2020高考數(shù)學刷題首秧第二章函數(shù)導數(shù)及其應用考點測試13函數(shù)模型及其應用文含解析.docx

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考點測試13　函數(shù)模型及其應用 高考概覽 考綱研讀 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用 一、基礎小題 1. 甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程S與時間t的函數(shù)關系如圖所示，則下列說法正確的是(　　) A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達終點 答案　D 解析　由題圖知，甲和乙所走的路程相同且同時出發(fā)，但甲用時間少，即甲的速度比乙快． 2. 如圖是張大爺晨練時離家的距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關系的圖象．若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是(　　) 答案　D 解析　根據圖象可得，張大爺先是離家越來越遠，后離家距離保持不變，最后慢慢回家，符合的只有D. 3．國家相繼出臺多項政策控制房地產行業(yè)，現(xiàn)在規(guī)定房地產行業(yè)收入稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是(　　) A．560萬元 B．420萬元 C．350萬元 D．320萬元 答案　D 解析　設該公司的年收入為a萬元，則280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，解得a＝＝320.故選D. 4．某種動物的種群數(shù)量y(單位：只)與時間x(單位：年)的關系式為y＝alog2(x＋1)，若這種動物第一年有100只，則到第7年它們發(fā)展到(　　) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 答案　A 解析　由題意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，當x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它們發(fā)展到300只． 5．設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30 min，則小王從出發(fā)到返回原地所經過的路程y與其所用的時間x的函數(shù)的圖象為(　　) 答案　D 解析　由題意知小王在0～20 min，30～60 min這兩段時間運動的路程都在不斷增加，在20～30 min時，運動的路程不變．故選D. 6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 答案　B 解析　畫出三個函數(shù)的圖象，如下圖所示，當x∈(4，＋∞)時，指數(shù)函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)的圖象的上方，二次函數(shù)的圖象位于對數(shù)函數(shù)圖象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)． 7．某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，表格是某公司前5天監(jiān)測到的數(shù)據： 第x天 1 2 3 4 5 被感染的計算機數(shù)量y/臺 12 24 49 95 190 則下列函數(shù)模型中能較好地反映在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關系的是(　　) A．y＝12x B．y＝6x2－6x＋12 C．y＝62x D．y＝12log2x＋12 答案　C 解析　由表格可知，每一天的計算機被感染臺數(shù)大約是前一天的2倍，故增長速度符合指數(shù)型函數(shù)，故選C. 8．已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(　　) A．40萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．140萬元 答案　C 解析　甲6元時該商人全部買入甲商品，可以買1206＝20(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利202＝40(萬元)，乙4元時該商人買入乙商品，可以買(120＋40)4＝40(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利402＝80(萬元)，共獲利40＋80＝120(萬元)．故選C. 9．某公司為了實現(xiàn)1000萬元銷售利潤的目標，準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按照銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x的增加而增加，但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過銷售利潤的25%，則下列函數(shù)最符合要求的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x＋1 C．y＝x D．y＝ 答案　B 解析　由題意知，x∈[10，1000]，符合公司要求的模型需同時滿足：①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x25%.對于y＝x，易知滿足①，但當x>20時，y>5，不滿足要求；對于y＝x，易知滿足①，因為4>5，故當x>4時，不滿足要求；對于y＝，易知滿足①，但當x>25時，y>5，不滿足要求；對于y＝lg x＋1，易知滿足①，當x∈[10，1000]時，2≤y≤4，滿足②，再證明lg x＋1≤x25%，即4lg x＋4－x≤0，設F(x)＝4lg x＋4－x，則F′(x)＝－1<0，x∈[10，1000]，所以F(x)為減函數(shù)，F(xiàn)(x)max＝F(10)＝4lg 10＋4－10＝－2<0，滿足③，故選B. 10．某工廠6年來生產某種產品的情況是：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年的年產量的增長速度保持不變，將該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數(shù)關系用圖象表示，則正確的是(　　) 答案　A 解析　因為前3年年產量的增長速度越來越快，可知圖象的斜率隨x的變大而變大，在圖象上呈現(xiàn)下凹的情形；又因為后3年年產量的增長速度保持不變，可知圖象的斜率不變，呈直線型變化．故選A. 11．調查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定，駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量將上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時50%的速度減少，則至少經過________小時他才可以駕駛機動車．(精確到小時) 答案　4 解析　設n小時后他才可以駕駛機動車，由題意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少經過4小時他才可以駕駛機動車． 12．已知某房地產公司計劃出租70套相同的公寓房．當每套房月租金定為3000元時，這70套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會多一套房子不能出租．