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【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第7篇 第4講 垂直關(guān)系

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【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第7篇 第4講 垂直關(guān)系

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第4講 垂直關(guān)系 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“α⊥β”是“a⊥b”的 (  ). A.充分不必要條件  B.必要不充分條件 C.充分必要條件  D.既不充分也不必要條件 解析 若α⊥β,因?yàn)棣痢搔拢絤,bβ,b⊥m,所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α,又aα,所以a⊥b;反過來,當(dāng)a∥m時(shí),因?yàn)閎⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保證b⊥α,所以不能推出α⊥β.故選A. 答案 A 2.(20xx臨川一中模擬)設(shè)α,β為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題正確的是 (  ). A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥α B.若mα,nβ,m⊥n,則n⊥α C.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,則m⊥α D.若m∥α,n∥β,m⊥n,則α⊥β 解析 與α,β兩垂直平面的交線垂直的直線m,可與α平行或相交,故A錯(cuò);對B,存在n∥α情況,故B錯(cuò);對D;存在α∥β情況,故D錯(cuò);由n⊥α,n⊥β,可知α∥β,又m⊥β,所以m⊥α,故C正確. 答案 C 3.(20xx浙江溫嶺中學(xué)模擬)設(shè)a是空間中的一條直線,α是空間中的一個(gè)平面,則下列說法正確的是 (  ). A.過a一定存在平面β,使得β∥α B.過a一定存在平面β,使得β⊥α C.在平面α內(nèi)一定不存在直線b,使得a⊥b D.在平面α內(nèi)一定不存在直線b,使得a∥b 解析 當(dāng)a與α相交時(shí),不存在過a的平面β,使得β∥α,故A錯(cuò)誤;當(dāng)a與α平行時(shí),在平面α內(nèi)存在直線b,使得a∥b,故D錯(cuò)誤;平面α內(nèi)的直線b只要垂直于直線a在平面α內(nèi)的投影,則就必然垂直于直線a,故C錯(cuò)誤;直線a與其在平面α內(nèi)的投影所確定的平面β滿足β⊥α,故選B. 答案 B 4.(20xx白鷺洲中學(xué)模擬)如圖,在四面體D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列正確的是 (  ). A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析 因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi),所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以選C. 答案 C 5.(20xx西安中學(xué))已知平面α,β,γ和直線l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,給出下列四個(gè)結(jié)論: ①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β. 其中正確的是 (  ). A.①④  B.②④  C.②③  D.③④ 解析 如圖,由題意,β∩γ=l,∴l(xiāng)γ,由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,∴l(xiāng)⊥α,即②正確;由β∩γ=l,∴l(xiāng)β,由l⊥α,得α⊥β,即④正確;而①③條件不充分,不能判斷. 答案 B 二、填空題 6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可). 解析 ∵PC在底面ABCD上的射影為AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥平面MBD,而PC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD. 答案 DM⊥PC(或BM⊥PC) 7.設(shè)α,β是空間兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β外的兩條不同直線.從“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:________(用代號表示). 解析 逐一判斷.若①②③成立,則m與α的位置關(guān)系不確定,故①②③?④錯(cuò)誤;同理①②④?③也錯(cuò)誤;①③④?②與②③④?①均正確. 答案 ①③④?②(或②③④?①) 8.如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB,PC上的正投影,給出下列結(jié)論: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________. 解析 由題意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又AC⊥BC,且PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.故①②③正確. 答案?、佗冖? 三、解答題 9.(20xx北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明 (1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn), 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E平面PAD,AD平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形.