2019中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 綜合能力提升練習(xí)五(含解析).doc
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2019中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 綜合能力提升練習(xí)五(含解析).doc
綜合能力提升練習(xí)五
一、單選題
1.如圖,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90,O是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)D,E分別在直角邊AC,BC上,且∠DOE=90,DE交OC于點(diǎn)P.則下列結(jié)論:
( 1 )圖形中全等的三角形只有兩對;(2)△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍;( 3 )CD+CE= OA;(4)AD2+BE2=2OP?OC.其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,則c、d的位置關(guān)系為( ?。?
A.互相垂直B.互相平行C.相交D.沒有確定關(guān)系
3.下列命題不正確的是( )
A.0是整式B.x=0是一元一次方程
C.(x+1)(x﹣1)=x2+x是一元二次方程D.是二次根式
4.把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則 的度數(shù)是( )
A.120B.135C.150D.165
5.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為4的矩形,這個(gè)圓柱的母線l與圓柱的底面半徑r之間的函數(shù)關(guān)系是( )
A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C.一次函數(shù)D.二次函數(shù)
6.如圖,觀察下列用紙折疊成的圖案.其中,軸對稱圖形和中心對稱圖形的個(gè)數(shù)分別為( )
A.4,1B.3,1C.2,2D.1,3
7.下列各式中,計(jì)算正確的是()
A.2x+x=2x2 B.153.5+203′=17333′C.5a2-3a2=2D.2x+3y=5xy
8.以下各命題中,正確的命題是()
(1)等腰三角形的一邊長4 cm,一邊長9 cm,則它的周長為17 cm或22 cm;
(2)三角形的一個(gè)外角,等于兩個(gè)內(nèi)角的和;
(3)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;
(4)等邊三角形是軸對稱圖形;
(5)三角形的一個(gè)外角平分線平行于三角形的一邊,那么這個(gè)三角形是等腰三角形.
A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(5)C.(2)(4)(5)D.(4)(5)
9.如圖,方格圖中小正方形的邊長為1.將方格圖中陰影部分圖形剪下來,再把剪下的陰影部分重新剪拼成一個(gè)正方形(不重疊無縫隙),那么所拼成的這個(gè)正方形的邊長等于().
A.B.2C.D.
10.如圖,EF是△ABC的中位線,將△AEF沿中線AD方向平移到△A1E1F1的位置,使E1F1與BC邊重合,已知△AEF的面積為7,則圖中陰影部分的面積為( )
A.7B.14C.21D.28
二、填空題
11.一條弦把圓分成1:5兩部分,則這條弦所對的圓周角的度數(shù)是________
12.計(jì)算=________,=________.
13.一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm,母線長為5cm,則圓錐的側(cè)面積為________cm2 .
14.在△ABC中,AB=AC,AB的中垂線于AC所在的直線相交所得的銳角為40,則底角∠B的大小為________
15.在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥BC,垂足為E,連接DE交AC于點(diǎn)P,過P作PF⊥BC,垂足為F,則的值是________.
16.2sin60﹣( )﹣2+(π﹣ )0=________.
三、計(jì)算題
17.計(jì)算:
18.化簡代數(shù)式 ,并判斷當(dāng)x滿足不等式組 時(shí)該代數(shù)式的符號.
19.計(jì)算: ﹣|﹣2|+(1﹣ )0﹣9tan30.
四、解答題
20.如圖,△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,BD=2,AD=8,求S△ABC .
21.用一根長為40cm的鐵絲圍成一個(gè)半徑為r的扇形,求扇形的面積y與它的半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式,這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)嗎?請寫出半徑r的取值范圍.
22.如圖,已知A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn),AB=BC,BD交AC于點(diǎn)E,連接CD、AD.
(1)求證:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的長.
五、綜合題
23.△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B.
(1)如圖(1)當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形.
(2)如圖(2),將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),DM,DN分別交線段AC,AB于E,F(xiàn)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合),不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結(jié)論.
(3)在圖(2)中,若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)S△DEF= S△ABC時(shí),求線段EF的長.
24.如圖,在△ABC中,AB=AC=5,AB邊上的高CD=4,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AB,交邊AC或邊BC于點(diǎn)Q,以PQ為邊向右側(cè)作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(秒).
(1)直接寫出tanB的值為________.
