專題42 不等式法求系數(shù)最大最小項(解析版)

專題42 不等式法求系數(shù)最大最小項 一、單選題 1．經(jīng)檢測有一批產(chǎn)品合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則取得最大值時的值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 隨機(jī)變量，，若取得最大值時,則有，，求出的值. 【詳解】 由題意，隨機(jī)變量，， 若取得最大值時，則: 則，解得，則． 故選：． 【點睛】 本題考查二項分布的性質(zhì)和應(yīng)用，解含組合數(shù)的不等式，考查了學(xué)生的分析能力，運算能力，屬于中檔題. 2．已知不等式（且）的解集為，則二項式的展開式中系數(shù)最大項的系數(shù)為（ ） A．16 B．80 C．240 D．480 【答案】C 【分析】 按和分類討論,解出對數(shù)不等式并求出的值,設(shè)二項式展開式中第項系數(shù)最大,則有(),解不等式求出的值并代回可得系數(shù)最大項的系數(shù). 【詳解】 由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故，，因為，系數(shù)為正，所以，故展開式中系數(shù)最大項的系數(shù)為. 故選: C. 【點睛】 本題考查二項式展開式的應(yīng)用,考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生邏輯推理能力和運算求解能力,屬于中檔題. 3．若的二項展開式中，只有含項的系數(shù)最大，則等于（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】 根據(jù)二項展開式的通項公式，寫出通項，再由題意，得到，求解，即可得出結(jié)果. 【詳解】 因為二項式的展開式的第項為， 又展開式中，只有含項的系數(shù)最大， 所以有，即，即，解得， 又，所以. 故選：B. 【點睛】 本題主要考查由系數(shù)最大的項求參數(shù)的問題，熟記二項式定理即可，屬于常考題型. 4．已知展開式的二項式系數(shù)的最大值為，系數(shù)的最大值為，則的值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，系數(shù)的最大值為求得，從而求得的值． 【詳解】 由題意可得，又展開式的通項公式為， 設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即， 求得或6，此時，，， 故選：B． 【點睛】 本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，第項的二項式系數(shù)與第項的系數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題． 5．在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個系數(shù)絕對值；同時大于等于其后一個系數(shù)絕對值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項； 【詳解】 二項式展開式為： 設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第項， 可得 可得，解得 在的展開式中， 系數(shù)的絕對值最大的項為： 故選：D. 【點睛】 本題考查二項展開式中絕對值系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題． 6．若的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 計算，計算，，，根據(jù)系數(shù)的大小關(guān)系得到，解得答案. 【詳解】 ，，，，， 第6項的系數(shù)最大，，則. 故選：. 【點睛】 本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力 7．若展開式中只有第6項的系數(shù)最大，則常數(shù)項是（ ） A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項 【答案】B 【分析】 由條件求得，在其展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求得的值，可得常數(shù)項，求得結(jié)果. 【詳解】 若展開式中只有第6項的系數(shù)最大， 則，它的展開式的通項公式為：， 令，解得， 所以常數(shù)項是第6項， 故選B. 【點睛】 該題考查的是有關(guān)二項式定理的問題，涉及到的知識點有二項展開式中二項式系數(shù)最大項，二項展開式的通項，屬于簡單題目. 8．(x+2y)7展開式中系數(shù)最大的項是（ ） A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)r+1項系數(shù)最大，則有C7r?2r≥C7r?1?2r?1C7r?2r≥C7r+1?2r+1，即7!r!(7?r)!?2r≥7!(r?1)!(7?r+1)!?2r?17!r!(7?r)!?2r≥7!(r+1)!(7?r?1)!?2r+1，2r≥18?r17?r≥2r+1，解得r≤163r≥133，又∵ 0≤r≤7，∴ r=5．∴系數(shù)最大項為Τ6=C75x2?25y5=672x2y5．故應(yīng)選C． 考點：二項展開式的通項與系數(shù)及組合式的運算. 二、多選題 9．已知在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．展開式中所有項的系數(shù)之和為256 B．