2020高考數(shù)學(xué)刷題首秧第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點測試13函數(shù)模型及其應(yīng)用文含解析.docx
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2020高考數(shù)學(xué)刷題首秧第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點測試13函數(shù)模型及其應(yīng)用文含解析.docx
考點測試13 函數(shù)模型及其應(yīng)用
高考概覽
考綱研讀
1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征,結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義
2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用
一、基礎(chǔ)小題
1. 甲、乙兩人在一次賽跑中,從同一地點出發(fā),路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.甲比乙先出發(fā)
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙兩人的速度相同
D.甲比乙先到達(dá)終點
答案 D
解析 由題圖知,甲和乙所走的路程相同且同時出發(fā),但甲用時間少,即甲的速度比乙快.
2.
如圖是張大爺晨練時離家的距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.若用黑點表示張大爺家的位置,則張大爺散步行走的路線可能是( )
答案 D
解析 根據(jù)圖象可得,張大爺先是離家越來越遠(yuǎn),后離家距離保持不變,最后慢慢回家,符合的只有D.
3.國家相繼出臺多項政策控制房地產(chǎn)行業(yè),現(xiàn)在規(guī)定房地產(chǎn)行業(yè)收入稅如下:年收入在280萬元及以下的稅率為p%,超過280萬元的部分按(p+2)%征稅,有一公司的實際繳稅比例為(p+0.25)%,則該公司的年收入是( )
A.560萬元 B.420萬元 C.350萬元 D.320萬元
答案 D
解析 設(shè)該公司的年收入為a萬元,則280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a==320.故選D.
4.某種動物的種群數(shù)量y(單位:只)與時間x(單位:年)的關(guān)系式為y=alog2(x+1),若這種動物第一年有100只,則到第7年它們發(fā)展到( )
A.300只 B.400只 C.500只 D.600只
答案 A
解析 由題意,得100=alog2(1+1),解得a=100,所以y=100log2(x+1),當(dāng)x=7時,y=100log2(7+1)=300,故到第7年它們發(fā)展到300只.
5.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0),小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以勻速從乙地返回到甲地用了30 min,則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y與其所用的時間x的函數(shù)的圖象為( )
答案 D
解析 由題意知小王在0~20 min,30~60 min這兩段時間運(yùn)動的路程都在不斷增加,在20~30 min時,運(yùn)動的路程不變.故選D.
6.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時,對三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較,下列選項中正確的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 畫出三個函數(shù)的圖象,如下圖所示,當(dāng)x∈(4,+∞)時,指數(shù)函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)的圖象的上方,二次函數(shù)的圖象位于對數(shù)函數(shù)圖象的上方,故g(x)>f(x)>h(x).
7.某種計算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的,表格是某公司前5天監(jiān)測到的數(shù)據(jù):
第x天
1
2
3
4
5
被感染的計算機(jī)數(shù)量y/臺
12
24
49
95
190
則下列函數(shù)模型中能較好地反映在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是( )
A.y=12x B.y=6x2-6x+12
C.y=62x D.y=12log2x+12
答案 C
解析 由表格可知,每一天的計算機(jī)被感染臺數(shù)大約是前一天的2倍,故增長速度符合指數(shù)型函數(shù),故選C.
8.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是( )
A.40萬元 B.60萬元
C.120萬元 D.140萬元
答案 C
解析 甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買1206=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利202=40(萬元),乙4元時該商人買入乙商品,可以買(120+40)4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利402=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元).故選C.
9.某公司為了實現(xiàn)1000萬元銷售利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時,按照銷售利潤進(jìn)行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x的增加而增加,但獎金不超過5萬元,同時獎金不超過銷售利潤的25%,則下列函數(shù)最符合要求的是( )
A.y=x B.y=lg x+1
C.y=x D.y=
答案 B
解析 由題意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同時滿足:①函數(shù)為增函數(shù);②函數(shù)的最大值不超過5;③y≤x25%.對于y=x,易知滿足①,但當(dāng)x>20時,y>5,不滿足要求;對于y=x,易知滿足①,因為4>5,故當(dāng)x>4時,不滿足要求;對于y=,易知滿足①,但當(dāng)x>25時,y>5,不滿足要求;對于y=lg x+1,易知滿足①,當(dāng)x∈[10,1000]時,2≤y≤4,滿足②,再證明lg x+1≤x25%,即4lg x+4-x≤0,設(shè)F(x)=4lg x+4-x,則F′(x)=-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)為減函數(shù),F(xiàn)(x)max=F(10)=4lg 10+4-10=-2<0,滿足③,故選B.