(2)求點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)邊BC將正方形PQMN的面積分為1:3兩部分時(shí),直接寫出t的值.
答案解析部分
一、單選題
1.如圖,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90,O是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)D,E分別在直角邊AC,BC上,且∠DOE=90,DE交OC于點(diǎn)P.則下列結(jié)論:
( 1 )圖形中全等的三角形只有兩對;(2)△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍;( 3 )CD+CE= OA;(4)AD2+BE2=2OP?OC.其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解:結(jié)論(1)錯(cuò)誤.理由如下:
圖中全等的三角形有3對,分別為△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
由等腰直角三角形的性質(zhì),可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE.
在△AOD與△COE中,
∴△AOD≌△COE(ASA).
同理可證:△COD≌△BOE.
結(jié)論(2)正確.理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴S△AOD=S△COE , ∴S四邊形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC= S△ABC , 即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍.
結(jié)論(3)正確,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴CE=AD,∴CD+CE=CD+AD=AC= OA.
結(jié)論(4)正確,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2 , ∴AD2+BE2=DE2 .
∵△AOD≌△COE,∴OD=OE.又∵OD⊥OE,∴△DOE為等腰直角三角形,∴DE2=2OE2 , ∠DEO=45.∵∠DEO=∠OCE=45,∠COE=∠COE,∴△OEP∽△OCE,∴ ,即OP?OC=OE2 , ∴DE2=2OE2=2OP?OC,∴AD2+BE2=2OP?OC.
綜上所述:正確的結(jié)論有3個(gè).故答案為:C.
【分析】(1)圖中全等的三角形有3對,分別為△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE;
(2)由(1)知△AOD≌△COE,所以△AOD的面積=△COE的面積,則四邊形CDOE的面積=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC,即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍;
(3)由(1)知△AOD≌△COE,所以CE=AD,所以CD+CE=CD+AD=AC==AO;
(4)由(1)知△AOD≌△COE,所以CE=AD,OD=OE,由(1)知△COD≌△BOE,所以BE=CD,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2 , 即AD2+BE2=DE2 , 在等腰直角三角形ODE中,DE2=2OE2 , ∠DEO=45.由已知易證得△OEP∽△OCE,可得比例式,即OP?OC=OE2 , 所以DE2=2OE2=2OP?OC,所以AD2+BE2=2OP?OC。
2.同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,則c、d的位置關(guān)系為( )
A.互相垂直B.互相平行C.相交D.沒有確定關(guān)系
【答案】B
【考點(diǎn)】平行線的判定
【解析】【解答】如圖,∵a∥b,a⊥c,∴c⊥b,又∵b⊥d,∴c∥d.故選B.
【分析】作出圖形,根據(jù)平行公理的推論解答.
3.下列命題不正確的是( )
A.0是整式B.x=0是一元一次方程
C.(x+1)(x﹣1)=x2+x是一元二次方程D.是二次根式
【答案】C
【考點(diǎn)】二次根式的定義,一元一次方程的定義,一元二次方程的定義,整式的定義
【解析】【解答】A.整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式;數(shù)與字母的乘積是單項(xiàng)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式;故0是單項(xiàng)式,即是整式;A不符合題意;
B.一元一次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)的整式,未知數(shù)的最高次數(shù)是1;通常形式是ax+b=0(a,b為常數(shù),且a≠0).故x=0是一元一次方程;B不符合題意;
C.一元二次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)的整式,未知數(shù)的最高次數(shù)是2;通常形式是ax2+bx+c=0(a≠0).C的式子化簡后不是一元二次方程,C符合題意;
D.二次根式:一般地,形如的代數(shù)式;故是二次根式;D不符合題意;
故答案為:C.
【分析】A根據(jù)整式的定義來分析;B根據(jù)一元一次方程的定義來分析;C根據(jù)一元二次方程的定義來分析;D根據(jù)二次根式的定義來分析;
4.把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則 的度數(shù)是( )
A.120B.135C.150D.165
【答案】C
【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系,翻折變換(折疊問題)
【解析】【解答】解:如圖所示:連接BO,過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E, 由題意可得:EO= BO,AB∥DC,
可得∠EBO=30,
故∠BOD=30,
則∠BOC=150,
故 的度數(shù)是150.
故選:C.
【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BOD=30,再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案.
