高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 第二節(jié) 隨機(jī)抽樣教師用書 理

第二節(jié)　隨機(jī)抽樣 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性； 2.會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本； 3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。 2015，湖南卷，12,5分(系統(tǒng)抽樣) 2014，天津卷，9,5分(分層抽樣) 2015，湖北卷，2,5分(簡單隨機(jī)抽樣) 1.主要考查學(xué)生在應(yīng)用問題中構(gòu)造抽樣模型、識別模型、收集數(shù)據(jù)等能力方法，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識； 2.高考試題中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，題目多為中低檔題，重在考查抽樣方法的應(yīng)用。 微知識　小題練 自|主|排|查 1．簡單隨機(jī)抽樣 (1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣。 (2)最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法。 2．系統(tǒng)抽樣的步驟 假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本。 (1)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號。 (2)確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，取k＝。 (3)在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號l(l≤k)。 (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(l＋k)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本。 3．分層抽樣 (1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照_一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。 (2)分層抽樣的應(yīng)用范圍： 當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣。 微點(diǎn)提醒 1．隨機(jī)數(shù)法編號要求：應(yīng)保證各號數(shù)的位數(shù)相同，而抽簽法則無限制。 2．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率是相同的。 3．系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個(gè)體的編號相差的整數(shù)倍。 4．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘以抽樣比。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1．(必修3P64A組T6改編)在一次游戲中，獲獎(jiǎng)?wù)呖梢缘玫?件不同的獎(jiǎng)品，這些獎(jiǎng)品要從由1～50編號的50種不同獎(jiǎng)品中隨機(jī)抽取確定，用系統(tǒng)抽樣的方法為某位獲獎(jiǎng)?wù)叽_定5件獎(jiǎng)品的編號可以為(　　) A．5,15,25,35,45 B．1,3,5,7,9 C．11,22,33,44,50 D．12,15,19,23,28 【解析】　采用系統(tǒng)抽樣的等距抽樣法，抽樣間距為＝10，隨機(jī)抽取第1個(gè)獎(jiǎng)品號，設(shè)為a(0≤a≤10)，則其他獎(jiǎng)品號分別為10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正確。 【答案】　A 2．(必修3P100A組T2(2)改編)一段高速公路有300個(gè)太陽能標(biāo)志燈，其中進(jìn)口的有30個(gè)，聯(lián)合研制的有75個(gè)，國產(chǎn)的有195個(gè)，為了掌握每個(gè)標(biāo)志燈的使用情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若采用分層抽樣的方法，抽取的進(jìn)口的標(biāo)志燈的數(shù)量為(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．5　　　 D．13 【解析】　由題意，設(shè)抽取的進(jìn)口的標(biāo)志燈的數(shù)量為x，則＝，所以x＝2。故選A。 【答案】　A 3．(必修3P64A組T5改編)一個(gè)總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本。已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為，則總體中的個(gè)體數(shù)為(　　) A．40 B．60 C．80 D．120 【解析】　因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤目傮w中抽取一個(gè)容量為10的樣本。由B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為，知道在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是。所以總體中的個(gè)體數(shù)為10＝120。故選D。 【答案】　D 二、雙基查驗(yàn) 1．為了了解全校240名學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測量，下列說法正確的是(　　) A．總體是240　　　　　　 B．個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生 C．樣本是40名學(xué)生 D．樣本容量是40 【解析】　總體容量是240；總體是240名學(xué)生的身高；個(gè)體是每名學(xué)生的身高；樣本是40名學(xué)生的身高；樣本容量是40。故選D。 【答案】　D 2．總體由編號為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成。利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號為(　　) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B．07 C．02 D．01 【解析】　從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于20的編號依次為08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號為01。故選D。 【答案】　D 3．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個(gè)年齡段分別抽取人數(shù)為(　　) A．33人，34人，33人 B．25人，56人，19人 C．30人，40人，30人 D．30人，50人，20人 【解析】　因?yàn)?25∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人數(shù)分別為25人，56人，19人。故選B。 【答案】　B 4．已知某商場新進(jìn)3 000袋奶粉，為檢查其三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號碼是11，則第六十一組抽出的號碼為________。 【解析】　每組袋數(shù)：d＝＝20， 由題意知這些號碼是以11為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列。a61＝11＋6020＝1 211。 【答案】　1 211 微考點(diǎn)　大課堂 考點(diǎn)一 簡單隨機(jī)抽樣 【典例1】　(1)下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為(　　) ①從無限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本； ②盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里； ③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢查； ④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽。 A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)(2016泰安模擬)假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將800袋奶按000,001，…，799進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號________。(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行) 【解析】　(1)①不是簡單隨機(jī)抽樣。因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)體數(shù)是無限的，而不是有限的。 ②不是簡單隨機(jī)抽樣。因?yàn)樗欠呕爻闃印? ③不是簡單隨機(jī)抽樣。因?yàn)檫@是“一次性”抽取，而不是“逐個(gè)”抽取。 ④不是簡單隨機(jī)抽樣。因?yàn)橹付▊€(gè)子最高的5名同學(xué)是56名中特指的，不具有隨機(jī)性，不是等可能的抽樣。故選A。 (2)找到第8行第7列的數(shù)開始向右讀，第一個(gè)符合條件的是785；第二個(gè)數(shù)916>799，舍去；第三個(gè)數(shù)955>799，舍去；第四個(gè)數(shù)567符合題意，這樣再依次讀出結(jié)果為199,507,175。 【答案】　(1)A　(2)785,567,199,507,175 反思?xì)w納　抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法的適用情況 1．抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)表法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況。 2．一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)： 一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻。一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法。 【變式訓(xùn)練】　(1)下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是(　　) A．在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號碼的后四位為2 709的為三等獎(jiǎng) B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格 C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見 D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn) (2)(2015湖北高考)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　) A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石 【解析】　(1)A，B不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；C不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w中的個(gè)體有明顯的層次；D是簡單隨機(jī)抽樣。故選D。 (2)設(shè)這批米內(nèi)夾谷x石，則由題意知，＝，即x＝1 534≈169。故選B。 【答案】　(1)D　(2)B 考點(diǎn)二 系統(tǒng)抽樣……母題發(fā)散 【典例2】　(1)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(　　) A．50 B．40 C．25 D．20 (2)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 【解析】　(1)由＝25，可得分段間隔為25。故選C。 (2)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為＝20，每組抽取一個(gè)，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)20＝12。故選B。 【答案】　(1)C　(2)B 【母題變式】　1.本典例(2)中條件不變，若第三組抽得的號碼為44，則在第八組中抽得的號碼是______。 【解析】　在第八組中抽得的號碼為(8－3)20＋44＝144。 【答案】　144 2．本典例(2)中條件不變，若在編號為[481,720]中抽取8人，則樣本容量為________。 【解析】　因?yàn)樵诰幪朳481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，所以抽樣比應(yīng)為240∶8＝30∶1，又因?yàn)閱挝宦毠す灿?40人，所以應(yīng)抽取的樣本容量為＝28。 【答案】　28 反思?xì)w納　解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟 1．分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本。 2．起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了。 【拓展變式】　(2015湖南高考)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示。 13 0　0　3　4　5　6　6　8　8　8　9 14 1　1　1　2　2　2　3　3　4　4　5　5　5　6　6　7　8 15 0　1　2　2　3　3　3 若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________。 【解析】　357＝5，因此可將編號為1～35的35個(gè)數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個(gè)數(shù)據(jù)，在區(qū)間[139,151]上共有20個(gè)數(shù)據(jù)，分在4個(gè)小組中，每組取1人，共取4人。 【答案】　4 考點(diǎn)三 分層抽樣……多維探究 角度一：分層抽樣的計(jì)算 【典例3】　(2016安徽江南十校聯(lián)考)2016年1月1日我國全面二孩政策實(shí)施后，某中學(xué)的一個(gè)學(xué)生社團(tuán)組織了一項(xiàng)關(guān)于生育二孩意愿的調(diào)查活動(dòng)。已知該中學(xué)所在的城鎮(zhèn)符合二孩政策的已婚女性中，30歲以下的約2 400人，30歲至40歲的約3 600人，40歲以上的約6 000人。為了解不同年齡層的女性對生育二孩的意愿是否存在顯著差異，該社團(tuán)用分層抽樣的方法從中抽取了一個(gè)容量為N的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知從30歲至40歲的女性中抽取的人數(shù)為60，則N＝________。 【解析】　由題意可得＝，故N＝200。 【答案】　200 角度二：分層抽樣與概率的綜合問題 【典例4】　最新高考改革方案已在上海和浙江實(shí)施，某教育機(jī)構(gòu)為了解我省廣大師生對新高考改革方案的看法，對某市部分學(xué)校500名師生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 贊成改革 不贊成改革 無所謂 教師 120 y 40 學(xué)生 x z 130 在全體師生中隨機(jī)抽取1名“贊成改革”的人是學(xué)生的概率為0.3，且z＝2y。 (1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師和學(xué)生人數(shù)各是多少？ (2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行座談，求至少有1名教師被選出的概率。 【解析】　(1)由題意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60。 因?yàn)閦＝2y，所以y＝20，z＝40。 則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師人數(shù)為20＝2， 應(yīng)抽取“不贊成改革”的學(xué)生人數(shù)為40＝4。 (2)至少有1名教師被選出的概率 【答案】　(1)教師為2名，學(xué)生為4名　(2) 微考場　新提升 1．為了了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(　　) A．簡單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣 解析　不同的學(xué)段在視力狀況上有所差異，所以應(yīng)該按照學(xué)段分層抽樣。故選C。 答案　C 2．某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級有30名，高二年級有40名。現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析　設(shè)樣本容量為N，則N＝6，∴N＝14， ∴高二年級所抽學(xué)生人數(shù)為14＝8。故選B。 答案　B 3．從2 007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每人入選的概率(　　) A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且為 D．都相等，且為 解析　從N個(gè)個(gè)體中抽取M個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于。 先從2 007人中剔除7人，即從中選2 000人，每人被選到的概率為，再從2 000人中選50人，每人被選到的概率為，故每人入選的概率為＝。故選C。 答案　C 4．某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取________名學(xué)生。 解析　抽取比例與學(xué)生比例一致。 設(shè)應(yīng)從高二年級抽取x名學(xué)生，則x∶50＝3∶10。解得x＝15。 答案　15 5．用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號，按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組抽出的號碼為123，則第2組中應(yīng)抽出個(gè)體的號碼是________。 解析　由題意可知，系統(tǒng)抽樣的組數(shù)為20，間隔為8，設(shè)第1組抽出的號碼為x，則由系統(tǒng)抽樣的法則可知，第n組抽出個(gè)體的號碼應(yīng)該為x＋(n－1)8，所以第16組應(yīng)抽出的號碼為x＋(16－1)8＝123，解得x＝3，所以第2組中應(yīng)抽出個(gè)體的號碼為3＋(2－1)8＝11。 答案　11 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。