜，我們可用以下幾種方法求得： 第一種方法：將正方形C分割成4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為3、4全等的直角三角形和中間的一個(gè)小方格，利用計(jì)算三角形面積的公式可得正方形C的面積為4(34)+1=24+1=25個(gè)單位面積. 第二種方法：直接數(shù)正方形C中含有多少個(gè)小方格，但需要適當(dāng)?shù)钠礈?，在第一種方法中，我們將正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一個(gè)小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為3和4的長(zhǎng)方形，含有12個(gè)小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼湊成12個(gè)小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25個(gè)小方格即C的面積為25個(gè)單位面積. 第三種方法：可將直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的邊外翻，就得到一個(gè)邊長(zhǎng)為7個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，這時(shí)正方形C的面積就為(49－1)2+1=25個(gè)單位面積. 圖5與圖4同理. 我們從上表不難發(fā)現(xiàn)16+9=25，4+9=13即C的面積=A的面積+B的面積. ［師］圖4和圖5中的三個(gè)正方形A，B，C也是由中間的直角三角形“長(zhǎng)”出來的，你能從三個(gè)正方形的面積關(guān)系與直角三角形的三邊聯(lián)系嗎？ ［生］圖4中的正方形A，B，C的面積分別是直角三角形兩條直角邊的平方和斜邊的平方，根據(jù)三個(gè)正方形的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.由圖5我們也可得出同樣的結(jié)論. 3.議一議 ［師］我們通過對(duì)前面幾個(gè)直角三角形的討論，分析，你能歸納出直角三角形三邊長(zhǎng)度存在的關(guān)系嗎？用自己的語(yǔ)言表達(dá)你的重大發(fā)現(xiàn)與同伴交流. ［生］在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)度的平方和等于斜邊的平方. ［師］這是由前面幾個(gè)特例猜想出來的，是否合理呢？我們不妨作幾個(gè)直角三角形檢驗(yàn)一下.例如，作一個(gè)分別以5厘米、12厘米為直角邊的直角三角形，然后測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，通過計(jì)算看一下直角三角形三邊的規(guī)律還成立嗎？ ［生］1.作一個(gè)直角∠MCN； 2.以C為圓心，分別以5厘米、12厘米為半徑畫弧交CM、CN于點(diǎn)A，B； 3.連結(jié)AB. 用刻度尺量出斜邊AB的長(zhǎng)度(強(qiáng)調(diào)注意測(cè)量的誤差)為13厘米.經(jīng)檢驗(yàn)斜邊AB2=132=169，兩直角邊平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. ［師］很好.同學(xué)們不妨多作幾個(gè)不同的直角三角形，用上面的方法檢驗(yàn)直角三角形三邊的關(guān)系. ［師生共析］通過特例猜想、檢驗(yàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊的規(guī)律是成立的，這就是我們將要介紹的重點(diǎn)內(nèi)容——勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 4.讀一讀(課本P5) 古代人就對(duì)勾股定理有過深入的研究，幾大文明古國(guó)都有相應(yīng)的勾股定理的記載.我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家之一.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角.如果勾(即直角三角形中較短的直角邊)等于3，股(即直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜邊)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.因此，我們也把勾股定理稱為商高定理，而把商高稱為“勾股先師”.在西方，把勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯”定理.相傳二千多年，希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規(guī)模的慶?；顒?dòng)，宰殺了一百頭牲畜.但因此也引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)——邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示. 關(guān)于勾股定理的記載還有很多，同學(xué)們?nèi)绻信d趣，可查閱有關(guān)這方面的資料。 所以說勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智. 5.想一想 ［師］小明的媽媽買了一部29英寸(74厘米)的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？ ［生］我聽爸爸說過，29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指熒屏對(duì)角線的長(zhǎng)度，而不是其長(zhǎng)或?qū)? ［生］可是，連結(jié)熒屏的對(duì)角線將長(zhǎng)方形的熒屏分成全等的兩個(gè)直角三角形.根據(jù)勾股定理，長(zhǎng)2+寬2=742，可582+462≠742，這是為什么呢？ ［生］因?yàn)闊善吝吙蛘谏w了一部分，所以實(shí)際測(cè)量存在一些誤差. ［師］的確如此，但這里我們要知道一個(gè)生活常識(shí)，29英寸(74厘米)指的是熒屏的對(duì)角線的長(zhǎng)度，而非熒屏的長(zhǎng)或?qū)? 6.例題講解 ［例］在△ABC中，∠C=90 (1)若a=8，b=6，則c=_________； (2)若 c=20，b=12，則a=_________； (3)若a∶b=3∶4，c=10，則a=_________，b=_________. ［師生共析］ 分析：在△ABC中，∠C=90，所以有關(guān)系：a2+b2=c2.在此關(guān)系式中，涉及到三個(gè)量，利用方程的思想，可“知二求一”. 解：根據(jù)題意可得a2+b2=c2. (1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10； (2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=328=162，a＞0，所以a=16； (3)若a∶b=3∶4，可設(shè)a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化簡(jiǎn)，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8. 