展開式中含的一次項為 C．展開式中有3項有理項 D．展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項 【答案】BCD 【分析】 由題意寫出該二項式展開式的通項公式，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得；令即可判斷A；令，代入即可判斷B；令為整數(shù)，即可判斷C；令，解不等式即可判斷D；即可得解. 【詳解】 由題意展開式的通項公式為 ， 所以，解得或（舍去）， 所以，， 對于A，令，則，所以展開式中所有項的系數(shù)之和為，故A錯誤； 對于B，令即，此時，所以展開式中含的一次項為，故B正確； 對于C，若要使為有理項，則為4的倍數(shù)，當(dāng)、、時，為有理項，所以展開式中有3項有理項，故C正確； 對于D，令，解得，所以展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項，故D正確. 故選：BCD. 【點睛】 本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了運算求解能力，合理賦值、細(xì)心計算是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 三、解答題 10．已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大. （1）求該展開式中有理項的項數(shù)； （2）求該展開式中系數(shù)最大的項. 【答案】（1）；（2）和 【分析】 （1）先求出，再寫出二項式展開式的通項，令即可求解； （2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即可解得的值，進(jìn)而可得展開式中系數(shù)最大的項. 【詳解】 （1）由題意可得：，得， 的展開式通項為，， 要求展開式中有理項，只需令， 所以 所以有理項有5項， （2）設(shè)第項系數(shù)最大，則 ， 即，即，解得：， 因為， 所以或 所以， 所以展開式中系數(shù)最大的項為和. 【點睛】 解二項式的題關(guān)鍵是求二項式展開式的通項，求有理項需要讓的指數(shù)位置是整數(shù)，求展開式中系數(shù)最大的項需要滿足第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，屬于中檔題 11．（1）求展開式中系數(shù)最大項； （2）求展開式中系數(shù)最大項． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）本題要求二項式中系數(shù)最大的項，設(shè)出第項系數(shù)最大，則這一項不小于它的前一項且不小于它的后一項，列出不等式組，解不等式組，根據(jù)是正整數(shù)得到結(jié)果． （2）根據(jù)（1）可得展開式系數(shù)絕對值最大項，結(jié)合系數(shù)的正負(fù)，即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：（1）設(shè)第項系數(shù)最大，則有， 即，即， 且，， ． 系數(shù)最大項為； （2）展開式中系數(shù)的絕對值等于展開式中對應(yīng)項的系數(shù)， 根據(jù)（1）可得展開式中系數(shù)的絕對值為第六項， 而第6項的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以展開式中系數(shù)最大為第5項或第7項， 只需比較和兩項系數(shù)大小即可． ，， 系數(shù)最大的項是第五項為． 【點睛】 本題是一個典型的二項式問題，主要考查二項式的性質(zhì)，注意二項式系數(shù)和項的系數(shù)之間的關(guān)系，這是容易出錯的地方，本題考查展開式的通項式，這是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 12．已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列． （1）求的值； （2）如果第項和第項的二項式系數(shù)相等，試求的值； （3）求展開項中最大的系數(shù)． 【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7． 【分析】 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程求解n；（2）當(dāng)時，成立；當(dāng)時，根據(jù)二項式的單調(diào)性和對稱性可列出等式求解k；（3）設(shè)第項的系數(shù)最大，由求解r的值，代入展開式的通項即可得解. 【詳解】 （1）根據(jù)題意，，，成等差數(shù)列， 所以，即，或(舍去). （2）當(dāng)時，即顯然成立； 當(dāng)時，由二項式的單調(diào)性和對稱性得：. （3）設(shè)第項的系數(shù)最大， 則，解得或， 所以展開項中系數(shù)最大為. 【點睛】 本題考查二項式定理，含參二項式的相關(guān)問題、二項展開式中系數(shù)最值問題，涉及等差中項的應(yīng)用，屬于中檔題. 13．在二項式的展開式中. （1）求該二項展開式中含項的系數(shù)； （2）求該二項展開式中系數(shù)最大的項. 【答案】（1）160；（2）. 【分析】 （1）在通項公式中，令的冪指數(shù)等于3，求得的值，可得含項的系數(shù)． （2）根據(jù)，求得的值，可得結(jié)論． 【詳解】 （1）二項展開式中，通項公式為，令，求得， 故含項的系數(shù)為. （2）設(shè)第項的系數(shù)最大，由，解得，故 故該二項展開式中系數(shù)最大的項為 【點睛】 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題． 