10.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,后3年的年產(chǎn)量的增長速度保持不變,將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示,則正確的是( )
答案 A
解析 因為前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,可知圖象的斜率隨x的變大而變大,在圖象上呈現(xiàn)下凹的情形;又因為后3年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,可知圖象的斜率不變,呈直線型變化.故選A.
11.調(diào)查表明,酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因,交通法規(guī)規(guī)定,駕駛員在駕駛機(jī)動車時血液中酒精含量不得超過0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量將上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小時50%的速度減少,則至少經(jīng)過________小時他才可以駕駛機(jī)動車.(精確到小時)
答案 4
解析 設(shè)n小時后他才可以駕駛機(jī)動車,由題意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少經(jīng)過4小時他才可以駕駛機(jī)動車.
12.已知某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當(dāng)每套房月租金定為3000元時,這70套公寓房能全部租出去;當(dāng)月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會多一套房子不能出租.設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費(fèi)用),則要使公司獲得最大利潤,每套房月租金應(yīng)定為________元.
答案 3300
解析 設(shè)利潤為y元,租金定為3000+50x(0≤x≤70,x∈N)元.則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤502,當(dāng)且僅當(dāng)58+x=70-x,即x=6時,等號成立,故每月租金定為3000+300=3300(元)時,公司獲得最大利潤.
二、高考小題
13.(xx四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司xx年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )
(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.xx年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
答案 B
解析 設(shè)第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.根據(jù)題意得130(1+12%)n-1>200,則lg [130(1+12%)n-1]>lg 200,∴l(xiāng)g 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,∴0.11+(n-1)0.05>0.30,解得n>.
又∵n∈N*,∴n≥5,∴該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年.故選B.
14.(xx北京高考)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是( )
A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油
D.某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
答案 D
解析 對于A選項,從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L,故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米,所以A錯誤.對于B選項,由圖可知甲車消耗汽油最少.對于C選項,甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L,故行駛1小時的路程為80千米,消耗8 L汽油,所以C錯誤.對于D選項,當(dāng)最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率,故用丙車比用乙車更省油,所以D正確.
15.(xx四川高考)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時,在22 ℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33 ℃的保鮮時間是( )
A.16小時 B.20小時 C.24小時 D.28小時
答案 C
解析 由題意得即所以該食品在33 ℃的保鮮時間是y=e33k+b=(e11k)3eb=3192=24(小時).
16.(xx湖南高考)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為( )
A. B.
C. D.-1
答案 D
解析 設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a,則第二年年底的生產(chǎn)總值為a(1+p)(1+q).設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,則a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于連續(xù)兩年持續(xù)增加,所以x>0,因此x=-1,故選D.
17.(xx浙江高考)我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個數(shù)分別為x,y,z,則當(dāng)z=81時,x=________,y=________.
答案 8 11
解析 把z=81代入方程組,化簡得解得x=8,y=11.
18.(xx湖北高考)某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù),單位:輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=.
(1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/小時;
(2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時.
答案 (1)1900 (2)100
解析 (1)當(dāng)l=6.05時,F(xiàn)=,
∴F==≤=1900,當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=11時取“=”.
∴最大車流量F為1900輛/小時.
(2)當(dāng)l=5時,F(xiàn)==,
∴F≤=xx,
當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=10時取“=”.
∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加xx-1900=100輛/小時.
三、模擬小題
19.(xx福建質(zhì)檢)當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測器探測不到,則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
解析 設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1,則經(jīng)過n(n∈N*)個“半衰期”后的含量為n,由n<得n≥10.所以,若探測不到碳14含量,則至少經(jīng)過了10個“半衰期”.故選C.
20.(xx德陽一診)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,在過濾過程中,污染物的數(shù)量p(單位:毫克/升)不斷減少,已知p與時間t(單位:小時)滿足p(t)=p02-,其中p0為t=0時的污染物數(shù)量.又測得當(dāng)t∈[0,30]時,污染物數(shù)量的變化率是-10ln 2,則p(60)=( )
A.150毫克/升 B.300毫克/升
C.150ln 2毫克/升 D.300ln 2毫克/升
答案 C
解析 因為當(dāng)t∈[0,30]時,污染物數(shù)量的變化率是-10ln 2,所以-10ln 2=,所以p0=600ln 2,因為p(t)=p02-,所以p(60)=600ln 22-2=150ln 2(毫克/升).
