2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.4.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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2.4.1　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題. 知識(shí)點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考1　在拋物線方程中p有何意義？拋物線的開口方向由什么決定？ 答案　p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線方程中一次項(xiàng)決定開口方向. 思考2　已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣確定拋物線的焦點(diǎn)位置和開口方向？ 答案　一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上.若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；若系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上.焦點(diǎn)確定，開口方向也隨之確定. 梳理　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 1.拋物線y2＝2x(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).(　　) 2.到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.(　　) 3.拋物線的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù).(　　) 4.方程x2＝2py是表示開口向上的拋物線.(　　)  類型一　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　分別根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，－2)； (2)準(zhǔn)線方程為y＝； (3)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5； (4)過點(diǎn)A(2,3). 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 解　(1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上， 且－＝－2，則p＝4. 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－8y. (2)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線平行于x軸，且在x軸上面， 且＝，則p＝. 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－y. (3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5知，p＝5. 又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上， 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－10x. (4)由題意知，拋物線方程可設(shè)為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0).將點(diǎn)A(2,3)的坐標(biāo)代入， 得32＝m2或22＝n3，∴m＝或n＝. 所以所求拋物線方程為y2＝x或x2＝y(tǒng). 反思與感悟　求拋物線方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可.若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0). 跟蹤訓(xùn)練1　分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)過點(diǎn)(3，－4)； (2)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 解　(1)方法一　∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把點(diǎn)(3，－4)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y， 得(－4)2＝2p3,32＝－2p1(－4)， 即2p＝，2p1＝. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝x或x2＝－y. 方法二　∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴設(shè)拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0). 把點(diǎn)(3，－4)分別代入，可得a＝，b＝－. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝x或x2＝－y. (2)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15， ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)或(－15,0). ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x. (3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得p＝， 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y. 類型二　求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 例2　已知拋物線的方程如下，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)y2＝－6x；　(2)3x2＋5y＝0； (3)y＝4x2；　(4)y2＝a2x(a≠0). 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 解　(1)由方程y2＝－6x知，拋物線開口向左， 2p＝6，p＝3，＝， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝. (2)將3x2＋5y＝0變形為x2＝－y， 知拋物線開口向下，2p＝，p＝，＝， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝. (3)將y＝4x2變形為x2＝y(tǒng)， 可知拋物線開口向上，2p＝，p＝，＝， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝－. (4)由方程y2＝a2x(a≠0)知，拋物線開口向右， 2p＝a2，p＝，＝， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. 引申探究 若將本例(4)中條件改為y＝ax2(a≠0)，結(jié)果又如何？ 解　y＝ax2可變形為x2＝y(tǒng)， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝－. 反思與感悟　如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開口方向.一次項(xiàng)的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向. 跟蹤訓(xùn)練2　若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為____________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 答案　2　x＝－1 解析　由＝1知，p＝2，則準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1. 類型三　拋物線定義的應(yīng)用 例3　若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，求點(diǎn)M的軌跡方程. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 解　由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等.由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x＝－為準(zhǔn)線的拋物線，其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0). 反思與感悟　滿足拋物線的定義，可直接利用定義寫出軌跡方程，避免了繁瑣的化簡. 跟蹤訓(xùn)練3　平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 解　由題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x<0時(shí)，直線y＝0上的點(diǎn)適合條件；當(dāng)x≥0時(shí)，原命題等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x＝－1的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，方程為y2＝4x. 故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝ 例4　設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn). (1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,2).求PB＋PF的最小值. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求最值 解　(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程是x＝－1.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，于是問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小.顯然，連結(jié)AF，AF與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，故最小值為＝，即點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為. (2)如圖，把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2＝4x中，得y＝2.因?yàn)?>2，所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部.過點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，連結(jié)P1F.此時(shí)，由拋物線定義知，P1Q＝P1F.所以PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4， 即PB＋PF的最小值為4. 反思與感悟　解決最值問題：在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線來解決最值問題. 跟蹤訓(xùn)練4　已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求最值 答案　2 解析　由題意知，直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到l2的距離等于點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)和到直線l1的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即d＝＝2. 1.拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 答案　y＝－1 解析　由y＝x2，得x2＝4y，則拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且2p＝4，即p＝2，因此準(zhǔn)線方程為y＝－＝－1. 2.設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求距離 答案　6 解析　拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離是6.由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是6. 3.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)準(zhǔn)線方程為x＝－1.________. (2)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 答案　(1)y2＝4x　(2)y2＝－4x 解析　(1)∵x＝－＝－1，∴p＝2. 又焦點(diǎn)在x軸上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x. (2)∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝2，且焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x. 4.若橢圓＋＝1(p>0)的左焦點(diǎn)在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，則p為________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 答案　 解析　由題意知，左焦點(diǎn)為，則c＝. ∵a2＝3，b2＝，∴3＝＋，得p＝. 