14．已知，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于128， （1）求的值； （2）求的展開式中的有理項； （3）求的展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（1）7；（2），，；（3）. 【分析】 （1）根據(jù)的展開式的各二項式系數(shù)的和等于求解． （2）先得到的展開式中的通項公式，再令為整數(shù)求解． （3）由通項公式知：第項的系數(shù)為．直接假設(shè)第r+1項系數(shù)最大，比前一項大且比后一項大，聯(lián)立解不等式組即可. 【詳解】 解：（1）已知， 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于，． （2）的展開式中的通項公式為， 令為整數(shù)，可得，3，6， 故展開式的有理項為，，． （3）第項的系數(shù)為， ，且， 解得，故， 故的展開式中系數(shù)最大的項為第6項． 【點睛】 本題主要考查二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力；屬于中檔題. 15．已知展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為37，求展開式中： （1）所有x的有理項； （2）系數(shù)最大的項． 【答案】（1），，；（2）系數(shù)最大的項為和 【分析】 （1）根據(jù)系數(shù)和得到，再利用二項式定理計算有理項得到答案. （2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，解得答案. 【詳解】 （1），∴（舍）． ，令，∴． ∴所有有理項為，，. （2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，解得． 所以系數(shù)最大的項為和. 【點睛】 本題考查了利用二項式定理求有理項，系數(shù)最大項，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力. 16．已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，求的展開式中. （1）二項式系數(shù)最大的項， （2）系數(shù)的絕對值最大的項. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）根據(jù)的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，即可得到關(guān)于的方程：，求出，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求出二項式系數(shù)最大的項 （2）利用兩邊夾定理，設(shè)出第項為系數(shù)的絕對值最大的項，即可列出關(guān)于的不等式，即可求解 【詳解】 解：依題意可得，即，解得 （1）的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大 （2）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大 所以 故第4項的系數(shù)的絕對值最大， 【點睛】 本題通過賦值法求出，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，同時利用兩邊夾定理進(jìn)行求解，屬于中檔題． 17．在二項式的展開式中， （1）若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；（最后結(jié)果用算式表達(dá)，不用計算出數(shù)值） （2）若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項．（最后結(jié)果用算式表達(dá)，不用計算出數(shù)值） 【答案】(1) 當(dāng)時，最大項系數(shù)為和；當(dāng)時最大項系數(shù)為.(2) . 【分析】 (1)由成等差數(shù)列可求出或，進(jìn)而可求出展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)； (2)由可求出，令可求出，從而可求其系數(shù). 【詳解】 解：展開式中第項為. (1) 則第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)為成等差數(shù)列，則， 即，即，解得或. 當(dāng)時，二項式系數(shù)最大項為，此時系數(shù)為和. 當(dāng)時，二項式系數(shù)最大項為，此時系數(shù)為. (2) 前三項的二項式系數(shù)為，其和為79.即，即 ，整理得，，解得或(舍去). 設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，即，解得，， 因為，所以，即展開式中第9項系數(shù)最大，系數(shù)為. 【點睛】 本題考查了二項式定理，考查了二項式系數(shù)最值問題，考查了系數(shù)的最值問題，考查了等差中項的應(yīng)用.本題的關(guān)鍵是由已知條件求出的值.本題的易錯點是混淆了二項式系數(shù)和系數(shù)的概念. 18．已知的展開式中前三項的系數(shù)為等差數(shù)列. （1）求展開式中含的項； （2）求展開式中系數(shù)最大的項. 【答案】（1）含的項為（2）系數(shù)最大的項為和 【分析】 列出二項展開式的通項公式，利用前三項系數(shù)成等差可求得；(1) 根據(jù)展開式通項公式可知，當(dāng)時為所求項，代入通項公式求得結(jié)果； (2) 設(shè)系數(shù)最大的項是第項，則，求解計算即可得出結(jié)果. 