21.(xx湖北武漢質(zhì)檢)某觀察者站在點O觀察練車場上勻速行駛的小車P的運(yùn)動情況,小車P從點A出發(fā)的運(yùn)動軌跡如圖所示.設(shè)觀察者從點A開始隨小車P變化的視角為θ=∠AOP,練車時間為t,則函數(shù)θ=f(t)的圖象大致為( )
答案 D
解析 根據(jù)小車P從點A出發(fā)的運(yùn)動軌跡可得,視角θ=∠AOP的值先是勻速增大,然后又減小,接著基本保持不變,然后又減小,最后又快速增大,故選D.
22.(xx河南洛陽調(diào)研)一名顧客計劃到商場購物,他有三張優(yōu)惠卷,每張優(yōu)惠卷只能購買一件商品,根據(jù)購買商品的標(biāo)價,三張優(yōu)惠券優(yōu)惠方式不同,具體如下:
優(yōu)惠券1:若標(biāo)價超過50元,則付款時減免標(biāo)價的10%.
優(yōu)惠券2:若標(biāo)價超過100元,則付款時減免20元.
優(yōu)惠券3:若標(biāo)價超過100元,則超過100元的部分減免18%.
若該顧客購買某商品使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多,則他購買的商品的標(biāo)價可能為( )
A.179元 B.199元 C.219元 D.239元
答案 C
解析 因為使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2減免的多,所以他購買的商品的標(biāo)價超過200元.如果他購買的商品的標(biāo)價為219元,那么使用優(yōu)惠券1可以減免21.9元,使用優(yōu)惠券2可以減免20元,使用優(yōu)惠券3可以減免21.42元;如果標(biāo)價為239元,那么使用優(yōu)惠券1可以減免23.9元,使用優(yōu)惠券2可以減免20元,使用優(yōu)惠券3可以減免25.02元,不滿足題意.故選C.
23.(xx江西4月模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是B1C的中點,動點M在其表面上運(yùn)動,且與平面A1DC1的距離保持不變,運(yùn)行軌跡為S,M從P點出發(fā),繞其軌跡運(yùn)行一周的過程中,運(yùn)動的路程x與l=MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系l=f(x),則此函數(shù)圖象大致是( )
答案 D
解析 連接AB1,AC.由題意可知點M的運(yùn)行軌跡是△B1AC,不妨設(shè)M從P點出發(fā),沿P→C→A→B1→P運(yùn)行,設(shè)AC的中點為Q,AB1的中點為R.可知M從P運(yùn)行到C的過程中,MA1+MD從小變大,且MC1從小變大,即l從小變大,同理可知M從C到Q,l從大變?。籑從Q到A,l從小變大;M從A到R,l從大變小;M從R到B1,l從小變大;M從B1到P,l從大變小.故選D.
24.(xx廣東廣州調(diào)研)某食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系式t=且該食品在4 ℃時的保鮮時間是16小時.已知甲在某日10時購買了該食品,并將其遺放在室外,且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示.給出以下四個結(jié)論:
①該食品在6 ℃的保鮮時間是8小時;
②當(dāng)x∈[-6,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少;
③到了此日13時,甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi);
④到了此日14時,甲所購買的食品已過了保鮮時間.
其中,所有正確結(jié)論的序號是________.
答案 ①④
解析 ∵某食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系式t=且該食品在4 ℃時的保鮮時間是16小時,∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,∴t=①當(dāng)x=6時,t=8,故①正確;②當(dāng)x∈[-6,0]時,保鮮時間恒為64小時,當(dāng)x∈(0,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少,故②錯誤;③此日10時,溫度為8 ℃,此時保鮮時間為4小時,而隨著時間的推移,到11時,溫度為11 ℃,此時的保鮮時間t=2-11+6=≈1.414(小時),到13時,甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi),故③錯誤;④由③可知,到了此日14時,甲所購買的食品已過了保鮮時間,故④正確.故正確結(jié)論的序號為①④.