評(píng)注：綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形(即△ABC為直角三角形)與數(shù)(a2+b2=c2)的統(tǒng)一，所以我們說勾股定理是形與數(shù)的結(jié)合. Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 先由學(xué)生自己總結(jié)，然后師生共同完成.這節(jié)課我們主要研究： 1.從特例猜想出勾股定理； 2.用特例檢驗(yàn)了勾股定理； 3.簡(jiǎn)單了解了勾股定理的歷史，應(yīng)用. Ⅳ.課后作業(yè) 1.課本P6，習(xí)題6.1. 2.到網(wǎng)上或圖書室查閱關(guān)于勾股定理的資料. Ⅴ.活動(dòng)與探究 有一根70 cm的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？ 過程：在實(shí)際生活中，往往工程設(shè)計(jì)方案比較多，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算方可解決，而此題正是需要我們大膽實(shí)踐和創(chuàng)新，用我們學(xué)過的勾股定理和豐富的空間想像力來解決.我們可注意到木棒雖比木箱的各邊都長(zhǎng)，按各邊的大小放不進(jìn)去，但木箱是立體圖形，可以利用空間的最長(zhǎng)長(zhǎng)度.如AC′. 結(jié)果：由下圖可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′， △AA′C′都為直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最長(zhǎng)，則AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm的棒能放入長(zhǎng)、寬、高分別為50 cm，40 cm，30 cm的大箱中. 板書設(shè)計(jì) 1.1.1 探索勾股定理(一) 特例(做一做)勾股定理特例(議一議) (直角三角形兩直角 邊分別為a，b，斜邊 為c，則a2+b2=c2) 1.1.2 探索勾股定理(二) 知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法. 2.運(yùn)用勾股解決一些實(shí)際問題. 過程與方法目標(biāo)： 1.學(xué)會(huì)用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力. 2.在拼圖過程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí). 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn).借助對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育.并在拼圖的過程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重點(diǎn) 勾股定理的證明及其應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn) 勾股定理的證明. 教學(xué)方法 教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探索相結(jié)合的方法. 在用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的過程中.教師要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想，將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生自主探索，大膽地聯(lián)系前面知識(shí)，推導(dǎo)出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實(shí)際問題. 教具準(zhǔn)備 1.每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板； 2.投影片三張： 第一張：?jiǎn)栴}串(記作1.1.2 A)； 第二張：議一議(記作1.1.2 B)； 第三張：例題(記作1.1.2 C). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課 ［師］我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過整式的運(yùn)算，其中平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2；完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的內(nèi)容.誰(shuí)還能記得當(dāng)時(shí)這兩個(gè)公式是如何推出的？ ［生］利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則從公式的左邊就可以推出右邊.例如(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的. ［生］還可以用拼圖的方法來推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形，兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a和b的長(zhǎng)方形可拼成如下圖所示的邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，那么這個(gè)大的正方形的面積可以表示為(a+b)2；又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2. ［師］由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀.上一節(jié)課我們已經(jīng)通過數(shù)格子通過一些特例大膽地猜想出了勾股定理.同時(shí)又利用一些特例驗(yàn)證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿所有的直角三角形一一驗(yàn)證，靠一些特例歸納、猜想出來的結(jié)論不一定正確.因此我們需要用另一種方法說明直角三角形三邊的關(guān)系. Ⅱ.講授新課 1.拼一拼 出示投影片(1.2.2 A) (1)在一張硬紙板上畫4個(gè)如右圖所示全等的直角三角形.并把它們剪下來. (2)用這4個(gè)直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？ (對(duì)于上面2個(gè)問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，將形與數(shù)的問題聯(lián)系起來.