【詳解】 解：（1）由題意可知，的展開式的通項 ， 則，，. 因為前三項的系數(shù)為等差數(shù)列，則有 ， 解得或（舍去），則， 則的展開式的通項 . 令，解得， 則， 所以展開式中含的項為. （2）由（1）得的展開式的通項 ， 設(shè)系數(shù)最大的項是第項， 則 化簡得 解得， 所以或， 所以，， 所以系數(shù)最大的項為和. 【點睛】 本題考查組合數(shù)的運算、求指定項和系數(shù)最大項的問題，考查對于二項式定理的知識的掌握，屬于中檔型. 19．已知n為給定的正整數(shù)，t為給定的實數(shù)，設(shè)(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn. （1）當(dāng)n=8時. ①若t=1，求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值； ②若t=，求數(shù)列{an}中的最大值； （2）若t=，當(dāng)時，求的值. 【答案】（1）①128，②；（2） 【分析】 （1）①設(shè)f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）] 2即可得解； ②，通過不等式組即可得解； （2）處理，利用二項式定理逆用即可得解. 【詳解】 （1）設(shè)f（x）=(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 當(dāng)n=8時. ①若t=1，f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8， a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）]2=128 ②若t=，(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 所以，設(shè)第r項最大，則， 解得，所以 數(shù)列{an}中的最大值 （2）若t=，當(dāng)時，求的值. (＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 當(dāng)時， ， 當(dāng)n=1時也滿足，所以. 【點睛】 此題考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)展開式求解系數(shù)關(guān)系，涉及組合數(shù)計算公式，二項式定理的逆用，綜合性強(qiáng). 20．為抗擊新冠疫情，某企業(yè)組織員工進(jìn)行用款捐物的愛心活動.原則上每人以自愿為基礎(chǔ)，捐款不超過400元.現(xiàn)項目負(fù)責(zé)人統(tǒng)計全體員工數(shù)據(jù)后，下表為隨機(jī)抽取的10名員工.的捐款數(shù)額. 員工編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 捐款數(shù)額 124 86 215 53 132 195 400 90 300 225 （1）若從這10名員工中任意選取3人，記選到的3人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望： （2）以表中選取的10人作為樣本.估計該企業(yè)全體員工的捐款情況，現(xiàn)從企業(yè)員工中依次抽取8人，若抽到k人的捐款數(shù)額小于200元的可能性最大，求k的值. 【答案】（1）分布列見詳解， ；（2）5 【分析】 （1）由題中的隨機(jī)分布表可知，10名員工中，捐款數(shù)額大于200元的有4人，的所有可能取值為0，1，2，3，服從超幾何分布，由此能求出的概率分布列及數(shù)學(xué)期望； （2）從8人中抽取的捐款數(shù)額小于200元的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，假設(shè)最大，可列出不等式組，求出的值. 【詳解】 解：（1）由題知，10名員工中，捐款數(shù)額大于200元的有4人， 則隨機(jī)變量服從超幾何分布，的所有可能取值為0，1，2，3 ， ， ， ， 則的分布列為 X 0 1 2 3 P ； （2）以樣本估計總體的捐款金額小于200的概率， 設(shè)為從8人中抽取的捐款數(shù)額小于200元的人數(shù)，， ， 要使其取得最大值，則需： ， 解得 ， 又，故， 即依次抽取8人，若抽到5人的捐款數(shù)額小于200元的可能性最大. 【點睛】 本題考查了服從超幾何分布的離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，二項分布等基礎(chǔ)知識，考查了組合數(shù)的計算公式、不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)據(jù)分析能力、推理能力及計算能力.屬于中檔題. 21．已知在的展開式中，第6項的系數(shù)與第4項的系數(shù)之比是. （1）求展開式中的系數(shù)； （2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項； （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，求出展開式中的第6項的系數(shù)與第4項的系數(shù)，列出方程求出的值，代入二項展開式的通項公式即可求解； （2）利用兩邊夾定理，設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，列出關(guān)于的不等式即可求解； （3）利用二項式定理求解即可. 