一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí)：第二章 第十節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用 Word版含解析

一、填空題 1．一批設(shè)備價(jià)值1萬元，由于使用磨損，每年比上一年價(jià)值降低50%，則3年后這批設(shè)備的價(jià)值為________萬元(用數(shù)字作答)． 解析：1(1－50%)3＝0.125. 答案：0.125 2．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為________萬元． 解析：依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛， ∴總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)． ∴當(dāng)x＝10時(shí)，Smax＝45.6(萬元)． 答案：45.6 3．由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，則現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過15年的價(jià)格應(yīng)降為________． 解析：設(shè)經(jīng)過3個(gè)5年，產(chǎn)品價(jià)格為y元，則y＝8 100(1－)3＝8 100＝2 400(元)． 答案：2 400元 4．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元，又知總收入k是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，k(Q)＝40Q－Q2，則總利潤L(Q)的最大值是________萬元． 解析：總利潤L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000 ＝－(Q－300)2＋2 500. 故當(dāng)Q＝300時(shí)，總利潤最大，為2 500萬元． 答案：2 500 5．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價(jià)付費(fèi))；超過3 km但不超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km. 解析：由y＝ 可得x＝9. 答案：9 6．中國政府正式加入世貿(mào)組織后，從2000年開始，汽車進(jìn)口關(guān)稅將大幅度下降．若進(jìn)口一輛汽車2001年售價(jià)為30萬元，五年后(2006年)售價(jià)為y萬元，每年下調(diào)率平均為x%，那么y和x的函數(shù)關(guān)系式為________． 解析：每年價(jià)格為上一年的(1－x%)倍，所以五年后的價(jià)格為y＝30(1－x%)5. 答案：y＝30(1－x%)5 7．某商場(chǎng)宣傳在節(jié)假日對(duì)顧客購物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定： ①如一次購物不超過200元，不予以折扣； ②如一次購物超過200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠； ③如一次購物超過500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過500元的給予八五折優(yōu)惠． 某人兩次去購物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應(yīng)付款________元． 解析：由題意付款432元，實(shí)際標(biāo)價(jià)為432＝480(元)，如果一次購買標(biāo)價(jià)176＋480＝656(元)的商品應(yīng)付款5000.9＋1560.85＝582.6(元)． 答案：582.6 8．在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y噸與單價(jià)x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如果購買1 000噸，每噸為800元，如果購買2 000噸，每噸為700元，一客戶購買400噸，單價(jià)應(yīng)該是________元． 解析：設(shè)y＝ax＋b，則， 解得， ∴y＝－10x＋9 000，由400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)． 答案：860 9．一位設(shè)計(jì)師在邊長為3的正方形ABCD中設(shè)計(jì)圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，以b(0<b≤)為半徑畫圓，由正方形內(nèi)的圓弧與正方形邊上線段(圓弧端點(diǎn)在正方形邊上的連線)構(gòu)成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實(shí)線部分總長度的最小值為________． 解析：由題意知實(shí)線部分的總長度為l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l關(guān)于b的一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)2π－8<0，故l關(guān)于b為單調(diào)減函數(shù)，因此，當(dāng)b取最大值時(shí)，l取得最小值，結(jié)合圖形知，b的最大值為，代入上式得lmin＝(2π－8)＋12＝3π. 答案：3π 二、解答題 10．某開發(fā)商用9 000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2 000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4 000元，從第二層開始，每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元． (1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費(fèi)用為y萬元，求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(總開發(fā)費(fèi)用＝總建筑費(fèi)用＋購地費(fèi)用) (2)要使整幢寫字樓每平方米開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？ 解析：(1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為 4 0002 000＝8 000 000(元)＝800(萬元)， 從第二層開始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多 1002 000＝200 000(元)＝20(萬元)， 所以寫字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，所以 y＝f(x)＝800x＋20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)． (2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費(fèi)用為 g(x)＝10 000＝ ＝50(x＋＋79)≥50(2＋79)＝6 950， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時(shí)，等號(hào)成立． 所以要使整幢寫字樓每平方米開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為30層． 11．某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x(x∈N*)之間的關(guān)系為P＝，每生產(chǎn)一件正品盈利4 000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2 000元． (1)將日利潤y(元)表示成產(chǎn)量x(件)的函數(shù)； (2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤最大？并求出日利潤的最大值． 解析：(1)∵y＝4 000x－2 000(1－)x＝3 600x－x3， ∴所求的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x3＋3 600x(x∈N*，1≤x≤40)． (2)易得y′＝3 600－4x2，令y′＝0，解得x＝30. ∴當(dāng)1≤x<30時(shí)，y′>0；當(dāng)30<x≤40時(shí)，y′<0. ∴ 函數(shù)y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(30,40]上是單調(diào)遞減函數(shù)． 當(dāng)x＝30時(shí)，函數(shù)y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值為－303＋3 60030＝72 000(元)． ∴該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí)，日利潤最大，其最大值為72 000元． 12．將52名志愿者分成A，B兩組參加義務(wù)植樹活動(dòng)，A組種植150捆白楊樹苗，B組種植200捆沙棘樹苗，假定A，B兩組同時(shí)開始種植． (1)根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì)，每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時(shí) h，種植一捆沙棘樹苗用時(shí) h．應(yīng)如何分配A，B兩組的人數(shù)，使植樹活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短？ (2)在按(1)分配的人數(shù)種植1 h后發(fā)現(xiàn)，每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時(shí)仍為 h，而每名志愿者種植一捆沙棘樹苗實(shí)際用時(shí) h，于是從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼續(xù)種植，求植樹活動(dòng)所持續(xù)的時(shí)間． 解析：(1)設(shè)A組人數(shù)為x，且0<x<52，x∈N*，則A組植樹活動(dòng)所需時(shí)間為f(x)＝＝，B組植樹活動(dòng)所需時(shí)間為 g(x)＝＝. 令f(x)＝g(x)，即＝， 解得x＝. 所以A，B兩組同時(shí)開始的植樹活動(dòng)所需時(shí)間為 F(x)＝ 而F(19)＝，F(xiàn)(20)＝， 故F(19)>F(20)． 所以當(dāng)A，B兩組人數(shù)分別為20,32時(shí)，植樹活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短． (2)A組所需時(shí)間為 1＋＝3， B組所需時(shí)間為 1＋＝3， 所以植樹活動(dòng)所持續(xù)的時(shí)間為3 h.