高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何與空間向量 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第一課時練習(xí) 理 新人教A版

第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法 第一課時 [基礎(chǔ)訓(xùn)練組] 1．(導(dǎo)學(xué)號14577704)若直線l的一個方向向量為a＝(2,5,7)，平面α的一個法向量為u＝(1,1，－1)，則(　　) A．l∥α或l?α　　　　　　 B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 解析：A　[由條件知au＝21＋51＋7(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l?α.故選A.] 2．(導(dǎo)學(xué)號14577705)若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確 解析：C　[∵n1n2＝2(－3)＋(－3)1＋5(－4)≠0，∴n1與n2不垂直，∴α與β相交但不垂直．] 3．(導(dǎo)學(xué)號14577706)設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：C　[因?yàn)棣痢桅?，所以＝＝，所以k＝4.] 4．(導(dǎo)學(xué)號14577707)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 解析：C　[建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，＝0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直．] 5．(導(dǎo)學(xué)號14577708)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為(　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 解析：B　[∵⊥，∴＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4. BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC， 又＝(3,1,4)，則解得] 6．(導(dǎo)學(xué)號14577709)已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，則x＝　________　. 解析：由α⊥β知ab＝0，即x＋1(－2)＋23＝0，解得x＝－4. 答案：－4 7．(導(dǎo)學(xué)號14577710)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1，，)，過點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為　________　. 解析：由題意知，點(diǎn)Q即為點(diǎn)P在平面yOz內(nèi)的射影， 所以垂足Q的坐標(biāo)為(0，，)． 答案：(0，，) 8．(導(dǎo)學(xué)號14577711)(2018武漢市調(diào)研)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是　________　. 解析：設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)， 由m＝0，得x0＋y－z＝0?y＝z， 由m＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 9．(導(dǎo)學(xué)號14577712)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30的角．求證： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 證明：(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30， ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)， M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. (1)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∴n＝－＋20＋1＝0， ∴n⊥.又CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)如圖，取AP的中點(diǎn)E，連接BE， 則E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵＝(－，2,1)(2，3,0)＝0， ∴⊥，∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. 又∵BE?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 10．(導(dǎo)學(xué)號14577713)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面； (2)若點(diǎn)G在BC上，BG＝，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1. 證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(xiàn)(0,3,2)，D1(3,3,3)， 則＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)． 所以＝＋.故，，共面． 又它們有公共點(diǎn)B，所以E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面． (2)設(shè)M(0,0，z0)，G， 則＝， 而＝(0,3,2)， 由題設(shè)得＝－3＋z02＝0， 得z0＝1.故M(0,0,1)， 有＝(3,0,0)． 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)， 所以＝0，＝0， 從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B. 故ME⊥平面BCC1B1. [能力提升組] 11．(導(dǎo)學(xué)號14577714)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．則AM與PM的位置關(guān)系為(　　) A．平行 B．異面 C．垂直 D．以上都不對 解析：C　[以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴＝(，1，－)(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.] 12．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 解析：C　[由選項(xiàng)特點(diǎn)，設(shè)M(λ，λ，1)，又A(，，0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，則＝(－，0,1)，＝(0，－，1)，＝(λ－，λ－，1)． 設(shè)平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，則 即 不妨取z＝，則n＝(1,1，)， 由于AM∥平面BDE，所以⊥n， 即n＝0，所以λ－＋λ－＋＝0，解得λ＝， 即M點(diǎn)坐標(biāo)為.故選C.] 13．(導(dǎo)學(xué)號14577715)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是　________　. 解析：∵正方體棱長為a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量， ∴＝＝0， ∴⊥.又∵M(jìn)N?平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1. 答案：平行 14．(導(dǎo)學(xué)號14577716)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)證明：如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F(xiàn)， ＝，＝(0，a,0)． ∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G， 設(shè)G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB， 則由＝(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由＝(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為， 即存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375