鼓勵(lì)學(xué)生大膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵(lì)，然后在小組內(nèi)交流，同時(shí)提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼圖推證方法說明勾股定理). ［生］我拼出了如下圖所示的圖形，中間是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形的邊長(zhǎng)是(a+b).要利用這個(gè)圖說明勾股定理，我們只要用兩種方法表示這個(gè)大正方形的面積即可. 大正方形面積可以表示為：(a+b)2，又可以表示為：ab4+(b－a). 對(duì)比這兩種表示方法，可得出c2=ab4+(b－a).化簡(jiǎn)、整理得c2=a2+b2.因此我們得到了勾股定理. ［生］我拼出了和這個(gè)同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長(zhǎng)是c，小正方形的邊長(zhǎng)為b－a，利用這個(gè)圖形也可以說明勾股定理.因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab4+(b－a)2.對(duì)比兩種表示方法可得c2=ab4+(b－a)2.化簡(jiǎn)得c2=a2+b2.同樣得到了勾股定理. ［師］真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗(yàn)證了勾股定理.利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn).在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它. 在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了.有人做過統(tǒng)計(jì)，說有五百余種.1940年，國(guó)外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書.其實(shí)，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理的證明簡(jiǎn)直到了每天一種的地步. ［生］老師，我在查資料時(shí)，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國(guó)的一個(gè)總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？ ［師］是的.1876年4月1日，美國(guó)俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個(gè)勾股定理的證明.據(jù)他說，這是一種思想體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個(gè)證明是得到兩黨議員“一致贊同的”.由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國(guó)第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個(gè)證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話. ［生］能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？ ［師］可以.如下圖所示.這就是這位總統(tǒng)用兩個(gè)全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個(gè)同學(xué)用全等的四個(gè)直角三角形拼出來的圖形對(duì)比一下，有聯(lián)系. ［生］總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一個(gè)同學(xué)拼出的大正方形的一半. ［師］同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理. ［生］上面的圖形整體上拼成一個(gè)直角梯形.所以它的面積有兩種表示方法.既可以表示為(a+b)(a+b)，又可以表示為ab2+c2.對(duì)比兩種表示方法可得 (a+b)(a+b)= ab2+c2.化簡(jiǎn)，可得a2+b2=c2. ［師］很好.同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法. 2.議一議 ［師］前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系.那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？ 出示投影片(1.1.2 B ) 觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個(gè)三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2. ［師］上圖中的△ABC和△A′B′C是什么三角形？ ［生］△ABC，△A′B′C′在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA＞90； △A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A′B′C′是銳角三角形. ［師］△ABC的三邊上“長(zhǎng)”出三個(gè)正方形.誰(shuí)來幫我數(shù)一下每個(gè)正方形含有幾個(gè)小格子. ［生］以b為邊長(zhǎng)的正方形含有9個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積b2=9個(gè)單位面積；以a為邊長(zhǎng)的正方形中含有8個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積a2=8個(gè)單位面積；以c為邊長(zhǎng)的正方形中含有29個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積c2=29個(gè)單位面積. a2+b2=9+7=16個(gè)單位面積，c2=29個(gè)單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2+b2≠c2. ［師］銳角三角形A′B′C′中，如何呢？ ［生］以a為邊長(zhǎng)的正方形含5個(gè)小格子，所以a2=5個(gè)單位面積；以b為邊長(zhǎng)的正方形含有8個(gè)小格子，所以b2=8個(gè)單位面積；以c為邊長(zhǎng)的正方形含9個(gè)小格子，所以c2=9個(gè)單位面積.由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個(gè)單位面積.