【詳解】 （1）由，得， 通項， 令，解得， 展開式中的系數(shù)為. （2）設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大， 則，所以， 系數(shù)絕對值最大的項為. （3）原式. 【點睛】 本題考查二項式定理的應(yīng)用、二項展開式的通項公式和系數(shù)最大項的求解；考查運算求解能力和邏輯推理能力；熟練掌握二項展開式的通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型. 22．已知的展開式的各項二項式系數(shù)之和為512. （1）求展開式中所有的有理項； （2）求展開式中系數(shù)最大的項. 【答案】（1），，，（或）；（2） 【分析】 （1）根據(jù)二項式定理求出通項，處理指數(shù)冪的指數(shù)即可得解； （2）設(shè)第項的系數(shù)最大，則，解不等式組即可得解. 【詳解】 （1）由題意可得，則 故通項， 由題意可得為整數(shù)，則是3的倍數(shù)， 因為，所以的值為0或3或6或9， 則有理項為，，，（或）. （2）設(shè)第項的系數(shù)最大，則 因為， 所以， 則解得， 因為為整數(shù)，所以 故展開式中系數(shù)最大的項 【點睛】 此題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及求指定項和求解系數(shù)最大的項，關(guān)鍵在于熟練掌握通項，根據(jù)通項進(jìn)行計算. 23．己知的展開式前三項中x的系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列. （Ⅰ）求n的值及展開式中的常數(shù)項； （Ⅱ）求展開式系數(shù)最大的項. 【答案】（Ⅰ），常數(shù)項為第三項為7（Ⅱ）系數(shù)最大的項為第三項為7 【分析】 （Ⅰ）先求寫出二項式展開式的通項，求出前三項系數(shù)的絕對值，即可求出，從而求出常數(shù)項； （Ⅱ）先求所有項的系數(shù)加上絕對值，轉(zhuǎn)化為正系數(shù)，假設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大， 則有，求得的值，即可可得系數(shù)最大的項． 【詳解】 解：（Ⅰ）因為二項式展開式的通項為 所以展開式前三項的系數(shù)的絕對值分別為，，. 由題設(shè)知：，解得：或（舍去）. 當(dāng)時， 當(dāng)時，即常數(shù)項為第三項為7 （Ⅱ）先求所有項的系數(shù)加上絕對值，轉(zhuǎn)化為正系數(shù)，假設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大， 則有 由， ，， 同理可得， 系數(shù)絕對值最大項為和 所以系數(shù)最大的項為第三項為7 【點睛】 本題主要考查等差數(shù)列的定義，二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題． 24．已知展開式的二項式系數(shù)和比展開式的偶數(shù)項的二項式系數(shù)和大48，求的展開式中： （1）二項式系數(shù)最大的項； （2）系數(shù)的絕對值最大的項. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分別求出展開式的二項式系數(shù)和，展開式的偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，利用兩者差列方程，解方程求出的值，二項式系數(shù)最大項為第，即可求解； （2）設(shè)第項系數(shù)絕對值最大，化簡二項展開式的通項公式，利用系數(shù)絕對值最大項比前后兩項的系數(shù)絕對值都大列不等式組，解不等式組求得的取值范圍，由此求得的值 【詳解】 （1）依題意， 的展開式中第6項二項式系數(shù)最大， 即； （2）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大， 則， ，得， 即，， 所以系數(shù)的絕對值最大的是第8項， 即. 【點睛】 本題考查二項式系數(shù)和、二項式系數(shù)最大項、系數(shù)絕對值最大項，考查計算求解能力，屬于中檔題. 25．已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的系數(shù)和大992，求的展開式中： （1）二項式系數(shù)最大的項； （2）系數(shù)的絕對值最大的項. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由題意對賦值，令，則有，解方程求出的值，然后根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求出二項式系數(shù)最大的項； （2）利用兩邊夾定理，設(shè)第項為系數(shù)的絕對值最大的項，則有 解不等式組可得結(jié)果. 【詳解】 ，解得，， （1）二項式系數(shù)最大的項為第51項，； （2），其系數(shù)的絕對值為，解不等式組，得，，， 系數(shù)的絕對值最大的項為第34項，. 【點睛】 此題考查二項式定理的有關(guān)知識，通過賦值，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解，屬于基礎(chǔ)題. 26．（1）已知，求的值. （2）已知的展開式中，各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.求展開式中系數(shù)最大的項. 【答案】（1）-13；（2） 【分析】 （1）可令，，兩式相減，計算即可得到所求和； （2）由題意可得，求得，設(shè)第項的系數(shù)最大，則有，解得．