高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理本章整合素材 新人教B版選修23

第一章 計(jì)數(shù)原理 本章整合 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專(zhuān)題探究 專(zhuān)題一：正確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 【應(yīng)用1】 從集合{O，P，Q，R，S}與{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))．每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是__________．(用數(shù)字作答) 解析：把排法分成三類(lèi)： ①當(dāng)無(wú)字母O，Q和數(shù)字0時(shí)，有排法CCA種； ②當(dāng)無(wú)字母O，Q，但有數(shù)字0時(shí)，有排法CCA種； ③當(dāng)無(wú)數(shù)字0，但有字母O，Q其中之一時(shí)，有排法CCCA種． 綜上，符合題意的不同排法種數(shù)是CCA＋CCA＋CCCA＝8 424. 答案：8 424 【應(yīng)用2】 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車(chē)擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車(chē)牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容．交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車(chē)牌照組成辦法，每個(gè)汽車(chē)牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽車(chē)上牌照？ 提示：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類(lèi)，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字可以分6個(gè)步驟． 解：將汽車(chē)牌照分為2類(lèi)，一類(lèi)的字母組合在左，另一類(lèi)的字母組合在右． 字母組合在左時(shí)，分6個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字： 第1步，從26個(gè)字母中選1個(gè)，放在首位，有26種選法； 第2步，從剩下的25個(gè)字母中選1個(gè)，放在第2位，有25種選法； 第3步，從剩下的24個(gè)字母中選1個(gè)，放在第3位，有24種選法； 第4步，從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，放在第4位，有10種選法； 第5步，從剩下的9個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，放在第5位，有9種選法； 第6步，從剩下的8個(gè)字母中選1個(gè)，放在第6位，有8種選法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有2625241098＝11 232 000(個(gè))． 同理，字母組合在右的牌照也有11 232 000個(gè)． 所以，共能給11 232 000＋11 232 000＝22 464 000輛汽車(chē)上牌照． 專(zhuān)題二：解排列組合應(yīng)用題 區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無(wú)序”，無(wú)序的問(wèn)題用組合知識(shí)解答，有序的問(wèn)題屬于排列問(wèn)題．解含有約束條件的排列、組合問(wèn)題，應(yīng)先觀察取出的元素是否有順序，從而確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，然后仔細(xì)審題，弄清怎樣才算完成一件事，從而確定是分類(lèi)完成，還是分步完成．分類(lèi)時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：(1)類(lèi)與類(lèi)之間要互斥(保證不重復(fù))；(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏)．分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分步，做到步與步之間相互獨(dú)立、互不干擾，并確保連續(xù)性． 解決受條件限制的排列、組合問(wèn)題的一般策略有： (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略； (2)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； (3)相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略； (4)不相鄰問(wèn)題插空處理的策略； (5)定序問(wèn)題排除法處理的策略； (6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略； (7)平均分組問(wèn)題運(yùn)用除法處理的策略； (8)構(gòu)造模型的策略． 【應(yīng)用1】 7名學(xué)生站成一排，下列情況各有多少種不同排法？ (1)甲、乙必須排在一起； (2)甲不在排頭，乙不在排尾； (3)甲、乙、丙互不相鄰； (4)甲、乙之間必須隔一人． 解：(1)(捆綁法)先將甲、乙看作一個(gè)人，有A種排法，然后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，所以不同的排法有AA＝1 440(種)． (2)(間接法)甲在排頭或乙在排尾排法共2A種，其中都包含甲在排頭且乙在排尾的情形，故有不同的排法A－2A＋A＝3 720(種)． (3)(插空法)把甲、乙、丙插入其余4名學(xué)生產(chǎn)生的5個(gè)空中，有AA＝1 440(種)排法． (4)先從其余5人中選1人有5種選法，放在甲、乙之間，將三人看作一個(gè)整體有A種排法，然后甲乙換位有A種，共有5AA＝1 200(種)排法． 【應(yīng)用2】 有4個(gè)不同的球，四個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)． (1)共有多少種放法？ (2)恰有一個(gè)盒不放球，有多少種放法？ (3)恰有一個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，有多少種放法？ 解：(1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，放法共有44＝256(種)． (2)為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”，先從四個(gè)盒子中任意拿出去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2,1,1的三組，有C種分法；然后再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球，其余兩個(gè)球，兩個(gè)盒子，全排列即可．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有放法：CCCA＝144(種)． (3)“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒．因此，“恰有一個(gè)盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事．故也有144種放法． 【互動(dòng)探究】 本例中的4個(gè)小球若只放入4個(gè)盒子中的兩個(gè)盒子，即只有兩個(gè)空盒子，共有多少種放法？ 解：先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)有C種，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目看，可分為(3,1)，(2,2)兩類(lèi)．第一類(lèi)：可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有CC種放法；第二類(lèi)：有C種放法．因此共有CC＋C＝14(種)．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球”的放法有C14＝84(種)． 專(zhuān)題三：二項(xiàng)式定理應(yīng)用 【應(yīng)用1】 8的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是(　　) A．16 B．70 C．560 D．1 120 解析：設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的第(r＋1)項(xiàng)含有x4，則Tr＋1＝C(x2)8－rr＝C2rx16－3r，令16－3r＝4，求得r＝4. 所以x4的系數(shù)為C24＝1 120. 答案：D 【應(yīng)用2】 若n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 解析：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng).n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C＋C＋C＋…＋C＝64＝2n，解得n＝6.設(shè)第(r＋1)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以Tr＋1＝T4＝C＝20. 答案：B 【應(yīng)用3】 設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：采用賦值法，要使等式右邊為a0＋a1＋a2＋…＋a11，應(yīng)該令x＋2＝1，即x＝－1，于是可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝2(－1)9＝－2.答案：A 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375