初中數(shù)學重難點精析四邊形

初中數(shù)學重難點精析 四邊形 一． 知識梳理 1.由不在同一直線上四條線段依次首尾相接圍成的封閉的立體圖形叫四邊形 2．依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。菱形的中點四邊形是矩形，矩形的中點四邊形是菱形，正方形的中點四邊形是正方形。 3. 四邊形的內(nèi)角和和外角和均為360度 4. 平行四邊形的性質(zhì)和判定 　　1. 定義: 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 　　2.性質(zhì): 　?。?）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等。 　　（“平行四邊形的對邊相等”） 　?。?）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等。 　?。ā捌叫兴倪呅蔚膶窍嗟取保? 　　（3）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的鄰角互補 　　（平行四邊形的鄰角互補”） 　?。?）夾在兩條平行線間的平行線段相等。 　　（5）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分。 　?。ā捌叫兴倪呅蔚膬蓷l對角線互相平分”） 　?。?）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。 　　3.判定： 　?。?）如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形。 　　（“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”） 　?。?）如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形。 　?。ā耙唤M對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”） 　?。?）如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形。 　　（“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”） 　?。?）如果一個四邊形的兩組對角分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形。 　?。ā皟山M對角分別相等的四邊形是平行四邊形” 　　（5）如果一個四邊形的兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形。 （“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”） 5. 矩形的性質(zhì)和判定 　　定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形. 　　性質(zhì) ①四個角都是直角 　?、诰匦蔚膶蔷€相等 . 　　注意：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì) . 　　判定：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形； 　?、谟腥齻€角是直角的四邊形是矩形； ③對角線相等的平行四邊形是矩形 . 6． 菱形的性質(zhì)和判定 　　定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 　　性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等； 　?、诹庑蔚膶蔷€互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 . 　　注意：菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì) . 　　判定：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； 　?、谒臈l邊都相等的四邊形是菱形； 　　③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 　　(4).有一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 7．正方形的性質(zhì)和判定 　　定義：有一組鄰邊相等并且有一角是直角的平行四邊形叫做正方形. 　　性質(zhì)：①正方形的四個角都是直角，四條邊都相等； 　?、谡叫蔚膬蓷l對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 . 　　判定：因為正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，所以我們判定正方形有三個途徑 　?、儆幸唤M鄰邊相等的矩形是正方形 　?、谟幸粋€角是直角的菱形是正方形 　?、蹆蓷l對角線相等，且互相垂直平分的四邊形 ④兩條對角線相等，且互相垂直的平行四邊形 8． 　[1]　梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.（一組對邊平行且不相等的四邊形叫做梯形.） 　　等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. [2] 等腰梯形的性質(zhì) 　　1、等腰梯形兩腰相等、兩底平行； 　　2、等腰梯形在同一底上的兩個角相等； 　　3、等腰梯形的對角線相等； 4、等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸. [3]等腰梯形的判定 　　1、兩腰相等的梯形是等腰梯形； 　　2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形； 3、對角線相等的梯形是等腰梯形. 二.模擬演練 寧波市2011年初中畢業(yè)生學業(yè)考試 四 邊 形 模 擬 一、選擇題(每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 1．如圖，已知□ABCD的兩條對角線AC與BD交于平面直角坐標 系的原點，點A的坐標為(-2，3)，則點C的坐標為( ) (A)(-3，2) (B)(-2，-3) (C)(3，-2) (D)(2，-3)． （第2題） 2．菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.∠AOC=45， OC=，則點B的坐標為( ) （A）(,1). （B）(1, ). （C）(+1，1). （D）(1，+1). 3．如圖，有一長為4cm，寬為3cm的長方形木板在桌面上做無滑動的翻滾（順時針方向），木板上的頂點A的位置變化為A→A1→A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板邊沿A2C與桌面成30角，則點A翻滾到A2位置時，共走過的路徑長為（ ） A．10cm B．35cm C．45cm D．25cm 4．.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，∠D=90o，AD=DC=4，AB=1，F(xiàn)為 AD的中點，則點F到BC的距離是（ ） A.2 B.4 C.8 D.1 5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移 動，則當PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（ ） A、 B、 C、 D、3 6．如圖，點A、B分別在射線OM、ON上，C、D分別是線段OA和OB上的點，以OC、OD為鄰邊作平行四邊形OCED，下面給出三種作法的條件： ①取、；②取、 ； ③取、．能使點E落在陰影區(qū)域內(nèi)的 第6題圖 C D B E O A M N 作法有（　 　　）． A．① B．①② C．①②③ D．②③ 7．．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE:AC = G D C E F A B b a （第9題圖） A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:25 （第8題） A B C D E 第7題圖 8．已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，請你在圖中任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經(jīng)過81個格點中的多少個？（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 s t O A． s t O B． C． s t O D． s t O 9．如圖，點G、D、C在直線a上，點E、F、A、B在直線b上，若從如圖所示的位置出發(fā)，沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合．運動過程中與矩形重合部分的面積（S）隨時間（t）變化的圖象大致是（ ） 10．．在直角梯形中，，為邊上一點，，且．連接交對角線于，連接．