設已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應定為________元． 答案　3300 解析　設利潤為y元，租金定為3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502，當且僅當58＋x＝70－x，即x＝6時，等號成立，故每月租金定為3000＋300＝3300(元)時，公司獲得最大利潤． 二、高考小題 13．(xx四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司xx年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(　　) (參考數(shù)據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．xx年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 答案　B 解析　設第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．根據題意得130(1＋12%)n－1>200，則lg [130(1＋12%)n－1]>lg 200，∴l(xiāng)g 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)0.05>0.30，解得n>. 又∵n∈N*，∴n≥5，∴該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年．故選B. 14．(xx北京高考)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　) A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油 D．某城市機動車最高限速80千米/小時．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 答案　D 解析　對于A選項，從圖中可以看出當乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯誤．對于B選項，由圖可知甲車消耗汽油最少．對于C選項，甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯誤．對于D選項，當最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以D正確． 15．(xx四川高考)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　) A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．28小時 答案　C 解析　由題意得即所以該食品在33 ℃的保鮮時間是y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝3192＝24(小時)． 16．(xx湖南高考)某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為(　　) A. B. C. D.－1 答案　D 解析　設兩年前的年底該市的生產總值為a，則第二年年底的生產總值為a(1＋p)(1＋q)．設這兩年生產總值的年平均增長率為x，則a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于連續(xù)兩年持續(xù)增加，所以x>0，因此x＝－1，故選D. 17．(xx浙江高考)我國古代數(shù)學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一．凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x，y，z，則當z＝81時，x＝________，y＝________. 答案　8　11 解析　把z＝81代入方程組，化簡得解得x＝8，y＝11. 18．(xx湖北高考)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F＝. (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/小時； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時． 答案　(1)1900　(2)100 解析　(1)當l＝6.05時，F(xiàn)＝， ∴F＝＝≤＝1900，當且僅當v＝，即v＝11時取“＝”． ∴最大車流量F為1900輛/小時． (2)當l＝5時，F(xiàn)＝＝， ∴F≤＝xx， 當且僅當v＝，即v＝10時取“＝”． ∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加xx－1900＝100輛/小時． 三、模擬小題 19．(xx福建質檢)當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內的碳14用一般的放射性探測器探測不到，則它經過的“半衰期”個數(shù)至少是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　C 解析　設死亡生物體內原有的碳14含量為1，則經過n(n∈N*)個“半衰期”后的含量為n，由n＜得n≥10.所以，若探測不到碳14含量，則至少經過了10個“半衰期”．故選C. 20．(xx德陽一診)某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間t(單位：小時)滿足p(t)＝p02－，其中p0為t＝0時的污染物數(shù)量．又測得當t∈[0，30]時，污染物數(shù)量的變化率是－10ln 2，則p(60)＝(　　) A．150毫克/升 B．300毫克/升 C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升 答案　C 解析　因為當t∈[0，30]時，污染物數(shù)量的變化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因為p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 22－2＝150ln 2(毫克/升)． 21．(xx湖北武漢質檢)某觀察者站在點O觀察練車場上勻速行駛的小車P的運動情況，小車P從點A出發(fā)的運動軌跡如圖所示．設觀察者從點A開始隨小車P變化的視角為θ＝∠AOP，練車時間為t，則函數(shù)θ＝f(t)的圖象大致為(　　) 答案　D 解析　根據小車P從點A出發(fā)的運動軌跡可得，視角θ＝∠AOP的值先是勻速增大，然后又減小，接著基本保持不變，然后又減小，最后又快速增大，故選D. 22．(xx河南洛陽調研)一名顧客計劃到商場購物，他有三張優(yōu)惠卷，每張優(yōu)惠卷只能購買一件商品，根據購買商品的標價，三張優(yōu)惠券優(yōu)惠方式不同，具體如下： 優(yōu)惠券1：若標價超過50元，則付款時減免標價的10%. 優(yōu)惠券2：若標價超過100元，則付款時減免20元． 優(yōu)惠券3：若標價超過100元，則超過100元的部分減免18%. 若該顧客購買某商品使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多，則他購買的商品的標價可能為(　　) A．179元 B．199元 C．219元 D．239元 答案　C 解析　因為使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2減免的多，所以他購買的商品的標價超過200元．