高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算教師用書 理

第一節(jié)　平面向量的概念及其線性運(yùn)算 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解向量的實(shí)際背景； 2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示； 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義； 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。 2015，全國卷Ⅰ，7,5分(平面向量的線性運(yùn)算) 2015，全國卷Ⅱ，13,5分(平面向量的線性運(yùn)算) 2014，北京卷，10,5分(平面向量的線性運(yùn)算) 2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念) 高考對(duì)本講內(nèi)容的考查以向量的線性運(yùn)算為主；以向量的概念和線性運(yùn)算知識(shí)為載體，與三角函數(shù)等知識(shí)綜合考查的可能性較大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。試題多為客觀題，難度不大，分值約為5分。 微知識(shí)　小題練 自|主|排|查 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為零的向量，其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a。 (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。 微點(diǎn)提醒 1．三個(gè)常用的結(jié)論： (1)零向量與任何向量共線。 (2)平行向量與起點(diǎn)無關(guān)。 (3)若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線。 2．三個(gè)注意點(diǎn)： (1)向量共線與線段共線不同，前者可以不在同一直線上，而后者必須在同一直線上。同樣，兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上。 (2)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)。 (3)在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1．(必修4P78A組T5改編)已知三角形ABC，用與表示BC邊上的中線向量，則＝________。 【解析】?。剑剑? ＝＋(－)＝＋。 【答案】　＋ 2．(必修4P92A組T11改編)在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為(　　) A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【解析】　因?yàn)椋剑剑?a－2b＝2，所以∥，且||≠|(zhì)|，所以四邊形ABCD為梯形。故選C。 【答案】　C 二、雙基查驗(yàn) 1．若向量a與b不相等，則a與b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 【解析】　因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄浚蔬xC。 【答案】　C 2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 【解析】　若m∥0,0∥k，則k與m不一定共線，故選D。 【答案】　D 3．若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝8，則|a＋b|的最小值為(　　) A．11 B．2 C．4 D．5 【解析】　當(dāng)a與b共線且反向時(shí)，|a＋b|的最小值為5。故選D。 【答案】　D 4．已知a，b是非零向量，若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形的形狀為________。 【解析】　如圖，在以a與b為鄰邊的四邊形中，|a＋b|與|a－b|分別為四邊形的兩條對(duì)角線，故由對(duì)角線長相等的平行四邊形是矩形可知，以a，b為鄰邊的四邊形是矩形。 【答案】　矩形 5．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________。 【解析】　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴解得 【答案】?。? 微考點(diǎn)　大課堂 考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念 【典例1】　給出下列四個(gè)命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線。 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】　①不正確。|a|＝|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；②不正確。因?yàn)椋剑珹，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；③不正確。兩向量不能比較大??；④不正確。當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線。故選D。 【答案】　D 反思?xì)w納　(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵。 (2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。 (3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)。 (4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象平移混為一談。 (5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量。 【變式訓(xùn)練】　下列命題中正確的是(　　) A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線 B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量 D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 【解析】　由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C。 【答案】　C 考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算…………母題發(fā)散 【典例2】　(1)(2015全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ (2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC。若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________。 【解析】　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋。故選A。 (2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝。 【答案】　(1)A　(2) 【母題變式】　若將本典例(2)的條件改為“＝2，＝＋λ”，則λ＝________。 【解析】　∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋。 又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋。 ∴＝＋，即λ＝。 【答案】　 反思?xì)w納　平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義。向量加法和減法均適合三角形法則。 (2)求已知向量的和。一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則。 (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值。 【拓展變式】　(2017惠州模擬)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且＝，則(　　) A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上 C．點(diǎn)P在線段AB的延長線上 D．點(diǎn)P不在直線AB上 【解析】?。剑剑剑?－)＝＋，即－＝＝，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上。故選B。 【答案】　B 考點(diǎn)三 共線定理的應(yīng)用…………多維探究 角度一：共線定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用 【典例3】　設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線。 (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值。 【解析】　(1)證明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2， ∴＝－2，∴與共線。 又∵與有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線。 (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2。 ∵A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ。 ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2。 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2?！鄬?shí)數(shù)k的值為2。 【答案】　(1)見解析　(2)2 角度二：利用共線定理解決幾何問題 【典例4】　(2016江西九校聯(lián)考)已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＝＋，△PBC的面積是2 015，則△PAB的面積是________。 【解析】　設(shè)S△ABC＝S，S△BPC＝S1＝2 015，S△APB＝S2。 (恰當(dāng)切入，從“三點(diǎn)共線”突破)如圖，延長AP交BC于D，由平面幾何知識(shí)，得＝。 由A，P，D三點(diǎn)共線，可得＝μ＝μ＋μ(μ∈R)。① 由B，D，C三點(diǎn)共線，可得＝λ＋(1－λ)(λ∈R)。② 聯(lián)立①和②，有解得 則＝μ＝，＝－＝， 那么＝，于是S＝S1。 同理，延長CP交AB于E，計(jì)算可得＝， 所以S2＝S。 于是S2＝S＝S1＝S1＝2 015＝2 821。 【答案】　2 821 反思?xì)w納　利用共線向量定理解題的方法 (1)證明向量共線，對(duì)于向量a，b(b≠0)，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線。 (2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線。 (3)利用共線定理解決幾何問題要注意兩直線相交必然存在兩組三點(diǎn)共線，通過列方程組往往能把問題解決。 微考場(chǎng)　新提升 1．(2016開封一模)在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D．1 解析　依題意＝＝λ＋μ，因?yàn)镸，B，C三點(diǎn)共線，所以λ＋μ＝。故選A。 答案　A 2．下列各式不能化簡(jiǎn)為的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C.＋－ D.－＋ 解析　對(duì)于A，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；對(duì)于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；對(duì)于C，＋－＝＋2；對(duì)于D，－＋＝＋＝。故選C。 答案　C 3．設(shè)P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC＝，則k＝(　　) A. B. C. D. 解析　取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，則PD⊥BC，＋＝2，∵＝k(＋)(k∈R)，∴＝2k， ∴A，P，D三點(diǎn)共線， ∴AB＝AC， ∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝， ∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝。故選A。 答案　A 4．已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同。若a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t＝________。 解析　∵a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同。 ∴a－tb與a－(a＋b)共線， 即a－tb與a－b共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λ， ∴解得λ＝，t＝， 即t＝時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上。 答案　 5.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________。 解析　＝(＋)＝＋。 ∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1。 ∴m＋n＝2。 答案　2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375