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1、
第二章 概率
本章整合
知識網(wǎng)絡(luò)
專題探究
專題一:相互獨立事件的概率與條件概率
【應(yīng)用】 某同學參加科普知識競賽,需回答3個問題.競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯得零分.假設(shè)這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.7,0.6,且各題答對與否相互之間沒有影響.
(1)求這名同學得300分的概率;
(2)求這名同學至少得300分的概率.
提示:本小題考查概率知識.(1)同學得300分必是第一、二題一對一錯,這樣得100分,而第三題一定答對,所以一共得分是300分.
(2)至少300分,意思是得300分或多于3
2、00分,而本題包括兩種情況:一種是得300分,另一種是得400分,兩種概率相加即可.
解:記“這名同學答對第i個問題”為事件Ai(i=1,2,3),
則P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
(1)這名同學得300分的概率為
P1=P(A1 A3)+P(A2A3)
=P(A1)·P()·P(A3)+P()·P(A2)·P(A3)
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.
(2)這名同學至少得300分的概率為
P2=P1+P(A1A2A3)=P1+P(A1)
3、·P(A2)·P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
專題二:離散型隨機變量的分布列
求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是解決兩個問題:一是隨機變量的可能取值;二是隨機變量取每一個值時的概率.針對于不同的題目,應(yīng)認真分析題意,明確隨機變量,正確計算隨機變量取每一個值時的概率.求概率主要有兩種類型:(1)古典概型,利用排列組合知識求解;(2)獨立重復試驗,即X~B(n,p),由P(X=k)=Cpk(1-p)n-k計算.
一般地,離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和,利用這一性質(zhì)可以由概率的分布列求出
4、隨機變量在所給區(qū)間的概率.
【應(yīng)用】 如圖是一個從A→B的“闖關(guān)”游戲.
規(guī)則規(guī)定:每過一關(guān)前都要拋擲一個在各面上分別標有1,2,3,4的均勻的正四面體.在過第n(n=1,2,3)關(guān)時,需要拋擲n次正四面體,如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n,則闖關(guān)成功.
(1)求闖第一關(guān)成功的概率;
(2)記闖關(guān)成功的關(guān)數(shù)為隨機變量X,求X的分布列.
解:(1)拋一次正四面體,面朝下的數(shù)字有1,2,3,4四種情況,大于2的有兩種情況,故闖第一關(guān)成功的概率為.
(2)記事件“拋擲n次正四面體,這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n”為事件An,則P(A1)=,拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖
5、所示,易知P(A2)==.
設(shè)拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為:x,y,z,
考慮x+y+z>8的情況,
當x=1時,y+z>7有1種情況;
當x=2時,y+z>6有3種情況;
當x=3時,y+z>5有6種情況;
當x=4時,y+z>4有10種情況.
故P(A3)==.
由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)=P()=,
P(X=1)=P(A1)=×=,
P(X=2)=P(A1A2)=××=,
P(X=3)=P(A1A2A3)=××=.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
6、
專題三:離散型隨機變量的期望與方差
期望和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征,方差是建立在期望這一概念之上,它表明了隨機變量所取的值相對于它的期望的集中與離散程度,二者聯(lián)系密切,在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛.
求離散型隨機變量X的期望與方差的步驟:
(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值;
(2)求X取每個值的概率或求出P(X=k);
(3)寫出X的分布列;
(4)由分布列和期望的定義求出E(X);
(5)由方差的定義求D(X).
若X~B(n,p),則可直接利用公式求:
E(X)=np,D(X)=np(1-p).
【應(yīng)用1】 設(shè)袋子中裝有a個紅球,b個黃球,
7、c個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.
(1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和,求ξ的分布列;
(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分數(shù).若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c.
提示:(1)在分析取到兩球的顏色時,要注意是有放回地抽取,即同一個球可能兩次都能抽到;(2)根據(jù)計算數(shù)學期望與方差的公式計算,尋找a,b,c之間的關(guān)系.
解:(1)由題意得ξ=2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
8、P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==,
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由題意知η的分布列為
η
1
2
3
P
所以E(η)=++=,
D(η)=2·+2·+2·=,化簡得
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.
【應(yīng)用2】 投到某雜志的稿件,先由兩位初審專家進行評審.若能通過兩位初審專家的評審,則予以錄用;若兩位初審專家都未予通過,則不予錄用;若恰能通過一位初審專家的評審,則再由第三位專家進行復審,若能通過復審專家的評審,則予以錄用,否則
9、不予錄用.設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5,復審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審.
(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率;
(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望.
提示:本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨立事件、分布列及期望的相關(guān)知識.
解:(1)記A表示事件:稿件能通過兩位初審專家的評審;
B表示事件:稿件恰能通過一位初審專家的評審;
C表示事件:稿件能通過復審專家的評審;
D表示事件:稿件被錄用.
則D=A+BC,P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5
10、=0.5,P(C)=0.3,
P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)
=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40.
(2)X~B(4,0.4),所以
P(X=0)=(1-0.4)4=0.129 6,
P(X=1)=C×0.4×(1-0.4)3=0.345 6,
P(X=2)=C×0.42×(1-0.4)2=0.345 6,
P(X=3)=C×0.43×(1-0.4)=0.153 6,
P(X=4)=0.44=0.025 6.
因此X的分布列為
X
0
1
2
3
4
11、
P
0.129 6
0.345 6
0.345 6
0.153 6
0.025 6
期望E(X)=4×0.4=1.6.
專題四:數(shù)學期望在風險與決策中的應(yīng)用
在日常生活中,人們經(jīng)常要面臨“風險”.為了減少風險,我們決策時必須平衡極大化期望和極小化風險這樣矛盾的要求,還必須在一個多階段過程的每一階段作出決策.但是始終有一條指導性原則:盡你的最大努力去決定各種結(jié)果在每一階段出現(xiàn)的概率及這些結(jié)果的價值或效用,計算每一種行動方案的期望效應(yīng)并斷定給出最大期望效應(yīng)的策略.這也就是說利用隨機變量的概率分布計算期望值后,就可以選擇能給出最大期望值的行動.
【應(yīng)用】 某突發(fā)事件,
12、在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3,一旦發(fā)生,將造成400萬元的損失,現(xiàn)有甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元,采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用,聯(lián)合采用或不采用,請確定預(yù)防方案使總費用最少.
(總費用=采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值)
解:(1)不采取預(yù)防措施時,總費用損失期望為400×0.3=120(萬元);
(2)若單獨采取措施甲,則預(yù)防措施費用為45萬元,發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.9=0.1,損失期望值為400×0.1=40(萬元),所以總費用為45+4
13、0=85(萬元);
(3)若單獨采取預(yù)防措施乙,則預(yù)防措施費用為30萬元,發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.85=0.15,損失期望值為400×0.15=60(萬元),所以總費用為30+60=90(萬元);
(4)若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施,則預(yù)防措施費用為45+30=75(萬元),發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,損失期望值為400×0.015=6(萬元),所以總費用為75+6=81(萬元).
綜合(1),(2),(3),(4),比較其總費用可知,應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施,可使總費用最少.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375