一、高考大題
本考點在近三年高考中未涉及此題型.
二、模擬大題
1.(xx安徽六校聯(lián)考)隨著新能源的發(fā)展,電動汽車在全社會逐漸普及,據(jù)某報記者了解,某市電動汽車國際示范區(qū)運(yùn)營服務(wù)公司逐步建立了全市乃至全國的分時租賃服務(wù)體系,為電動汽車分時租賃在全國的推廣提供了可復(fù)制的市場化運(yùn)營模式.現(xiàn)假設(shè)該公司有750輛電動汽車供租賃使用,管理這些電動汽車的費(fèi)用是每日1725元.調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每輛電動汽車的日租金不超過90元,則電動汽車可以全部租出;若超過90元,則每超過1元,租不出的電動汽車就增加3輛.設(shè)每輛電動汽車的日租金為x(單位:元)(60≤x≤300,x∈N*),用y(單位:元)表示出租電動汽車的日凈收入(日凈收入等于日出租電動汽車的總收入減去日管理費(fèi)用).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)試問當(dāng)每輛電動汽車的日租金為多少元時,才能使日凈收入最多?
解 (1)當(dāng)60≤x≤90,x∈N*時,y=750x-1725;
當(dāng)90<x≤300,x∈N*時,y=[750-3(x-90)]x-1725=-3x2+1020x-1725.
故f(x)=
(2)對于y=750x-1725,60≤x≤90,x∈N*,
∵y在[60,90](x∈N*)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=90時,ymax=65775.
對于y=-3x2+1020x-1725=-3(x-170)2+84975,90<x≤300,x∈N*,
當(dāng)x=170時,ymax=84975.
84975>65775,故當(dāng)每輛電動汽車的日租金為170元時,日凈收入最多.
2.(xx福建廈門質(zhì)檢)食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害,為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬元)滿足P=80+4,Q=a+120,設(shè)甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元).
(1)求f(50)的值;
(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大?
解 (1)由題意知甲大棚投入50萬元,則乙大棚投入150萬元,
∴f(50)=80+4+150+120=277.5(萬元).
(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依題意得?20≤x≤180,
故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).
令t=,則t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,
當(dāng)t=8,即x=128時,f(x)取得最大值,f(x)max=282.
所以甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時,總收益最大,且最大總收益為282萬元.
3.(xx河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元,每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元,設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬部并全部銷售完,每萬部的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=
(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時,公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
解 (1)當(dāng)0<x≤40時,
W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40,
當(dāng)x>40時,
W=xR(x)-(16x+40)=--16x+8360.
所以W=
(2)①當(dāng)0<x≤40時,W=-6(x-32)2+6104,
所以Wmax=W(32)=6104;
②當(dāng)x>40時,W=--16x+8360,
由于+16x≥2=1600;
當(dāng)且僅當(dāng)=16x,即x=50時取等號,
此時Wmax=-1600+8360=6760,
綜合①②知,當(dāng)x=50時,W取得最大值6760萬元.
4.(xx湖北荊州一模)某市環(huán)保研究所對市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f(x)與時刻x(時)的關(guān)系為f(x)=-a+,x∈[0,24],其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且a∈0,.
(1)令t(x)=,x∈[0,24],求t(x)的最值;
(2)若用每天的f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),市政府規(guī)定:每天的綜合污染指數(shù)不得超過2.試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)?
解 (1)由t(x)=,x∈[0,24],
得t′(x)==,x∈[0,24],
令t′(x)≥0,得(x+2)(x-2)≤0,則0≤x≤2,
令t′(x)<0,得(x+2)(x-2)>0,則x>2,
∴t(x)在[0,2]上遞增,在(2,+∞)上遞減,
又t(0)=0,t(2)=,t→+∞時,t(x)→0,
∴t(x)min=t(0)=0,t(x)max=t(2)=.
(2)令t=,則由x∈[0,24],得t∈0,,
令g(t)=f(x)=t|t-a|+,t∈0,,
則g(t)=
∵g(t)在0,和a,上遞增,在,a上遞減,
且g=+,g=1-,
g-g=+-,
令+-≥0,得-1≤a≤;
令+-<0,得0≤a<-1,
∴f(x)max=
∴f(x)max≤1,
∴目前市中心的綜合污染指數(shù)沒有超標(biāo).