在銳角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2. ［師］通過對(duì)上面兩個(gè)圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2(其中a、b是直角邊，c為斜邊)這樣的關(guān)系. ［生］老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2≠c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2＜c2；在銳角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2.它們恒成立嗎？ ［師］這位同學(xué)很善于思考，的確如此.同學(xué)們課后不妨驗(yàn)證一下，你一定會(huì)收獲不小. 3.例題講解 出示投影片(1.1.2 C) ［例1］飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？ ［例2］如下圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，問B點(diǎn)到物體A的像A′的距離是多少？ ［例3］在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動(dòng)的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？ ［師生共析］ ［例1］分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C、B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)刻飛機(jī)的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個(gè)問題. 解：根據(jù)題意，得Rt△ABC中，∠C=90，AB=5000米，AC=4800米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即50002=BC2+48002，所以BC=1400米. 飛機(jī)飛行1400米用了10秒，那么它1小時(shí)飛行的距離為1400660=504000米=504千米，即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時(shí). 評(píng)注：這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，經(jīng)過分析，問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形第三邊的問題，這雖是一個(gè)一元二次方程的問題，學(xué)生可嘗試用學(xué)過的知識(shí)來解決.同時(shí)注意，在此題中小孩是靜止不動(dòng)的. ［例2］分析：此題要用到勾股定理，軸對(duì)稱及物理上的光的反射知識(shí). 解：如例2圖，由題意知△ABA′是直角三角形，由軸對(duì)稱及平面鏡成像可知： AA′=26=12米，AB=5米； 在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米 所以A′B=13米，即B點(diǎn)到物體A的像A′的距離為13米. 評(píng)注：本題是以光的反射為背景，涉及到勾股定理、軸對(duì)稱等知識(shí).由此可見，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ). ［例3］分析：在此問題中，要注意水草的長(zhǎng)度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時(shí)和吹到一邊，它的長(zhǎng)度是不變的. 解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D是無風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD. 所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即(AC+3)2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以這里的水深為4.5分米. 評(píng)注：在幾何計(jì)算題中，方程的思想十分重要. Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，并運(yùn)用勾股定理解決了生活中的實(shí)際問題. Ⅳ.課后作業(yè) 1.課本P9，習(xí)題6.2. 2.收集關(guān)于勾股定理的證明方法. Ⅴ.活動(dòng)與探究 如右圖，木長(zhǎng)二丈，它的一周是3尺，生長(zhǎng)在木下的葛藤纏木七周，上端恰好與木齊，問葛藤長(zhǎng)多少？ 過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關(guān)系.但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會(huì)發(fā)現(xiàn)；這里的葛藤之長(zhǎng)相當(dāng)于直角三角形的斜邊. 結(jié)果：根據(jù)題意，可得一條直角邊(即高)長(zhǎng)2丈即20尺，另一條直角邊(即底邊)長(zhǎng)73=21(尺)，因此葛藤長(zhǎng)設(shè)為x尺，則有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤長(zhǎng)為29尺. 板書設(shè)計(jì) 1.1.2 探索勾股定理(二) 一、用拼圖法驗(yàn)證勾股定理 1. 由上圖得(a+b)2=ab4+c2 即a2+b2=c2； 2. 由上圖可得c2=ab4+(b－a)2 即a2+b2=c2 二、議一議 三、例題講解 四、課時(shí)小結(jié) 1.2 能得到直角三角形嗎 知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.掌握直角三角形的判別條件. 2.熟記一些勾股數(shù). 3.能對(duì)直角三角形的判別條件進(jìn)行一些綜合應(yīng)用. 過程與方法目標(biāo)： 1.用三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想. 2.通過對(duì)直角三角形判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.通過介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問題的愿望. 2.通過對(duì)勾股定理逆定理的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，克服困難的勇氣；體驗(yàn)勾股定理及其逆定理在生活實(shí)際中的實(shí)用性. 教學(xué)重點(diǎn) 直角三角形的判別條件及其應(yīng)用；它可用邊的關(guān)系來判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。 教學(xué)難點(diǎn) 用直角三角形的判別條件判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形及綜合應(yīng)用直角三角形的知識(shí)解題. 教學(xué)方法 引導(dǎo)啟發(fā)法. 