5.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為4的矩形,這個(gè)圓柱的母線l與圓柱的底面半徑r之間的函數(shù)關(guān)系是( ?。?
A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C.一次函數(shù)D.二次函數(shù)
【答案】B
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式
【解析】【分析】根據(jù)題意,由等量關(guān)系“矩形的面積=底面周長母線長”列出函數(shù)表達(dá)式再判斷它們的關(guān)系則可。
【解答】由題意得2πrL=4,
則,
所以這個(gè)圓柱的母線長L和底面半徑r之間的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)。
故選B.
【點(diǎn)評】熟記圓柱側(cè)面積公式,列式整理出l、r的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵。
6.如圖,觀察下列用紙折疊成的圖案.其中,軸對稱圖形和中心對稱圖形的個(gè)數(shù)分別為( )
A.4,1B.3,1C.2,2D.1,3
【答案】B
【考點(diǎn)】軸對稱圖形,中心對稱及中心對稱圖形
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念結(jié)合圖形求解即可.
【解答】第一個(gè)是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;
第二個(gè)是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;
第三個(gè)是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;
第四個(gè)不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形;
綜上可得軸對稱圖形有3個(gè),中心對稱圖形有1個(gè).
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識,軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖象沿對稱軸折疊后可重合,中心對稱圖形是要尋找對稱中心,圖形旋轉(zhuǎn)180后與原圖形重合
7.下列各式中,計(jì)算正確的是()
A.2x+x=2x2 B.153.5+203′=17333′C.5a2-3a2=2D.2x+3y=5xy
【答案】B
【考點(diǎn)】角的計(jì)算
【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則,度、分、秒的換算,結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【解答】A、2x+x=2x2 , 原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、153.5+203′=17333′,原式計(jì)算正確,故本選項(xiàng)正確;
C、5a2-3a2=2a2 , 原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、2x與3y不是同類項(xiàng),不能直接合并,原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了合并同類項(xiàng)的知識,屬于基礎(chǔ)題,掌握合并同類項(xiàng)的法則是解題關(guān)鍵.
8.以下各命題中,正確的命題是()
(1)等腰三角形的一邊長4 cm,一邊長9 cm,則它的周長為17 cm或22 cm;
(2)三角形的一個(gè)外角,等于兩個(gè)內(nèi)角的和;
(3)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;
(4)等邊三角形是軸對稱圖形;
(5)三角形的一個(gè)外角平分線平行于三角形的一邊,那么這個(gè)三角形是等腰三角形.
A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(5)C.(2)(4)(5)D.(4)(5)
【答案】D
【考點(diǎn)】命題與定理
【解析】
【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得三邊長,再考慮是否符合三角形的三邊關(guān)系;
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可判斷;
(3)根據(jù)三角形全等的判定定理可判斷;
(4)根據(jù)軸對稱的定義可判斷;
(5)根據(jù)題意畫出圖形即可證出是否是等腰三角形.
【解答】(1)等腰三角形的一邊長4cm,一邊長9cm,則三邊長為:9cm.9cm,4cm,或4cm,4cm,9cm,因?yàn)椋?+4<9,則它的周長只能是為22cm,故此命題錯(cuò)誤;
(2)三角形的一個(gè)外角,等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,故此命題錯(cuò)誤;
(3)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等錯(cuò)誤,必須是夾角;
(4)等邊三角形是軸對稱圖形,此命題正確;
(5)三角形的一個(gè)外角平分線平行于三角形的一邊,那么這個(gè)三角形是等腰三角形,正確;
如圖:
∵AD∥CB,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∵AD是角平分線,
∴∠1=∠2,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,
即:△ABC是等腰三角形.
故選:D.
【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系,三角形的判定定理,題目比較基礎(chǔ),關(guān)鍵是同學(xué)們要牢固把握基礎(chǔ)知識
9.如圖,方格圖中小正方形的邊長為1.將方格圖中陰影部分圖形剪下來,再把剪下的陰影部分重新剪拼成一個(gè)正方形(不重疊無縫隙),那么所拼成的這個(gè)正方形的邊長等于().
A.B.2C.D.
【答案】C
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)
【解析】【解答】∵陰影部分由一個(gè)小正方形和一個(gè)等腰梯形組成
∴S陰影=11+(1+3)2=5
∵新正方形的邊長2=S陰影
∴新正方形的邊長=
故選C.