再由，可得的值． 【詳解】 解：（1）， 令可得， 可令可得， 兩式相減可得，； （2）令可得各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)和為， 由題意可得，即， 解得 （舍去），解得． 設(shè)第項的系數(shù)最大，則有，解得． 再由，可得． 故系數(shù)最大的項為． 【點睛】 本題考查二項式定理的運用：求指定項的系數(shù)和，注意運用賦值法，同時考查二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題． 27．已知二項式的展開式中第五項為常數(shù)項. （1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項； （2）求展開式中有理項的系數(shù)和. 【答案】（1）；（2）121 【分析】 （1），為常數(shù)項，所以，可求出的值，進(jìn)而求得二項式系數(shù)最大的項； （2）由題意為有理項，直接計算即可. 【詳解】 （1），∵為常數(shù)項， ∴，∴ 二項式系數(shù)最大的項為第3項和第4項.∴， . （2）由題意為有理項， 有理項系數(shù)和為. 【點睛】 本題考查了二項式的展開式，需熟記二項式展開式的通項，屬于基礎(chǔ)題. 28．已知二項式． （1）若它的二項式系數(shù)之和為512．求展開式中系數(shù)最大的項； （2）若，求二項式的值被7除的余數(shù)． 【答案】（1）；（2）2. 【分析】 （1）由題意利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再根據(jù)通項公式可得展開式中第項的系數(shù)，從而求得展開式中系數(shù)最大的項． （2）二項式即，按照二項式定理展開，問題化為被7除的余數(shù)．再根據(jù)，按照二項式定理展開，可得它被7除的余數(shù)． 【詳解】 （1）二項式的二項式系數(shù)之和為512，，． 由，解得：， 展開式中系數(shù)最大的項為第8項，為． （2）若，， 問題轉(zhuǎn)化為被7除的余數(shù)， ，即余數(shù)為2． 【點睛】 本題考查二項式定理的應(yīng)用、整除的余數(shù)問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意連續(xù)兩次使用二項展開式求余數(shù). 29．已知數(shù)列（）的通項公式為（）. （1）分別求的二項展開式中的二項式系數(shù)之和與系數(shù)之和； （2）求的二項展開式中的系數(shù)最大的項； （3）記（），求集合的元素個數(shù)（寫出具體的表達(dá)式）. 【答案】（1），0；（2），；（3）. 【分析】 （1）根據(jù)二項展開式直接得二項式系數(shù)之和為，利用賦值法求二項展開式中的系數(shù)之和； （2）根據(jù)二項展開式通項公式得系數(shù)，再列方程組解得系數(shù)最大的項； （3）先根據(jù)二項式定理將展開成整數(shù)與小數(shù)，再根據(jù)奇偶性分類討論元素個數(shù)，最后根據(jù)符號數(shù)列合并通項. 【詳解】 （1）二項展開式中的二項式系數(shù)之和為， 令得二項展開式中的系數(shù)之和為； （2） 設(shè)二項展開式中的系數(shù)最大的項數(shù)為 則 因此二項展開式中的系數(shù)最大的項為， （3） 所以當(dāng)為偶數(shù)時，集合的元素個數(shù)為 當(dāng)為奇數(shù)時，集合的元素個數(shù)為 綜上，元素個數(shù)為 【點睛】 本題考查二項式系數(shù)之和、二項式展開式各項系數(shù)之和、二項式展開式中系數(shù)最大項以及利用二項式展開式計數(shù)，考查綜合分析求解與應(yīng)用能力，屬較難題. 30．已知展開式的所有二項式系數(shù)和為． （1）求展開式的所有有理項的系數(shù)之和； （2）求展開式的系數(shù)最大項． 【答案】（1）；（2）和. 【分析】 由二項式系數(shù)和為求得，進(jìn)而得出二項式展開式的通項為. （1）由通項可知當(dāng)取、、時，對應(yīng)項為有理項，將這些項的系數(shù)相加即可得出結(jié)果； （2）令，設(shè)展開式中項的最大系數(shù)為，由求出自然數(shù)的值，由此可得出結(jié)果. 【詳解】 所有二項式系數(shù)和為，即，得， 該二項式展開式的通項為． （1）由題可知，展開式的有理項為第項，第項，第項， 則，，， 因此，所有有理項的系數(shù)和為； （2）令，設(shè)展開式中項的最大系數(shù)為， 則，即，得，解得， ，或. 因此，展開式的系數(shù)最大項為第項和第項. 【點睛】 本題考查利用二項式系數(shù)和求參數(shù)，二項展開式中有理項系數(shù)問題和系數(shù)最大項的求解，考查二項式定理的應(yīng)用，屬于中等題. 31．函數(shù)角度看，可以看成是以為自變量的函數(shù)，其定義域是. （1）證明： （2）試?yán)?的結(jié)論來證明：當(dāng)為偶數(shù)時，的展開式最中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時的展開式最中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大. 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析. 【分析】 （1）先根據(jù)組合數(shù)公式求出、，計算的值，從而證得結(jié)論； （2）設(shè)，由（1）可得，令，可得 （等號不成立），故有當(dāng)時，成立； 當(dāng)時，成立.