教師通過介紹古埃及人作直角的方法啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過已知數(shù)據(jù)作出三角形，并用測(cè)量的方法、探索、歸納用三角形三邊關(guān)系判定直角三角形的條件. 教具準(zhǔn)備 一根有13個(gè)等距的結(jié)的繩子. 投影片兩張： 第一張：例題(記作1.2 A)； 第二張：隨堂練習(xí)(記作1.2 B). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 ［師］下面我們來總結(jié)一下直角三角形有哪些性質(zhì). ［生］直角三角形有如下性質(zhì)：①有一個(gè)內(nèi)角為直角；②兩個(gè)銳角互余；③兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. ［生］在含30角的直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半. ［師］很好，反過來，一個(gè)三角形，滿足什么條件就是直角三角形呢？ ［生］如果有一個(gè)內(nèi)角是直角，它就是直角三角形. ［生］如果有兩個(gè)角的和是90，那么這個(gè)三角形也是直角三角形. ［師］我們可以注意到這些同學(xué)都是通過角的關(guān)系判定直角三角形的. 前面，我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b，斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2+b2=c2.我們是否也可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？ Ⅱ.講述新課 1.古代埃及人作直角 ［師］其實(shí)，古代埃及人就曾用三角形三邊的關(guān)系作出了直角.下面我們一同演示一下. 我這兒有一根繩子，上面有13個(gè)等距的結(jié)，把這根繩子分成等長(zhǎng)的12段.下面我讓一個(gè)同學(xué)同時(shí)握住繩子的第(1)個(gè)和第(13)個(gè)結(jié)，再讓兩個(gè)同學(xué)分別握住繩子的第(4)個(gè)結(jié)和第(8)個(gè)結(jié)，(如下圖所示)拉緊繩子，大家觀察可以發(fā)現(xiàn)什么？ ［生］得到一個(gè)直角三角形，在第(4)個(gè)結(jié)處的角是直角. ［師］我們?cè)賮砜丛诘?1)個(gè)結(jié)到第(4)個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長(zhǎng)度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因?yàn)?2+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三邊滿足a2+b2=c2，就可以得到一個(gè)直角三角形呢？ 我們不妨再找?guī)捉M數(shù)試一試. 2.做一做 下面四組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c： 5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7. (1)這四組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？ (2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？ ［師生共析］(1)52+122=169=132； 72+242=625=252； 82+152=289=172； 52+62=61≠72. 所以這四組數(shù)，前三組滿足a2+b2=c2，而最后一組不滿足. ［師］以5，12，13這一組數(shù)為例，誰(shuí)能告訴我如何作出以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的三角形呢？ ［生］作法：①作線段AB=5個(gè)單位長(zhǎng)度；②分別以A、B為圓心，12個(gè)單位長(zhǎng)度，13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于線段AB的同旁于一點(diǎn)C；③連結(jié)AC、BC.△ABC就是以5、12、13為邊長(zhǎng)的三角形. ［師］很好.下面同學(xué)們就以小組為單位來完成第(2)小題. (讓學(xué)生親自動(dòng)手作三角形，并用量角器量出各個(gè)內(nèi)角，然后小組內(nèi)交流，從而獲得一個(gè)三角形是直角三角形三邊的條件) ［生］我們通過作三角形，測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角發(fā)現(xiàn)：前三組數(shù)滿足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一組數(shù)不滿足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形. ［師］你能告訴我在你作出的直角三角形中，哪一邊是斜邊嗎？哪一個(gè)角是直角嗎？ ［生］前三組數(shù)中，較長(zhǎng)的邊是斜邊，斜邊所對(duì)的角是直角. ［師］從“做一做”中你能猜想到什么結(jié)論呢？ ［生］如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. ［師］剛才，我們只是從特例中猜想出來上面的結(jié)論.可能有的同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑慮，果真如此嗎？下面我用前面的知識(shí)解釋一下這個(gè)結(jié)論，大家就會(huì)知道，我們的猜想是正確的. 已知：在△ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2. 求證：∠c=90 證明：作△A′B′C′，使∠C′=90，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(為什么？). 由已知條件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0) 在△ABC和△A′B′C′中有BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，則△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90. 現(xiàn)在大家沒有疑慮了吧.同時(shí)也明白了古埃及人那樣做的道理.實(shí)際上，古代中國(guó)人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技發(fā)達(dá)的今天——人類已跨入21世紀(jì)，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”. “三四五放線法”是一種古老的規(guī)范操作.所謂“歸方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如下圖，欲過基線MN上的一點(diǎn)C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測(cè)繩的0和12尺處，固定在C點(diǎn)；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點(diǎn)；再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點(diǎn).