所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD,從而CD⊥PD.又E, F分別是CD和CP的中點(diǎn),所以EF∥PD,故CD⊥EF.CD平面PCD,由EF,BE在平面BEF內(nèi),且EF∩BE=E, ∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD. 10.(20xx商洛模擬) 如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn). (1)求證:B1D1∥平面A1BD; (2)求證:MD⊥AC; (3)試確定點(diǎn)M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. (1)證明 由直四棱柱,得BB1∥DD1, 又∵BB1=DD1,∴BB1D1D是平行四邊形,∴B1D1∥BD. 而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD, ∴B1D1∥平面A1BD. (2)證明 ∵BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D. 而MD平面BB1D,∴MD⊥AC. (3)解 當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí), 平面DMC1⊥平面CC1D1D. 取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1,連接NN1交DC1于O,連接OM,如圖所示. ∵N是DC的中點(diǎn),BD=BC, ∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線, 而平面ABCD⊥平面DCC1D1, ∴BN⊥平面DCC1D1.又可證得O是NN1的中點(diǎn), ∴BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D. ∵OM平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 能力提升題組 (建議用時(shí):25分鐘) 一、選擇題 1.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在 (  ). A.直線AB上   B.直線BC上 C.直線AC上   D.△ABC內(nèi)部 解析 由BC1⊥AC,又BA⊥AC,則AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上. 答案 A 2.(20xx衡水中學(xué)模擬) 如圖,正方體AC1的棱長為1,過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線,垂足為點(diǎn)H.則以下命題中,錯(cuò)誤的命題是 (  ). A.點(diǎn)H是△A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1 C.AH延長線經(jīng)過點(diǎn)C1 D.直線AH和BB1所成角為45 解析 對于A,由于AA1=AB=AD,所以點(diǎn)A在平面A1BD上的射影必到點(diǎn)A1、B、D的距離相等,即點(diǎn)H是△A1BD的外心,而A1B=A1D=BD,故點(diǎn)H是△A1BD的垂心,命題A是真命題;對于B,由于B1D1∥BD,CD1∥A1B,故平面A1BD∥平面CB1D1,而AH⊥平面A1BD,從而AH⊥平面CB1D1,命題B是真命題;對于C,由于AH⊥平面CB1D1,因此AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1,命題C是真命題;對于D,由C知直線AH即是直線AC1,又直線AA1∥BB1,因此直線AC1和BB1所成的角就等于直線AA1與AC1所成的角,即 ∠A1AC1,而tan∠A1AC1==,因此命題D是假命題. 答案 D 二、填空題 3.(20xx河南師大附中二模)如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上). 解析 由PA⊥平面ABC,AE平面ABC,得PA⊥AE,又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB平面PAB,∴AE⊥PB,①正確;又平面PAD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯(cuò);由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD,又AD平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直線BC∥平面PAE也不成立,③錯(cuò);在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45,∴④正確. 答案?、佗? 三、解答題 4.(20xx北京西城一模) 在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB. (1)求證:AC⊥平面FBC; (2)求四面體F-BCD的體積; (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M,使EA∥平面FDM?證明你的結(jié)論. (1)證明 在△ABC中,因?yàn)锳C=,AB=2,BC=1,則AB2=AC2+BC2,所以AC⊥BC,又因?yàn)锳C⊥FB,且FB∩BC=B,所以AC⊥平面FBC. (2)解 因?yàn)锳C⊥平面FBC,所以AC⊥FC. 因?yàn)镃D⊥FC,且CD∩AC=C, 所以FC⊥平面ABCD. 則FC為四面體F-BCD的高, 在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1,所以FC=1, 所以△BCD的面積為S=. 所以四面體F-BCD的體積為VF-BCD=SFC=. (3)解 線段AC上存在點(diǎn)M,且M為AC中點(diǎn)時(shí), 有EA∥平面FDM,證明如下: 連接CE,與DF交于點(diǎn)N,連接MN,因?yàn)樗倪呅蜟DEF為正方形,所以N為CE中點(diǎn),所以EA∥MN.因?yàn)镸N平面FDM,EA平面FDM,所以EA∥平面FDM,所以線段AC上存在點(diǎn)M,使得EA∥平面FDM.

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