浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第3部分 專題一 第1講 送分題——準(zhǔn)確解一分不丟

高考試卷雖然是選拔性的試卷，但是試卷中仍然有相當(dāng)部分的送分題．所謂送分題是指知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)，數(shù)據(jù)計(jì)算量小，解題方法基本的試題．這部分試題往往因?yàn)楹?jiǎn)單，導(dǎo)致許多考生思想重視不夠，從而失分，特別是一些數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的考生更是如此．筆者以多年送考的經(jīng)驗(yàn)告訴大家，只要處理好以下幾個(gè)方面的問題，即可達(dá)到“送分題，一分不丟”的效果，使考生能在高考考場(chǎng)上取得開門紅，增強(qiáng)考試的信心． 問題一 使用概念要明確 [例1]　(2013大連模擬)若復(fù)數(shù)z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i為純虛數(shù)，則a的值是(　　) A．－3　　　　　　　　 　B．－3或1 C．3或－1 D．1 [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，忽視虛部不為零的限制條件． [正解]　因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i為純虛數(shù)，所以解得a＝1. [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題時(shí)，一定要過好審題關(guān)，仔細(xì)辨析試題中的待求問題；在準(zhǔn)確用好概念的前提下對(duì)試題進(jìn)行解答，這樣才能避免應(yīng)用概念出錯(cuò)．如本題，若能搞清復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概念，只需令復(fù)數(shù)z的實(shí)部為零，虛部不為零，從而把求參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題，即可避開概念的陷阱． [例2]　已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)充要條件的概念把握不清，判斷錯(cuò)誤，并且不會(huì)將充要條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化． [正解]　∵p：－2≤x－3≤2,1≤x≤5. ∴綈p：x<1或x>5. 易得q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x<m－1或x>m＋1. 又∵綈p是綈q的充分不必要條件， ∴∴2≤m≤4. [答案]　[2,4] [反思領(lǐng)悟]　對(duì)充要條件的判定需注意：(1)要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí)，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明． (2)要注意轉(zhuǎn)化：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的必要不充分條件．同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件；如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件. 問題二 作圖用圖要準(zhǔn)確 [例3]　函數(shù)f(x)＝的圖像和函數(shù)g(x)＝log2 x的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [嘗試解答] [錯(cuò)因]　不能準(zhǔn)確作出兩函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的圖像以及兩函數(shù)圖像的相對(duì)位置關(guān)系，只是想當(dāng)然、沒有依據(jù)地亂作圖像，很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤． [正解]　分別在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖像．如圖所示，觀察易知兩函數(shù)圖像有且僅有3個(gè)交點(diǎn)． [答案]　B [反思領(lǐng)悟]　在判斷函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)或利用函數(shù)圖像判斷方程解的個(gè)數(shù)時(shí)，一定要注意函數(shù)圖像的相對(duì)位置關(guān)系，可以取特殊值驗(yàn)證一下，如取x＝時(shí)，4x－4<log2x，即此時(shí)對(duì)函數(shù)圖像上的點(diǎn)應(yīng)在相應(yīng)直線的上側(cè)，因此我們可以通過取特殊值的方法相對(duì)準(zhǔn)確地確定兩函數(shù)圖像的相對(duì)位置關(guān)系． [例4]　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－2,1] D．(－2,1) [嘗試解答] [錯(cuò)因]　不能根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及零點(diǎn)所在區(qū)間確定a，b所滿足的條件，導(dǎo)致找不到解決問題的突破口，或者忽視a>0的限制條件，導(dǎo)致錯(cuò)解． [正解]　因?yàn)閍>0，所以二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，又因?yàn)閒(0)＝－1，所以要使函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有即如圖所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)Q(－1,0)連線的斜率．而直線QA的斜率k＝＝1，直線4a＋2b－1＝0的斜率為－2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為(－2,1)． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　本題是一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)取值范圍與線性規(guī)劃的綜合問題，先結(jié)合函數(shù)圖像確定函數(shù)在指定區(qū)間存在零點(diǎn)的條件，再確定不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，根據(jù)圖形判斷其取值范圍．在作圖時(shí)要注意不等式組中各個(gè)不等式是否帶有等號(hào)，否則很容易忽視邊界值而導(dǎo)致錯(cuò)解. 問題三 思考問題要嚴(yán)謹(jǐn) [例5]　(2013福州模擬)已知數(shù)列{an}中an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] [嘗試解答] [錯(cuò)因]　認(rèn)為an是關(guān)于n的二次函數(shù)，定義域?yàn)檎麛?shù)集，又{an}遞增，則必有≤1，即k≤2，思維不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． [正解]　an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{an}單調(diào)遞增，故應(yīng)有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分離變量得k<2n＋1，故只需k<3即可． [答案]　B [反思領(lǐng)悟]　函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別，即數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)若單調(diào)則數(shù)列一定單調(diào)，反之若數(shù)列單調(diào)，其所在函數(shù)不一定單調(diào)，關(guān)鍵原因在于數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)．故對(duì)于數(shù)列的單調(diào)性的判斷一般要通過比較an＋1與an的大小來判斷：若an＋1>an，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若an＋1<an，則數(shù)列為遞減數(shù)列． [例6]　如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，則x＝________，y＝________. [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題想利用向量的基本運(yùn)算，但由于計(jì)算費(fèi)時(shí)，時(shí)間緊迫，所以思路出現(xiàn)阻礙，致使問題無法求解或求解失誤． [正解]　以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，且取單位長(zhǎng)度為AB，則問題轉(zhuǎn)化為求D點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)．易知BC＝，所以DE＝，所以BD＝DEsin 60＝.