2018-2019高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.3.1-2.3.2 第1課時 等比數(shù)列的概念及通項公式學案 蘇教版必修5.docx

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第1課時　等比數(shù)列的概念及通項公式 學習目標　1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念并學會簡單應用.2.掌握等比中項的概念并會應用.3.掌握等比數(shù)列的通項公式并了解其推導過程． 知識點一　等比數(shù)列的概念 思考　觀察下列4個數(shù)列，歸納它們的共同特點． ①1,2,4,8,16，…； ②1，，，，，…； ③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，…. 答案　從第2項起，每項與它的前一項的比是同一個常數(shù)． 梳理　等比數(shù)列的概念和特點： (1)文字定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． (2)遞推公式形式的定義：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*)． (3)等比數(shù)列各項均不能為0. 知識點二　等比中項的概念 思考　在2,8之間插入一個數(shù)，使之成等比數(shù)列．這樣的實數(shù)有幾個？ 答案　設這個數(shù)為G，則＝，G2＝16，G＝4，所以這樣的數(shù)有2個． 梳理　等比中項與等差中項的異同，對比如下表： 對比項 等差中項 等比中項 定義 若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項 若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項 定義式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝ 個數(shù) a與b的等差中項唯一 a與b的等比中項有兩個，且互為相反數(shù) 備注 任意兩個數(shù)a與b都有等差中項 只有當ab＞0時，a與b才有實數(shù)等比中項 知識點三　等比數(shù)列的通項公式 思考　等差數(shù)列的通項公式是如何推導的？你能類比推導首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式嗎？ 答案　等差數(shù)列通項公式的推導是借助累加消去中間項，等比數(shù)列則可用累乘．根據(jù)等比數(shù)列的定義得 ＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)． 將上面n－1個等式的左、右兩邊分別相乘， 得…＝qn－1，化簡得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)． 當n＝1時，上面的等式也成立． ∴an＝a1qn－1(n∈N*)． 梳理　等比數(shù)列{an}首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1. 1．常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．() 2．若a，b，c成等比數(shù)列，則a，c的等比中項一定是b.() 3．若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，則{an}是等比數(shù)列．() 4．任何兩個數(shù)都有等比中項．() 類型一　等比數(shù)列的判定 例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項為4，公差為2的等差數(shù)列， 求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 考點　等比數(shù)列的判定 題點　證明數(shù)列為等比數(shù)列 證明　由題意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman， ∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2， ∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數(shù)， ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 反思與感悟　判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法是利用定義，即＝q(與n無關的常數(shù))． 跟蹤訓練1　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 考點　等比數(shù)列的判定 題點　證明數(shù)列為等比數(shù)列 (1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－. 又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝. (2)證明　∵Sn＝(an－1)，∴Sn＋1＝(an＋1－1)， 兩式相減得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an， 又a1＝－≠0，∴an≠0，∴＝－，n∈N*， ∴數(shù)列{an}是首項為－，公比為－的等比數(shù)列． 類型二　等比中項 例2　若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則的值為________． 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案　1 解析　∵1，a,3成等差數(shù)列，∴a＝＝2， ∵1，b,4成等比數(shù)列，∴b2＝14，b＝2，∴＝＝1. 反思與感悟　(1)任意兩個實數(shù)都有唯一確定的等差中項． (2)只有同號的兩個實數(shù)才有實數(shù)等比中項，且一定有2個． 跟蹤訓練2?。?與－1的等比中項是________． 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案　1 解析　設x為＋1與－1的等比中項， 則x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝1. 類型三　等比數(shù)列通項公式的應用 命題角度1　等比數(shù)列基本量的計算 例3　一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項 解　設這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么 ②①，得q＝， 將q＝代入①，得a1＝. 因此，a2＝a1q＝＝8. 綜上，這個數(shù)列的第1項與第2項分別是與8. 反思與感悟　已知等比數(shù)列{an}的某兩項的值，求該數(shù)列的其他項或求該數(shù)列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項． 跟蹤訓練3　在等比數(shù)列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項 解　(1)由等比數(shù)列的通項公式得， a6＝3(－2)6－1＝－96. (2)設等比數(shù)列的公比為q， 那么解得 所以an＝a1qn－1＝52n－1. 命題角度2　等比數(shù)列的實際應用 例4　為了治理“沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力，到2014年底，將當?shù)厣衬G化了40%，從2015年開始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲)，同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經(jīng)過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%？(可參考數(shù)據(jù)lg2＝0.3，最后結果精確到整數(shù)) 考點　等比數(shù)列的應用題 題點　等比數(shù)列的應用題 解　設該地區(qū)總面積為1,2014年底綠化面積為a1＝， 經(jīng)過n年后綠洲面積為an＋1，設2014年底沙漠面積為b1， 經(jīng)過n年后沙漠面積為bn＋1，則a1＋b1＝1，an＋bn＝1. 依題意，an＋1由兩部分組成：一部分是原有綠洲an減去被侵蝕的部分8%an的剩余面積92%an，另一部分是新綠化的12%bn， ∴an＋1＝92%an＋12%(1－an)＝an＋， 即an＋1－＝， a1－＝－＝－， ∴是以－為首項，為公比的等比數(shù)列， ∴an－＝n－1， ∴an＝－n－1，則an＋1＝－n， ∵an＋1>50%，∴－n>， ∴n<，n>＝≈3.1. 則當n≥4時，不等式n<恒成立． ∴至少需要4年才能使綠化面積超過50%. 反思與感悟　等比數(shù)列應用問題，在實際應用問題中較為常見，解題的關鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項a1，項數(shù)n所對應的實際含義． 跟蹤訓練4　“猴子分蘋果”問題：海灘上有一堆蘋果，五只猴子來分，第一只猴子把蘋果分成五等份，多一個，于是它把多的一個扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的蘋果也分成五等份，多了一個，它把多的一個扔到海里，取走一份；以后的三只猴子都是如此處理．問原來至少有多少個蘋果？最后至少剩下多少個蘋果？ 考點　等比數(shù)列的應用題 題點　等比數(shù)列的應用題 解　設最初的蘋果數(shù)為a1，五只猴子分剩的蘋果數(shù)依次為a2，a3，a4，a5，a6，由題意得， an＋1＝(an－1)－(an－1)＝an－，(*) 設an＋1＋x＝(an＋x)，即an＋1＝an－x， 對照(*)式得，－x＝－，所以x＝4. 即an＋1＋4＝(an＋4)． 所以數(shù)列{an＋4}為等比數(shù)列，首項為a1＋4，公比q＝， 所以a6＋4＝(a1＋4)5. 因此a6＝(a1＋4)5－4. 由題意知a6為整數(shù)，故a1＋4的最小值是55， 即a1的最小值是55－4＝3121. 