于是連結(jié)BC，就是MN的垂線. 建筑工人用了3，4，5作出了一個(gè)直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？ ［生］可以.例如7，24，25；8，15，17等. ［師］是的.如果三角形三條邊滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).那么滿足條件的勾股數(shù)有多少組呢？它們是如何形成的？我們的先人數(shù)學(xué)家劉徽和希臘數(shù)學(xué)家曾相繼提出了表示所有勾股整數(shù)組的方法. 下面我們來了解一下這方面的情況. 3.讀一讀 ［師］同學(xué)們可以打開課本P11，閱讀“讀一讀”——勾股數(shù)組與費(fèi)馬大定理. (讀一讀介紹了尋找勾股數(shù)組的一種方法以及由此引發(fā)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)問題——費(fèi)馬大定理) 現(xiàn)在我們就來嘗試驗(yàn)證其中提供的求勾股數(shù)組方法的合理性.即 求證：m2－n2，m2+n2，2mn(m＞n，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng). ［師生共析］要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定條件來判斷它們是否是一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng). 證明：m＞n，m、n是正整數(shù). (m2－n2)+(m2+n2)=2m2＞2mn. 即(m2－n2)+(m2+n2)＞2mn. 又因?yàn)?m2－n2)+2mn=m2+n(2m－n) 而2m－n=m+(m－n)＞0，所以(m2－n2)+2mn＞m2+n2，由此可知， 這三條線段可組成三角形. 又因?yàn)?m2－n2)2+(2mn)2=m4+4m2n2－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2. 則(m2－n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2. 由直角三角形的判定條件， 可知：這三條線段組成的三角形是直角三 角形. ［師］你能用這個(gè)方法找到5組勾股數(shù)嗎？ ［生］可以，如下表 m＞n m、n是正整數(shù) 勾股數(shù)組 m2－n2 2mn m2+n2 m=2，n=1 3 4 5 m=3，n=2 5 12 13 m=4，n=3 7 24 25 m=5，n=4 9 40 41 m=3，n=1 8 6 10 … … … … 下面我們利用直角三角形判定的條件來看幾個(gè)例題. 4.例題講解 出示投影片(1.2A) ［例1］一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎？ 分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題的例子. 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此這個(gè)零件符合要求. Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.(課本P11)下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說說你的理由. (1)9，12，15； (2)15，36，39； (3)12，35，36； (4)12，18，22. 解：根據(jù)直角三角形的判定條件. (1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)兩組數(shù)可以作為直角三角形的三邊；但(3)122+352≠362，(4)122+182≠322，所以(3)(4)兩組數(shù)不能作為直角三角形的三邊. 2.(補(bǔ)充練習(xí))出示投影片(1.2 B) (1)判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形. 解：因?yàn)閍2+b2=100+64=164≠c2 即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能組成直角三角形. 請(qǐng)問：上述解法對(duì)嗎？為什么？ (2)已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC邊上的中線AD=12 cm.求證：AB=AC. (1)解：上述解法是不對(duì)的.因?yàn)閍=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于等三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，b、c是兩直角邊. 評(píng)注：在解題時(shí)，我們不能簡(jiǎn)單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應(yīng)先判斷哪一條邊有可能作為斜邊.往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和. (2)證明：根據(jù)題意，畫出圖形.AB=13 cm，BC=10 cm. AD是BC邊上的中線—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169. 所以AB2=AD2+BD2.則∠ADB=90. ∠ADC=180－∠ADB=180－90=90. 在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132. 所以AC=AB=13 cm. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們歸納推理出直角三角形判定條件，并用它去解決生活實(shí)際中的問題，最后我們還介紹了求勾股數(shù)組的方法. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P12，習(xí)題6.3； 2.熟記幾組常用的勾股數(shù). Ⅵ.活動(dòng)與探究 給出一組式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262 (1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎？請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個(gè)式子； (2)請(qǐng)你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律. 過程：觀察式子，要注意這些式子中不變的形式，如等式兩邊每一項(xiàng)的指數(shù)為2，等式左邊是平方和的形式，右邊是一個(gè)數(shù)的平方.