【分析】本題中陰影部分可分割成一個(gè)小正方形和一個(gè)等腰梯形,S陰=12+ 1 + 3 2 ?2=5,即重新拼成的正方形的面積為5,則此正方形的邊長為 5 ,答案選C.本題考查了不規(guī)則圖形的面積的求解方法:割補(bǔ)法.本題中陰影部分可分割成一個(gè)小正方形和一個(gè)等腰梯形
10.如圖,EF是△ABC的中位線,將△AEF沿中線AD方向平移到△A1E1F1的位置,使E1F1與BC邊重合,已知△AEF的面積為7,則圖中陰影部分的面積為( )
A.7B.14C.21D.28
【答案】B
【考點(diǎn)】三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可以求得三角形ABC的面積,從而求解.
【解答】∵EF是△ABC的中位線,
∴EF∥BC,EF=BC.
∴△AEF∽△ACB.
∴=.
∴△ABC的面積=28.
∴圖中陰影部分的面積為28-7-7=14.
故選B.
【點(diǎn)評】此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì).
二、填空題
11.一條弦把圓分成1:5兩部分,則這條弦所對的圓周角的度數(shù)是________
【答案】30或150
【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系
【解析】【解答】解:
連接OA、OB,
∵一條弦AB把圓分成1:5兩部分,如圖,
∴弧AC′B的度數(shù)是360=60,弧ACB的度數(shù)是360﹣60=300,
∴∠AOB=60,
∴∠ACB=∠AOB=30,
∴∠AC′B=180﹣30=150,
故答案為:30或150.
【分析】根據(jù)題意畫出圖形,得出兩種情況,求出兩段弧的度數(shù),即可求出答案.
12.計(jì)算=________,=________.
【答案】;2﹣
【考點(diǎn)】分母有理化
【解析】【解答】解:(1) ;
(2) .
【分析】(1)分母有理化即可;
(2)判斷出和2的大小,再進(jìn)行計(jì)算即可.
13.一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm,母線長為5cm,則圓錐的側(cè)面積為________cm2 .
【答案】15π
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算
【解析】【解答】∵圓錐的底面半徑長為3cm、母線長為5cm,
∴圓錐的側(cè)面積為π35=15πcm2 .
故答案為15πcm2 .
【分析】圓錐的側(cè)面積=π底面半徑母線長,把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可.
14.在△ABC中,AB=AC,AB的中垂線于AC所在的直線相交所得的銳角為40,則底角∠B的大小為________
【答案】65或25
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】【解答】解:①DE與線段AC相交時(shí),如圖1,
∵DE是AB的垂直平分線,∠AED=40,
∴∠A=90﹣∠AED=90﹣40=50,
∵AB=AC,
∴∠ABC=(180﹣∠A)=(180﹣50)=65;
②DE與CA的延長線相交時(shí),如圖2,∵DE是AB的垂直平分線,∠AED=40,
∴∠EAD=90﹣∠AED=90﹣40=50,
∴∠BAC=180﹣∠EAD=180﹣50=130,
∵AB=AC,
∴∠ABC=(180﹣∠BAC)=?(180﹣130)=25,
綜上所述,等腰△ABC的底角∠B的大小為65或25.
故答案為:65或25.
【分析】作出圖形,分①DE與線段AC相交時(shí),根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解;②DE與CA的延長線相交時(shí),根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠EAD,再求出∠BAC,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解.
15.在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥BC,垂足為E,連接DE交AC于點(diǎn)P,過P作PF⊥BC,垂足為F,則的值是________.
【答案】
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】∵OB=OD=BD,OE⊥BC,CD⊥BC,
∴△OBE∽△DBC,
∴OE:CD=1:2,
∵OE∥CD,
∴△OEP∽△CDP,
∴,
∵PF∥DC,
∴△EPF∽△EDC,
∴,
∵CE=BC,
∴=.
故答案為.
【分析】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解.相似三角形對應(yīng)邊的比相等.
16.2sin60﹣( )﹣2+(π﹣ )0=________.
【答案】﹣3
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算,零指數(shù)冪,負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,特殊角的三角函數(shù)值
【解析】【解答】解:原式=2 ﹣4+1
= ﹣3.
