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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì).doc

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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì).doc

2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(diǎn)(圓心)等于定長(半徑)的點(diǎn)的集合叫圓,圓常被人們看成是最完美的事物,圓的圖形在人類進(jìn)程中打下深深的烙印. 圓的基本性質(zhì)有:一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系,如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等;二是圓的對(duì)稱性,圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,又是一中心對(duì)稱圖形.用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意: 1.熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明; 2.了解弧的特性及中介作用; 3.善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論: 【例題求解】 【例1】在半徑為1的⊙O中,弦AB、AC的長分別為和,則∠BAC度數(shù)為 . 作出輔助線,解直角三角形,注意AB與AC有不同的位置關(guān)系. 注: 由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理,垂徑定理是其中比較重要的一個(gè),它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系,應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形,常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié) 合起來. 圓是一個(gè)對(duì)稱圖形,注意圓的對(duì)稱性,可提高解與圓相關(guān)問題周密性. 【例2】 如圖,用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形,則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A. B. C. D. 思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上,且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點(diǎn),通過設(shè)未知數(shù)求解. ⌒ ⌒ 【例3】 如圖,已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上,AB=BD,BM⊥AC于M,求證:AM=DC+CM. 思路點(diǎn)撥 用截長(截AM)或補(bǔ)短(延長DC)證明,將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明,證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它. ⌒ 【例4】 如圖甲,⊙O的直徑為AB,過半徑OA的中點(diǎn)G作弦C E⊥AB,在CB上取一點(diǎn)D,分別作直線CD、ED,交直線AB于點(diǎn)F,M. (1)求∠COA和∠FDM的度數(shù); ⌒ (2)求證:△FDM∽△; (3)如圖乙,若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn),點(diǎn)D改取在EB上,仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點(diǎn)F、M,試判斷:此時(shí)是否有△FDM∽△? 證明你的結(jié)論. 思路點(diǎn)撥 (1)在Rt△COG中,利用OG=OA=OC;(2)證明∠=∠FDM,∠CMO= ∠FMD;(3)利用圖甲的啟示思考. 注:善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧,此處,要努力把圓與直線形相合起來,認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路,而在解與圓相關(guān)問題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似). 【例5】 已知:在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,以C為圓心,CD為半徑的半圓交BC的延長線于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M,且∠B=∠CAE,EF:FD=4:3. (1)求證:AF=DF; (2)求∠AED的余弦值; (3)如果BD=10,求△ABC的面積. 思路點(diǎn)撥 (1)證明∠ADE=∠DAE;(2)作AN⊥BE于N,cos∠AED=,設(shè)FE=4x,F(xiàn)D=3x,利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示;(3)尋找相似三角形,運(yùn)用比例線段求出x的值. 注:本例的解答,需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想,綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵. 學(xué)歷訓(xùn)練 1.D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn),且OD=3cm,則過點(diǎn)D的所有弦中,最小弦AB= . 2.閱讀下面材料: 對(duì)于平面圖形A,如果存在一個(gè)圓,使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑,則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋. 對(duì)于平面圖形A,如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓,使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑,則稱圖形A被這些圓所覆蓋. 例如:圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋,圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋. 回答下列問題: (1)邊長為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (2)邊長為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (3)長為2cm,寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm. 3.世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案,萬物才顯得富有生機(jī),以下來自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓:它們看上去多么美麗與和諧,這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性. (1)請(qǐng)問以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有 ,是中心對(duì)稱圖形的有 (分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a,b,c填空). (2)請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中,按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可,但要盡可能準(zhǔn)確些,美觀些). a.是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形. b.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 4.如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為( ) A.12cm B.10cm C. 8cm D.6cm 5.一種花邊是由如圖的弓形組成的,ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為( ) A.2 B. C.3 D. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 6.如圖,在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF,如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關(guān)系是( ) A.AB+CD=EF B.AB+CD=F C. AB+CD<EF D.不能確定 7.電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成,未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片,叫“晶圓片”.現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片,需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圓片的直徑為10.05cm,問:一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請(qǐng)說明你的方法和理由(不計(jì)切割損耗). ⌒ 8.如圖,已知⊙O的兩條半徑OA與OB互相垂直,C為AmB上的一點(diǎn),且AB2+OB2=BC2,求∠OAC的度數(shù). 9.不過圓心的直線交⊙O于C、D兩點(diǎn),AB是⊙O的直徑,AE⊥,垂足為E,BF⊥,垂足為F. (1)在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形; (2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫圖形,寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母,找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中,不寫推理過程); (3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形,證明(2)所得出的結(jié)論. 10.以AB為直徑作一個(gè)半圓,圓心為O,C是半圓上一點(diǎn),且OC2=ACBC, ⌒ 則∠CAB= . 11.如圖,把正三角形ABC的外接圓對(duì)折,使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上,若BC=5,則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE長為 . 12.如圖,已知AB為⊙O的弦,直徑MN與AB相交于⊙O內(nèi),MC⊥AB于C,ND⊥AB于D,若MN=20,AB=,則MC—ND= . ⌒ 13.如圖,已知⊙O的半徑為R,C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn),AC的度數(shù)為96,BD的度數(shù)為36,動(dòng)點(diǎn)P在AB上,則CP+PD的最小值為 . 14.如圖1,在平面上,給定了半徑為r的圓O,對(duì)于任意點(diǎn)P,在射線OP上取一點(diǎn)P′,使得OPOP′=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫作反演變換,點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn). (1)如圖2,⊙O內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B,它們的反演點(diǎn)分別為A′和B′,求證:∠A′=∠B; (2)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形. ①選擇:如果不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與⊙O相交,那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是( ) A.一個(gè)圓 B.一條直線 C.一條線段 D.兩條射線 ②填空:如果直線與⊙O相切,那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是 ,該圖形與圓O的位置關(guān)系是 . ⌒ 15.如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O,對(duì)角線AC是直徑,對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長. 16.如圖,已知圓內(nèi)接△ABC中,AB>AC,D為BAC的中點(diǎn),DE⊥AB于E,求證:BD2-AD2=ABAC. 17.將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi),則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素,精確到0.1cm) 18.如圖,直徑為13的⊙O′,經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程的兩根. ⌒ (1)求線段OA、OB的長; (2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連結(jié)BC交OA于D,當(dāng)OC2=CDCB時(shí),求C點(diǎn)坐標(biāo); (3)在⊙O,上是否存在點(diǎn)P,使S△POD=S△ABD?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 參考答案

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