很顯然，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再觀察每一項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系.如32，82，152，242與序號(hào)有何關(guān)系，可知32=(22－1)2，82=(32－1)2，152=(42－1)2，242=(52－1)2；所以我們可推想，第一項(xiàng)一定是(n2－1)2.(其n＞1，n為整數(shù)).同理可得第二項(xiàng)一定是(2n)2，等式右邊一定是(n2+1)2(其中n＞1，n為整數(shù)). (1)解：上面的式子是有規(guī)律的，即(n2－1)2+(2n)2=(n2+1)2(n為大于1的整數(shù)). 第5個(gè)式子是n=6時(shí)，即(62－1)2+(26)2=(62+1)2化簡(jiǎn)，得352+122=372. (2)證明：左邊=(n2－1)2+(2n)2=(n4－2n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右邊.證畢. 板書設(shè)計(jì) 1.2 能得到直角三角形嗎 一、古埃及人作直角的方法 二、做一做 下面三組數(shù)能作出直角三角形嗎？ 1.7，24，25；2.8，15，17；3.5，6，7； 三、由特例猜想：直角三角形用邊的關(guān)系來判定的條件：如果三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c且滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 四、1.勾股數(shù). 2.求勾股數(shù)的方法：m2+n2，m2－n2，2mn(其中m＞n，m、n是正整數(shù)). 3.讀一讀. 五、例題(略) 六、隨堂練習(xí) 1.3 螞蟻怎樣走最近 知識(shí)與技能目標(biāo)： 能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題. 過程與方法目標(biāo)： 1.學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念. 2.在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 2.在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，體現(xiàn)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué). 教學(xué)重點(diǎn) 探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問題. 教學(xué)難點(diǎn) 利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題. 教學(xué)方法 啟發(fā)—?jiǎng)邮植僮飨嘟Y(jié)合. 教具準(zhǔn)備 投影片三張： 第一張：螞蟻怎樣走最近(記作1.3 A)； 第二張：做一做(記作1.3 B)； 第三張：隨堂練習(xí)(記作1.3 C). 硬紙板做的圓柱. 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 ［師］我們學(xué)習(xí)了勾股定理和直角三角形的判別條件(即勾股定理逆定理).一起回憶一下. ［生］勾股定理：如果直角三角形兩直角邊是a，b，斜邊為c，則a2+b2=c2. 直角三角形判別條件(即勾股定理逆定理)：a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，則這個(gè)三角形是直角三角形. ［師］我們知道這兩個(gè)定理非常重要.而之所以重要是因?yàn)樗鼈兪锹?lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對(duì)象——數(shù)和形.由直角三角形的“形”，可得到三邊關(guān)系的“數(shù)”；反過來，由三角形三邊關(guān)系這個(gè)“數(shù)”，也可得到直角三角形這個(gè)“形”.更為重要的是，用它們能解決生活中的實(shí)際問題. 例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長(zhǎng)的梯子？ ［生］根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長(zhǎng)度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米. 所以至少需13米長(zhǎng)的梯子. ［師］顯而易見，勾股定理及其逆定理，應(yīng)用十分廣泛.下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子. Ⅱ.講授新課 1.螞蟻怎么走最近 出示投影片(1.3A) 如圖所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3.14). ［師］同學(xué)們可自己做一個(gè)圓柱，嘗試從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？ ［生］圓柱的側(cè)面是曲面.螞蟻要從A點(diǎn)爬行到B點(diǎn)，它沒有翅膀，只能從圓柱的側(cè)面爬到A點(diǎn)，而且爬行的路程最短，我認(rèn)為螞蟻可以從A點(diǎn)沿著圓柱的母線到A′點(diǎn)，再沿著上底面的邊緣爬到B點(diǎn)；也可以從A點(diǎn)沿著下底面的邊緣到達(dá)B′，再沿著母線向上爬，到達(dá)B點(diǎn). ［師］你可以將剛才的路線畫到你做的圓柱上.是不是最短的呢？ ［生］我認(rèn)為不是.我還可以在上底面邊緣A′、B之間取中點(diǎn)D，螞蟻可沿曲面由A直接到D，再沿上底面的邊緣到達(dá)B. ［生］老師，我還有更短的.可以讓螞蟻從A點(diǎn)直接到達(dá)B點(diǎn). ［師］同學(xué)們可以將剛才幾位同學(xué)設(shè)計(jì)的路線和你自己設(shè)計(jì)的路線都畫在圓柱的側(cè)面上.到底誰(shuí)畫的路線最短呢？ 我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一長(zhǎng)方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA′將圓柱的側(cè)面展開(如下圖). 我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學(xué)的走法： (1)A→A′→B； (2)A→B′→B； (3)A→D→B； (4)A—→B. 哪條路線是最短呢？你畫對(duì)了嗎？ ［生］第(4)條路線最短.因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間的連線中線段最短”. ［師］是不是有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感受.看上去這是一個(gè)曲面上的路線問題，可當(dāng)我們把圓柱的側(cè)面展成一個(gè)平面圖形——長(zhǎng)方形時(shí)，使我們恍然大悟其中的道理.