如果他購買的商品的標價為219元，那么使用優(yōu)惠券1可以減免21.9元，使用優(yōu)惠券2可以減免20元，使用優(yōu)惠券3可以減免21.42元；如果標價為239元，那么使用優(yōu)惠券1可以減免23.9元，使用優(yōu)惠券2可以減免20元，使用優(yōu)惠券3可以減免25.02元，不滿足題意．故選C. 23．(xx江西4月模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是B1C的中點，動點M在其表面上運動，且與平面A1DC1的距離保持不變，運行軌跡為S，M從P點出發(fā)，繞其軌跡運行一周的過程中，運動的路程x與l＝MA1＋MC1＋MD之間滿足函數(shù)關系l＝f(x)，則此函數(shù)圖象大致是(　　) 答案　D 解析　連接AB1，AC.由題意可知點M的運行軌跡是△B1AC，不妨設M從P點出發(fā)，沿P→C→A→B1→P運行，設AC的中點為Q，AB1的中點為R.可知M從P運行到C的過程中，MA1＋MD從小變大，且MC1從小變大，即l從小變大，同理可知M從C到Q，l從大變小；M從Q到A，l從小變大；M從A到R，l從大變?。籑從R到B1，l從小變大；M從B1到P，l從大變?。蔬xD. 24．(xx廣東廣州調研)某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系式t＝且該食品在4 ℃時的保鮮時間是16小時．已知甲在某日10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示．給出以下四個結論： ①該食品在6 ℃的保鮮時間是8小時； ②當x∈[－6，6]時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少； ③到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內； ④到了此日14時，甲所購買的食品已過了保鮮時間． 其中，所有正確結論的序號是________． 答案?、佗? 解析　∵某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系式t＝且該食品在4 ℃時的保鮮時間是16小時，∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－，∴t＝①當x＝6時，t＝8，故①正確；②當x∈[－6，0]時，保鮮時間恒為64小時，當x∈(0，6]時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少，故②錯誤；③此日10時，溫度為8 ℃，此時保鮮時間為4小時，而隨著時間的推移，到11時，溫度為11 ℃，此時的保鮮時間t＝2－11＋6＝≈1.414(小時)，到13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內，故③錯誤；④由③可知，到了此日14時，甲所購買的食品已過了保鮮時間，故④正確．故正確結論的序號為①④. 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(xx安徽六校聯(lián)考)隨著新能源的發(fā)展，電動汽車在全社會逐漸普及，據某報記者了解，某市電動汽車國際示范區(qū)運營服務公司逐步建立了全市乃至全國的分時租賃服務體系，為電動汽車分時租賃在全國的推廣提供了可復制的市場化運營模式．現(xiàn)假設該公司有750輛電動汽車供租賃使用，管理這些電動汽車的費用是每日1725元．調查發(fā)現(xiàn)，若每輛電動汽車的日租金不超過90元，則電動汽車可以全部租出；若超過90元，則每超過1元，租不出的電動汽車就增加3輛．設每輛電動汽車的日租金為x(單位：元)(60≤x≤300，x∈N*)，用y(單位：元)表示出租電動汽車的日凈收入(日凈收入等于日出租電動汽車的總收入減去日管理費用)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)試問當每輛電動汽車的日租金為多少元時，才能使日凈收入最多？ 解　(1)當60≤x≤90，x∈N*時，y＝750x－1725； 當9065775，故當每輛電動汽車的日租金為170元時，日凈收入最多． 2．(xx福建廈門質檢)食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)． (1)求f(50)的值； (2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？ 解　(1)由題意知甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元， ∴f(50)＝80＋4＋150＋120＝277.5(萬元)． (2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依題意得?20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝，則t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 當t＝8，即x＝128時，f(x)取得最大值，f(x)max＝282. 所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元． 3．(xx河北衡水中學調研)已知某手機品牌公司生產某款手機的年固定成本為40萬元，每生產1萬部還需另投入16萬元，設公司一年內共生產該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝ (1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(萬部)的函數(shù)解析式； (2)當年產量為多少萬部時，公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤． 解　(1)當040時， W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋8360. 所以W＝ (2)①當040時，W＝－－16x＋8360， 由于＋16x≥2＝1600； 當且僅當＝16x，即x＝50時取等號， 此時Wmax＝－1600＋8360＝6760， 綜合①②知，當x＝50時，W取得最大值6760萬元． 4．(xx湖北荊州一模)某市環(huán)保研究所對市中心每天的環(huán)境污染情況進行調查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f(x)與時刻x(時)的關系為f(x)＝－a＋，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關的參數(shù)，且a∈0，. (1)令t(x)＝，x∈[0，24]，求t(x)的最值； (2)若用每天的f(x)的最大值作為當天的綜合污染指數(shù)，市政府規(guī)定：每天的綜合污染指數(shù)不得超過2.試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標？ 解　(1)由t(x)＝，x∈[0，24]， 得t′(x)＝＝，x∈[0，24]， 令t′(x)≥0，得(x＋2)(x－2)≤0，則0≤x≤2， 令t′(x)<0，得(x＋2)(x－2)>0，則x>2， ∴t(x)在[0，2]上遞增，在(2，＋∞)上遞減， 又t(0)＝0，t(2)＝，t→＋∞時，t(x)→0， ∴t(x)min＝t(0)＝0，t(x)max＝t(2)＝. (2)令t＝，則由x∈[0，24]，得t∈0，， 令g(t)＝f(x)＝t|t－a|＋，t∈0，， 則g(t)＝ ∵g(t)在0，和a，上遞增，在，a上遞減， 且g＝＋，g＝1－， g－g＝＋－， 令＋－≥0，得－1≤a≤； 令＋－<0，得0≤a<－1， ∴f(x)max＝ ∴f(x)max≤1， ∴目前市中心的綜合污染指數(shù)沒有超標．