5.若拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo). 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求點(diǎn)坐標(biāo) 解　由拋物線定義，設(shè)焦點(diǎn)為F. 則該拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝.由題意設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為MN， 則MN＝MF＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2. 故拋物線方程為y2＝－4x. 將M(－9，y0)代入拋物線方程，得y0＝6. ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6). 1.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2＝mx(m≠0)，此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為x＝－；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2＝my(m≠0)，此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為y＝－. 2.設(shè)M是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑.若M(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑MF＝x0＋. 3.對(duì)于拋物線上的點(diǎn)，利用定義可以把其到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，也可以把其到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，因此可以解決有關(guān)距離的最值問題. 一、填空題 1.經(jīng)過點(diǎn)P(4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 答案　y2＝x或x2＝－8y 解析　∵點(diǎn)P在第四象限，∴拋物線開口向右或向下. 當(dāng)開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2p1x(p1>0)， 則(－2)2＝8p1，∴p1＝， ∴拋物線方程為y2＝x. 當(dāng)開口向下時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2p2y(p2>0)， 則42＝4p2，p2＝4， ∴拋物線方程為x2＝－8y. 2.已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo) 答案　(1,0) 解析　拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－.由題設(shè)知－＝－1，即p＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 3.若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p＝________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 答案　4 解析　∵a2＝6，b2＝2，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2， 即橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴＝2，即p＝4. 4.若拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a＝________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 答案?。? 解析　y＝ax2可化為x2＝y(tǒng). ∵準(zhǔn)線方程為y＝2，∴a<0且－＝2， ∴a＝－. 5.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求點(diǎn)坐標(biāo) 答案　4 解析　由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0).由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x2＝－8y，得m＝4. 6.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求點(diǎn)坐標(biāo) 答案　2 解析　拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－，它與圓相切，所以必有3－＝4，所以p＝2. 7.設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求距離 答案　 解析　拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得1＝2p，解得p＝，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為＋＝. 8.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn).若AF＝3，則BF＝________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求距離 答案　 解析　拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為x＝－1，焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由拋物線的定義可知AF＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝2，由拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，假設(shè)A(2,2).由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可知直線AB的方程為y－0＝2(x－1)，代入拋物線方程消去y，得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故BF＝. 9.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，若PF＝4，則△POF的面積為________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求點(diǎn)坐標(biāo) 答案　2 解析　拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點(diǎn)F(，0).由PF＝4及拋物線的定義知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xP＝3，從而縱坐標(biāo)為yP＝2. ∴S△POF＝OF|yP|＝2＝2. 10.已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求最值 答案　 解析　拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線是x＝－.由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線x＝－的距離.因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值.結(jié)合圖形(圖略)不難得出相應(yīng)的最小值等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離，因此所求距離之和的最小值為＝. 11.已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是________. 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求最值 答案?。? 解析　點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F(1,0)的距離.圓心坐標(biāo)是(0,4)，圓心到拋物線焦點(diǎn)的距離為，即圓上的點(diǎn)Q到拋物線焦點(diǎn)的距離的最小值是－1. 二、解答題 12.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，且與x軸垂直.又拋物線與此雙曲線交于點(diǎn)，求拋物線和雙曲線的方程. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 解　因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其準(zhǔn)線垂直于x軸，所以可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0).將點(diǎn)代入方程，得p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由此知雙曲線方程中c＝1，焦點(diǎn)為(－1,0)，(1,0)，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差為2a＝1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 13.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(AB不垂直于x軸)，且AF＋BF＝8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過點(diǎn)Q(6,0)，求拋物線的方程. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求拋物線方程 解　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0), 則其準(zhǔn)線方程為x＝－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AF＋BF＝8，∴x1＋＋x2＋＝8， 即x1＋x2＝8－p. ∵Q(6,0)在線段AB的中垂線上，∴QA＝QB， 即＝， 又y＝2px1，y＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB與x軸不垂直，∴x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. ∴拋物線方程為y2＝8x. 三、探究與拓展 14.已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上，且AK＝AF，則△AFK的面積為________. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 答案　32 解析　由題意可知拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(4,0).過點(diǎn)A作直線AA′垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為A′，根據(jù)拋物線定義知，AA′＝AF，則在△AA′K中，AK＝AA′，故∠KAA′＝45，所以直線AK的傾斜角為45，直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物線方程y2＝16x，得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK為直角三角形，故△AFK的面積為88＝32. 15.設(shè)拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為拋物線C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn). (1)若∠BFD＝90，△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程； (2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且直線n與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值. 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 解　(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，BD＝2p，圓F的半徑FA＝p. 由拋物線定義可知，A到準(zhǔn)線l的距離d＝FA＝p. 因?yàn)椤鰽BD的面積為4，所以BDd＝4， 即2pp＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8. (2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90. 由拋物線定義知，AD＝FA＝AB， 所以∠ABD＝30，m的斜率為或－. 當(dāng)m的斜率為時(shí)，由已知可設(shè)n：y＝x＋b， 代入x2＝2py，得x2－px－2pb＝0. 由于直線n與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)， 故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－. 因?yàn)閙的截距b1＝，＝3， 所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3. 當(dāng)m的斜率為－時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值也為3. 綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.