即最初至少有3121個蘋果， 從而最后剩下a6＝45－4＝1020個蘋果. 1．45和80的等比中項為________． 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案?。?0或60 解析　設45和80的等比中項為G， 則G2＝4580，∴G＝60. 2．若等比數(shù)列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為________． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項數(shù) 答案　6 解析　由等比數(shù)列的通項公式得，128＝42n－1，2n－1＝32，所以n＝6. 3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝________. 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項 答案　64 解析　∵{an}為等比數(shù)列，∴＝q＝2. 又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝126＝64. 4．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第4項為________． 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案?。?4 解析　由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第4項為－24. 1．等比數(shù)列的判斷或證明： (1)利用定義：＝q(與n無關的常數(shù))． (2)利用等比中項：a＝anan＋2(n∈N*)． 2．兩個同號的實數(shù)a，b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個()，而不是一個()，這是容易忽視的地方． 3．等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量． 一、填空題 1．2＋和2－的等比中項是________． 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案　1 解析　設2＋和2－的等比中項為G，則G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝1. 2．下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是________．(填序號) ①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4. 考點　等比數(shù)列的概念 題點　等比數(shù)列的概念 答案?、佗冖? 解析　由等比數(shù)列的定義，知①②④是等比數(shù)列，③中當x＝0時，不是等比數(shù)列． 3．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3＝________. 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項 答案　32 解析　由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32. 4．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5＝________. 考點　等比數(shù)列的概念 題點　等比數(shù)列的概念 答案　27 解析　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9. ∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27. 5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么abc＝________. 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案?。?7 解析　∵b2＝(－1)(－9)＝9且b與首項－1同號， ∴b＝－3，且a，c必同號．∴ac＝b2＝9. 6．在等比數(shù)列{an}中，若a3＝3，a10＝384，則公比q＝________. 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列公比 答案　2 解析　a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，兩式相除得，q7＝128，所以q＝2. 7．在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這4個數(shù)依次為________________． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項 答案　80,40,20,10 解析　設這6個數(shù)所成等比數(shù)列的公比為q，則5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴這4個數(shù)依次為80,40,20,10. 8．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m＝________. 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　利用基本量法解題 答案　11 解析　在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11. 9．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad＝________. 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案　2 解析　∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2. 又∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝2. 10．數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________. 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案　1 解析　設等差數(shù)列的公差為d， 則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. 11．若{an}為公比大于1的等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝，則{an}的通項公式為______________． 考點　等比數(shù)列的通項公式 題點　已知數(shù)列為等比數(shù)列求通項公式 答案　an＝23n－3 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>1. a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝， 解得q1＝(舍)，q2＝3. 由q＝3知，a1＝，∴an＝3n－1＝23n－3. 二、解答題 12．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． 考點　等比數(shù)列的判定 題點　證明數(shù)列為等比數(shù)列 解　(1)由題意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 13．已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求{an}的通項公式． 考點　等比數(shù)列的通項公式 題點　判斷數(shù)列為等比數(shù)列后求通項 解　由Sn＋1＝qSn＋1①可知當n≥2時，Sn＝qSn－1＋1②，兩式相減可得an＋1＝qan，又n＝1時，S2＝qS1＋1， 即a1＋a2＝qa1＋1， 解得a2＝q≠0， ∴an≠0，∴＝q(n≥2)． 又＝q，∴{an}是公比為q的等比數(shù)列． 根據(jù)2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列， 由等差數(shù)列性質(zhì)可得2a2＋a2＋2＝2a3， 即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－， 由q>0可知，q＝2，所以an＝2n－1，n∈N*. 三、探究與拓展 14．如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”，已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為aij(i，j∈N*)，則a53的值為________． ， ，， 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列的項 答案　 解析　第一列構成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以a51＝＋(5－1)＝.又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以a53＝2＝. 15．設數(shù)列{an}的首項a1＝a≠，且an＋1 ＝ 記bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，…. (1)求a2，a3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論． 考點　等比數(shù)列的判定 題點　證明數(shù)列為等比數(shù)列 解　(1)a2＝a1＋＝a＋， a3＝a2＝a＋. (2)因為a4＝a3＋＝a＋， 所以a5＝a4＝a＋， 所以b1＝a1－＝a－， b2＝a3－＝， b3＝a5－＝. 猜想：數(shù)列{bn}是公比為的等比數(shù)列． 證明如下： 因為bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－ ＝－ ＝＝bn(n∈N*)， 又b1＝a1－＝a－≠0， 所以bn≠0， 所以＝，n∈N* 所以數(shù)列{bn}是首項為a－，公比為的等比數(shù)列．