故最大， 當(dāng)為奇數(shù)時，同理可證，從而證得結(jié)論. 【詳解】 （1）因為，又因為， 所以. 則成立. （2）設(shè)，因為，， 所以.令，所以， 則（等號不成立），所以時，成立， 反之，當(dāng)時，成立. 所以最大，即展開式最中間一項的二項式系數(shù)最大； 當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，其最中間有兩項且， 由（1）知，顯然， ，令，可得， ，當(dāng)時，，且這兩項為二項展開式最中間兩項的系數(shù)， 所以時，成立； 由對稱性可知：當(dāng)時，成立， 又，故當(dāng)為奇數(shù)時，的展開式最中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大. 【點睛】 本題主要考查組合及組合數(shù)公式，二項式定理的應(yīng)用以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，令，求出的范圍是解本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題. 32．在二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列. （1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項； （2）求展開式中所有有理項的系數(shù)之和. 【答案】（1）（2）- 【分析】 （1）由二項式定理展開式中的通項公式求出前三項，由前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列列方程即可求得，問題得解． （2）由，對賦值，使得的指數(shù)為正數(shù)即可求得所有理項，問題得解． 【詳解】 （1）由二項式定理得展開式中第項為 ， 所以前三項的系數(shù)的絕對值分別為1，，， 由題意可得，整理得， 解得或（舍去）， 則展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項， （2）因為， 若該項為有理項，則是整數(shù)， 又因為， 所以或或， 所以所有有理項的系數(shù)之和為 【點睛】 本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，考查分析能力，轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 33．已知(1+x2)2n的展開式的系數(shù)和比(3x-1)n的展開式的系數(shù)和大992,求的展開式中: (1)二項式系數(shù)最大的項; (2)系數(shù)的絕對值最大的項. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 先令分別求得兩個二項式展開式的系數(shù)和，利用兩者的差為列方程，解方程求得的值.所求二項式為.（1）由于，故二項式系數(shù)最大的為第六項，根據(jù)二項式展開式的通項公式求得這個項.（2）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，化簡二項式展開式的通項公式，利用系數(shù)絕對值最大項比前后兩項的系數(shù)的絕對值都大列不等式組，解不等式組求得的取值范圍，由此求得的值. 【詳解】 由題意得22n-2n=992,解得n=5. (1)的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大,即T6=(2x)5=-8 064. (2)設(shè)第k+1項的系數(shù)的絕對值最大, 則Tk+1=(2x)10-k=(-1)k210-kx10-2k, 得 即 k, ∵k∈N,∴k=3, 故系數(shù)的絕對值最大的是第4項T4=(-1)327x4=-15 360x4. 【點睛】 本小題主要考查二項式展開式的系數(shù)，考查二項式展開式中二項式系數(shù)的最大值，考查系數(shù)的絕對值最大的項的求法，屬于中檔題. 34．已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式系數(shù)和大992． 求的展開式中；（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)的絕對值最大的項． 【答案】（1）-8064（2） 【分析】 （1）先根據(jù)二項式系數(shù)和列方程求，再根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)確定二項式系數(shù)最大的項，最后根據(jù)二項展開式通項公式求結(jié)果，（2）先根據(jù)二項展開式通項公式得各項系數(shù)，根據(jù)條件列方程組，解得系數(shù)的絕對值最大的項的項數(shù)，再代入二項展開式通項公式得結(jié)果 【詳解】 解：由題意 （1）的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大， 即 （2）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大， 因為 ，， 【點睛】 本題考查二項式系數(shù)和以及二項展開式系數(shù)，考查基本分析求解能力，屬中檔題. 35．已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列． （Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（1）8（2）， 【詳解】 解：（Ⅰ）由題設(shè)，得， 即，解得n＝8，n＝1（舍去）． （Ⅱ）設(shè)第r＋1的系數(shù)最大，則 即解得r＝2或r＝3． 所以系數(shù)最大的項為，．