真是“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)功夫”. 那么螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它需要的最短路程是多少呢？(π取3) ［生］當(dāng)我們把圓柱的側(cè)面展成長(zhǎng)方形時(shí)，求最短路線問題就變成了：在Rt△AA′B中，已知AA′=12厘米，A′B′=πr=33=9厘米.根據(jù)勾股定理可得AB2=AA′2+ A′B2=122+92=225，所以AB=15厘米.即螞蟻爬行的最短距離為15厘米. 2.做一做 出示投影片(1.3 B) 如圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測(cè)正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺. (1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？ (2)李叔叔量得AD的長(zhǎng)是30厘米，AB的長(zhǎng)是40厘米，BD長(zhǎng)是50厘米.AD邊垂直于AB邊嗎？ (3)小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？ ［師生共析］李叔叔隨身只帶卷尺檢測(cè)AD，BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測(cè) ∠DAB=90，∠CBA=90.連結(jié)BD或AC，也就是要檢測(cè)△DAB和△CBA是否為直角三角形.很顯然，這是一個(gè)需用勾股定理的逆定理來解決的實(shí)際問題. (可以先鼓勵(lì)學(xué)生自己尋找辦法) ［生］根據(jù)我們剛才的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測(cè)△DAB是否為直角三角形，即∠DAB=90，李叔叔只需用卷尺分別量出AB、BD、DA的長(zhǎng)度，然后計(jì)算AB2+DA2和BD2，看它們是否相等.若相等，則說明AD⊥AB.同理也可檢測(cè)BC是否垂直于AB. ［師］很好！我們來看第(2)個(gè)問題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長(zhǎng)度 ，根據(jù)他量出的長(zhǎng)度能說明DA和AB垂直嗎？ ［生］可以.因?yàn)锳D2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2.可得AD和AB垂直. ［師］小明帶的刻度尺長(zhǎng)度只有20厘米，他有辦法檢驗(yàn)AD與AB邊的垂直嗎？ ［生］可以利用分段相加的方法量出AB、AD和BD的長(zhǎng)度. ［生］這樣做誤差較大.可在AB、AD上各量一段較小長(zhǎng)度.例如在AB邊上量一小段AE= 8 cm，在AD邊上量一小段AF=6 cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102.這時(shí)只要量一下EF是否等于10厘米即可.如果EF=10 cm，EF2=100，則有AE2+AF2=EF2，根據(jù)勾股定理的逆定理就可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90即∠DAB=90，所以AD⊥AB；如果EF≠10厘米，則EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，所以△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB. ［生］也可以在AB邊上取AM=3厘米，在AD邊上取AN=4厘米，再量MN是否等于5厘米，也可以檢測(cè)AD與AB是否垂直. ［師］看來，同學(xué)們的方法還真不少.勾股定理和它的逆定理在實(shí)際生活中應(yīng)用確實(shí)十分廣泛.我們不妨再用它們解決幾個(gè)問題. Ⅲ.隨堂練習(xí) 出示投影片(1.3 C) 1.甲、乙兩位探險(xiǎn)者，到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn).某日早晨8∶00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東行走.1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn).上午10∶00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？ 2.如圖，有一個(gè)高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒應(yīng)有多長(zhǎng)？ ［師生共析］1.分析：首先我們需要根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 解：(如圖)根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10∶00時(shí)甲到達(dá)B點(diǎn)，則AB=26=12(千米)；乙到達(dá)C點(diǎn)，則AC=15=5(千米). 在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千米. 2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長(zhǎng)是一個(gè)取值范圍而不是固定的長(zhǎng)度，所以鐵棒最長(zhǎng)時(shí)，是插入至底部的A點(diǎn)處，鐵棒最短時(shí)是垂直于底面時(shí). 解：設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為x米，則應(yīng)求最長(zhǎng)時(shí)和最短時(shí)的值. (1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最長(zhǎng)是2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米). 答：這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2~3米之間(包含2米、3米). 3.試一試(課本P15) 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？ (這是一道我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中記載的一個(gè)有趣的問題，讓學(xué)生在全班對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行討論，從中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智) ［師生共析］我們可以將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為(x+1)尺，由勾股定理可求得 (x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25 解得x=12 則水池的深度為12尺，蘆葦