下列結(jié)論： ①；②為等邊三角形； D C B E A H ③； ④． 其中結(jié)論正確的是（ ） A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 11． 一張等腰三角形紙片，底邊長l5cm，底邊上的高長22．5cm．現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是( ) A．第4張 B．第5張 C.第6張 D．第7張 12．．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M、N分別是邊AB、AD的中點，連結(jié)OM、ON、MN，則下列敘述正確的是 （ ） A．△AOM和△AON都是等邊三角形 B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形 C．四邊形AMON和四邊形ABCD都是位似圖形 D．四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形 二、填空題(每小題3分，共18分) 13．如圖，方格紙中4個小正方形的邊長均為1，則圖中陰影部分三個小扇形的面積和為 （第13題） （結(jié)果保留π）. 14.動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5.如圖所示， 折疊紙片，使點A落在BC邊上的A’處，折痕為PQ，當點 A’在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動.若限定 點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A’在BC邊上可移 動的最大距離為 . 15.如圖，在半徑為，圓心角等于450的扇形AOB內(nèi)部 作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上， 點F在AB上，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留） . 16如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，，若，，則梯形ABCD的周長為____________。 B C E A D F 第17題圖 17．．如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，E、F分別是BC、CD的中點，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積是 cm2． A B C O （第18題） A B C D 18．如圖，菱形中，，，將菱形 繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，則圖中由，，， 圍成的陰影部分的面積是 ． 三、解答題（第19題6分，第20.21題7分，第22題8分，第23題8分，第24題8分，第25題10分，第26題12分，共66分） 19．如圖1，有一張菱形紙片ABCD，，。 D A B C （1）請沿著AC剪一刀，把它分成兩部分，把剪開的兩部分拼成一個平行四 邊形，在圖2中用實數(shù)畫出你所拼成的平行四邊形;若沿著BD剪開， 請在圖3中用實線畫出拼成的平行四邊形;并直接寫出這兩個平行四邊 形的周長。 （圖1） （2）沿著一條直線剪開，拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形，請在圖4 中用實線畫出拼成的平行四邊形。 （注：上述所畫的平行四邊形都不能與原菱形全等） D A B C D A B C D A B C （圖4） （圖3） （圖2） 周長為__________ 周長為__________ （第20題） 圖3 圖2 圖4 F E D C B A P G H J I 20．定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內(nèi)點．如圖1，，，則點就是四邊形的準內(nèi)點． B J I H G D C A P 圖1 （1）如圖2， 與的角平分線相交于點． 求證：點是四邊形的準內(nèi)點． （2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內(nèi)點． （作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明） 21．如圖，已知直線交坐標軸于兩點，以線段為邊向上作 正方形，過點的拋物線與直線另一個交點為． （1）請直接寫出點的坐標； （2）直接寫出拋物線的解析式； （3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點落在軸上時停止．拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過的面積． （第21題） 22．①標準紙“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙……都是矩形． ②本題中所求邊長或面積都用含的代數(shù)式表示． 如圖1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為． （1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊： 第一步 將矩形的短邊與長邊對齊折疊，點落在上的點處，鋪平后得折痕； 第二步 將長邊與折痕對齊折疊，點正好與點重合，鋪平后得折痕． 則的值是 ，的長分別是 ， ． （2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值． A B C D B C A D E G H F F E 4開 2開 8開 16開 圖1 圖2 圖3 （第22題） a （3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構(gòu)成“”型圖案，它的四個頂點分別在“16開”紙的邊上，求的長 23．四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖l，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點． (1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點． (2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)． (3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形AB CD的準等距點． 24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90, ∠B =60，BC=2．點0是AC的中點，過點0的直線l從與AC重合的位置開始，繞點0作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D.過點C作CE∥AB交直線l于點E，設直線l的旋轉(zhuǎn)角為α. (1)①當α=________度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為_________； ②當α=________度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為_________； (2)當α=90時,判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由． 25．如圖1、在平面直角坐標系中，O是坐標原點，□ABCD的頂點A的坐標為（－2，0），點D的坐標為（0，），點B在軸的正半軸上，點E為線段AD的中點，過點E的直線與軸交于點F，與射線DC交于點G。 （1）直接寫出的度數(shù)，當F（-4，0）時，直接寫出G的坐標 （2）連結(jié)OE，以OE所在直線為對稱軸，△OEF經(jīng)軸對稱變換后得到△，記直線與射線DC的交點為H。 ①如圖2，當點G在點H的左側(cè)時，求證：△DEG∽△DHE; y x C D A O B E G F （圖1） x C D A O B E G H F y （圖2） x C D A O B E y （圖3） ②若△EHG的面積為，請直接寫出點F的坐標。 26．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（－8，0），直線BC經(jīng)過點B（－8，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時聲母OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q． （1）四邊形的形狀是 ， 當α=90時，的值是 ． （2）①如圖2,當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時,求的值; ②如圖3,當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時,求ΔOPB′的面積． （3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中,當時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．