2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十八講 圓的基本性質(zhì).doc
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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(圓心)等于定長(半徑)的點的集合叫圓,圓常被人們看成是最完美的事物,圓的圖形在人類進程中打下深深的烙印. 圓的基本性質(zhì)有:一是與圓相關的基本概念與關系,如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等;二是圓的對稱性,圓既是一個軸對稱圖形,又是一中心對稱圖形.用圓的基本性質(zhì)解題應注意: 1.熟練運用垂徑定理及推論進行計算和證明; 2.了解弧的特性及中介作用; 3.善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關系的轉(zhuǎn)化. 熟悉如下基本圖形、基本結論: 【例題求解】 【例1】在半徑為1的⊙O中,弦AB、AC的長分別為和,則∠BAC度數(shù)為 . 作出輔助線,解直角三角形,注意AB與AC有不同的位置關系. 注: 由圓的對稱性可引出許多重要定理,垂徑定理是其中比較重要的一個,它溝通了線段、角與圓弧的關系,應用的一般方法是構造直角三角形,常與勾股定理和解直角三角形知識結 合起來. 圓是一個對稱圖形,注意圓的對稱性,可提高解與圓相關問題周密性. 【例2】 如圖,用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形,則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A. B. C. D. 思路點撥 所作最小圓圓心應在對稱軸上,且最小圓應盡可能通過圓形的某些頂點,通過設未知數(shù)求解. ⌒ ⌒ 【例3】 如圖,已知點A、B、C、D順次在⊙O上,AB=BD,BM⊥AC于M,求證:AM=DC+CM. 思路點撥 用截長(截AM)或補短(延長DC)證明,將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明,證題的關鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它. ⌒ 【例4】 如圖甲,⊙O的直徑為AB,過半徑OA的中點G作弦C E⊥AB,在CB上取一點D,分別作直線CD、ED,交直線AB于點F,M. (1)求∠COA和∠FDM的度數(shù); ⌒ (2)求證:△FDM∽△; (3)如圖乙,若將垂足G改取為半徑OB上任意一點,點D改取在EB上,仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點F、M,試判斷:此時是否有△FDM∽△? 證明你的結論. 思路點撥 (1)在Rt△COG中,利用OG=OA=OC;(2)證明∠=∠FDM,∠CMO= ∠FMD;(3)利用圖甲的啟示思考. 注:善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧,此處,要努力把圓與直線形相合起來,認識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路,而在解與圓相關問題時常用到直線形的知識與方法(主要是指全等與相似). 【例5】 已知:在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,以C為圓心,CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E,交AD于點F,交AE于點M,且∠B=∠CAE,EF:FD=4:3. (1)求證:AF=DF; (2)求∠AED的余弦值; (3)如果BD=10,求△ABC的面積. 思路點撥 (1)證明∠ADE=∠DAE;(2)作AN⊥BE于N,cos∠AED=,設FE=4x,F(xiàn)D=3x,利用有關知識把相關線段用x的代數(shù)式表示;(3)尋找相似三角形,運用比例線段求出x的值. 注:本例的解答,需運用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想,綜合運用直線形相關知識方法思想是解與圓相關問題的關鍵. 學歷訓練 1.D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點,且OD=3cm,則過點D的所有弦中,最小弦AB= . 2.閱讀下面材料: 對于平面圖形A,如果存在一個圓,使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑,則稱圖形A被這個圓所覆蓋. 對于平面圖形A,如果存在兩個或兩個以上的圓,使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑,則稱圖形A被這些圓所覆蓋. 例如:圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋,圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋. 回答下列問題: (1)邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (2)邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (3)長為2cm,寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm. 3.世界上因為有了圓的圖案,萬物才顯得富有生機,以下來自現(xiàn)實生活的圖形中都有圓:它們看上去多么美麗與和諧,這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性. (1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有 ,是中心對稱圖形的有 (分別用下面三個圖的代號a,b,c填空). (2)請你在下面的兩個圓中,按要求分別畫出與上面圖案不重復的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可,但要盡可能準確些,美觀些). a.是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形. b.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形. 4.如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和為( ) A.12cm B.10cm C. 8cm D.6cm 5.一種花邊是由如圖的弓形組成的,ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為( ) A.2 B. C.3 D. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 6.如圖,在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF,如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關系是( ) A.AB+CD=EF B.AB+CD=F C. AB+CD- 配套講稿:
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