故答案為: ﹣3.
【分析】本題的關(guān)鍵是利用負(fù)指數(shù)冪的公式和0次冪公式,算出,任意非零數(shù)的零次冪等于1.
三、計(jì)算題
17.計(jì)算:
【答案】解:
=
=
【考點(diǎn)】二次根式的加減法
【解析】【解答】先將二次根式化為最簡,然后進(jìn)行乘法運(yùn)算,最后合并同類項(xiàng)即可得出答案。
【分析】此題考查了二次根式的化簡和加減法計(jì)算。
18.化簡代數(shù)式 ,并判斷當(dāng)x滿足不等式組 時(shí)該代數(shù)式的符號.
【答案】解:
=
=
= ,
不等式組 ,
解不等式①,得x<﹣1.
解不等式②,得x>﹣2.
∴不等式組 的解集是﹣2<x<﹣1.
∴當(dāng)﹣2<x<﹣1時(shí),x+1<0,x+2>0,
∴ ,即該代數(shù)式的符號為負(fù)號
【考點(diǎn)】分式的化簡求值,解一元一次不等式組
【解析】【分析】先把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,分子分母能分解因式的要先分解因式,然后約分化簡;再分別求出一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解,從而得到一元一次不等式組的解集,依此分別確定x+1<0,x+2>0,從而求解。
19.計(jì)算: ﹣|﹣2|+(1﹣ )0﹣9tan30.
【答案】解:原式=2 ﹣2+1﹣9
=﹣ ﹣1
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值
【解析】【分析】二次根數(shù)的化簡與絕對值較為容易,任何一個(gè)不為0的0次冪等于1,tan30=,所以易得結(jié)果。
四、解答題
20.如圖,△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,BD=2,AD=8,求S△ABC .
【答案】解:如圖,∵△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,
∴CD2=AD?BD.
又∵BD=2,AD=8,
∴CD2=16,AB=BD+AD=10,
∴CD=4,
∴S△ABC=AB?CD=104=20,即S△ABC=20.
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)
【解析】【分析】根據(jù)射影定理求得斜邊AB上的高線CD的長度,然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答.
21.用一根長為40cm的鐵絲圍成一個(gè)半徑為r的扇形,求扇形的面積y與它的半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式,這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)嗎?請寫出半徑r的取值范圍.
【答案】解:∵用一根長為40cm的鐵絲圍成一個(gè)半徑為r的扇形, ∴扇形的弧長為:(40﹣2r)cm,
∴扇形的面積y與它的半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式為:y= r(40﹣2r)=﹣r2+20r,
此函數(shù)是二次函數(shù), <r<20
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義,根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式
【解析】【分析】首先表示出扇形的弧長,進(jìn)而利用S扇形= lr求出即可.
22.如圖,已知A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn),AB=BC,BD交AC于點(diǎn)E,連接CD、AD.
(1)求證:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的長.
【答案】(1)證明:∵AB=BC,
∴=,
∴∠BDC=∠ADB,
∴DB平分∠ADC;
(2)解:由(1)可知=,
∴∠BAC=∠ADB,
又∵∠ABE=∠ABD,
∴△ABE∽△DBA,
∴,
∵BE=3,ED=6,
∴BD=9,(8分)
∴AB2=BE?BD=39=27,
∴AB=3.
【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系,相似三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】(1)等弦對等角可證DB平分∠ABC;
(2)易證△ABE∽△DBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求AB的長.
五、綜合題
23.△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B.
(1)如圖(1)當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形.
(2)如圖(2),將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),DM,DN分別交線段AC,AB于E,F(xiàn)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合),不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結(jié)論.
(3)在圖(2)中,若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)S△DEF= S△ABC時(shí),求線段EF的長.
【答案】(1)解:圖(1)中與△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE.
理由如下:∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
又∵∠MDN=∠B,
∴△ADE∽△ABD,
同理可得:△ADE∽△ACD,
∵∠MDN=∠C=∠B,
∠B+∠BAD=90,∠ADE+∠EDC=90,
∠B=∠MDN,
∴∠BAD=∠EDC,
∵∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE,
∴△ADE∽△DCE,
(2)解:△BDF∽△CED∽△DEF,
證明:∵∠B+∠BDF+∠BFD=180
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180,
又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE,
由AB=AC,得∠B=∠C,
∴△BDF∽△CED,
∴ =
∵BD=CD,
∴ = .
又∵∠C=∠EDF,
∴△BDF∽△CED∽△DEF.
(3)解:連接AD,過D點(diǎn)作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分別為G,H.
∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC,BD= BC=6.
在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2 ,
∴AD=8,
∴S△ABC= BC?AD= 128=48.
S△DEF= S△ABC= 48=12.
又∵ AD?BD= AB?DH,
∴DH= = =4.8,
∵△BDF∽△DEF,
∴∠DFB=∠EFD
∵DG⊥EF,DH⊥BF,
∴DH=DG=4.8.
∵S△DEF= EFDG=12,
∴EF= =5.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可;(2)利用已知首先求出∠BFD=∠CDE,即可得出△BDF∽△CED,再利用相似三角形的性質(zhì)得出BD:DF=EC:DE,進(jìn)而得出△BDF∽△CED∽△DEF. (3)首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的 ,求出DH的長,進(jìn)而利用S△DEF的值求出EF即可.
24.如圖,在△ABC中,AB=AC=5,AB邊上的高CD=4,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AB,交邊AC或邊BC于點(diǎn)Q,以PQ為邊向右側(cè)作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(秒).
(1)直接寫出tanB的值為________.
(2)求點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)邊BC將正方形PQMN的面積分為1:3兩部分時(shí),直接寫出t的值.
【答案】(1)2
(2)解:當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí),如圖1,
由題意得:AP=3t,
tan∠CAB= ,
∴PQ=PN=MN=4t,BN=2t,
∴3t+4t+2t=5,
t=
(3)解:分三種情況:
①當(dāng)0<t≤ 時(shí),如圖1,正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN,
∴S=PQ2=(4t)2=16t2;
②當(dāng)N與B重合時(shí),如圖2,
AP=3t,PQ=PB=4t,
∴3t+4t=5,
t= ,
當(dāng) <t< 時(shí),如圖3,正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF,
③當(dāng) ≤t<1時(shí),如圖4,正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB,
∴AP=3t,PN=4t,
∴BN=7t﹣5,PB=4t﹣(7t﹣5)=﹣3t+5,
在Rt△APQ中,AQ=5t,
∴QC=5﹣5t,
∵AC=AB,
∴∠ACB=∠ABC,
∵QE∥AB,
∴∠QEC=∠ABC,
∴∠QEC=∠ACB,
∴QE=QC=5﹣5t,
∴S=S梯形QPBE= (QE+PB)PQ,
= (5﹣5t+5﹣3t)4t=﹣16t2+20t;
綜上所述,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:
S=
(4)解:如圖2,當(dāng)t= 時(shí),CQ=QG=5﹣5t= ,
∴GM=4t﹣ = ,
∴QG=GM,
∴S△QGB=S△GMB ,
∴S梯形GQPB:S△GMB=3:1,
當(dāng)P與D重合時(shí),t=1,如圖5,
則S△CDB:S四邊形CBNM= 24:(42﹣ 24),
=1:3,
綜上所述,t= s或1s時(shí),邊BC將正方形PQMN的面積分為1:3兩部分
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式,勾股定理,正方形的性質(zhì),解直角三角形,與二次函數(shù)有關(guān)的動態(tài)幾何問題
【解析】【解答】解:(1)∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠ADB=90,
∵在Rt△ACD中,AD= =3,
∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2,
∴在Rt△BCD中,tan∠B= = =2;
故答案為2.
【分析】(1)在Rt△ACD中,已知AC、CD的長,根據(jù)勾股定理求出AD的長,可求得BD的長,在Rt△BCD中,可求出tan∠B的值。
(2)由題意得:AP=3t,tan∠CAB===,得出PQ=PN=MN=4t,BN=2t,建立方程,求出t的值。
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時(shí),分三種情況:①當(dāng)0<t≤ 時(shí),如圖1,正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN,可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng) <t< 時(shí),如圖3,正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF,不符合題意;當(dāng)≤t<1時(shí),如圖4,正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB,根據(jù)梯形的面積公式就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。
(4)分別計(jì)算出t= 時(shí),t=1,邊BC將正方形PQMN的面積分為兩部分的面積比,對比圖形寫出t的取值。