易知直線BD的傾斜角是45，所以D點(diǎn)縱坐標(biāo)y＝BDsin 45＝，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝1＋BDcos 45＝1＋，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為. [答案]　1＋　 [反思領(lǐng)悟]　在試題中不含有向量的坐標(biāo)時(shí)，要善于根據(jù)問題的實(shí)際情況，在不改變問題本質(zhì)的情況下建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把向量問題代數(shù)化，可以降低問題的難度. 問題四 特殊情況要謹(jǐn)記 [例7]　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，且l1∥l2，則a的值為(　　) A．0 B．－ C．6 D．0或－ [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易出現(xiàn)忽略直線斜率不存在的特殊情況致誤． [正解]　法一：當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時(shí)，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當(dāng)直線斜率存在時(shí)， l1∥l2?－＝且≠－?a＝－. 故使l1∥l2的a的值為－或0. 法二：l1∥l2?3(－a)－(3a－1)2a＝0， 得a＝0或a＝－. 故使l1∥l2的a的值為0或－. [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　在給定直線的一般方程，利用直線的位置關(guān)系，求參數(shù)的值時(shí)，一定要注意直線斜率存在性的討論，不能想當(dāng)然地以斜率存在進(jìn)行求解，致使答案錯(cuò)誤．為避免討論，此類題可采用法二解決． [例8]　(2013鄭州模擬)過點(diǎn)(0,3)作直線l與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的條數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易只考慮斜率k存在的情況，而忽視斜率k不存在以及直線l平行于拋物線對(duì)稱軸時(shí)的兩種情形． [正解]　當(dāng)斜率k存在且k≠0時(shí)，由題中條件知，直線l的方程為y＝x＋3； 當(dāng)k＝0時(shí)，直線l的方程為y＝3，此時(shí)l平行于對(duì)稱軸，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)k不存在時(shí)，直線l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)l的方程為x＝0. 綜上，過點(diǎn)(0,3)且與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為y＝x＋3，y＝3，x＝0，共3條． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　解答直線與拋物線位置關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)，注意直線與拋物線的兩種特殊的位置關(guān)系：直線和拋物線的對(duì)稱軸垂直與直線和拋物線的對(duì)稱軸平行． [例9]　數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{anan＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和S2n＝________. [嘗試解答] [錯(cuò)因]　對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q＝1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤．再者沒有從定義出發(fā)研究條件中的數(shù)列{anan＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，得不到數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，從而找不到解題的突破口，使思維受阻． [正解]　由數(shù)列{anan＋1}是公比為q的等比數(shù)列，得＝q?＝q，這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1＝1，a2＝2， 所以，當(dāng)q≠1時(shí)，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝＋＝； 當(dāng)q＝1時(shí)，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2) ＝3n. [答案]　 [反思領(lǐng)悟]　(1)本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中＝q是解題的關(guān)鍵； (2)不要認(rèn)為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察、比較就能得出正確結(jié)論； (3)對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意公比為1這種特殊情況，高考往往就是在此設(shè)計(jì)陷阱，使考生考慮的問題不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 問題五 問題分類要全面 [例10]　已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項(xiàng)和S3的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易忽視對(duì)公比大于0和小于0的討論． [正解]　因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中a2＝1， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋. 所以當(dāng)公比q>0時(shí)， S3＝1＋q＋≥1＋2＝3(當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時(shí)，等號(hào)成立)； 當(dāng)公比q<0時(shí)， S3＝1－≤1－2＝－1(當(dāng)且僅當(dāng)q＝－1時(shí)，等號(hào)成立)． 所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　在利用基本不等式解決函數(shù)的值域問題時(shí)，要注意其使用條件和等號(hào)成立的條件，即所謂“一正、二定、三相等”．例如，求函數(shù)y＝x＋的值域和＋的取值范圍問題時(shí)，要注意分類討論． [例11]　(2013濱州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝3時(shí)，求f(x)的極值； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題的易錯(cuò)點(diǎn)是在討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性時(shí)，因缺乏分類討論意識(shí)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；或者有分類討論意識(shí)，但分類標(biāo)準(zhǔn)模糊導(dǎo)致分類不全致誤． [正解]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． 當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝1＋－＝＝，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2. f′(x)與f(x)隨x的變化如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝－1； 在x＝2處取得極小值，f(2)＝1－3ln 2. (2)f′(x)＝1＋－＝. 令g(x)＝x2－ax＋2，其判別式Δ＝a2－8， ①當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a<－2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ③當(dāng)a>2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝，且都大于0， f′(x)與f(x)隨x的變化如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 故f(x)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． [反思領(lǐng)悟]　判斷含參數(shù)的單調(diào)性問題應(yīng)注意：先樹立分類討論的思想意識(shí)，做題時(shí)應(yīng)先對(duì)問題作深入的研究，明確其分類的標(biāo)準(zhǔn)，如本題中要討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，應(yīng)討論f′(x)的符號(hào)，即討論x2－ax＋2的符號(hào)，從而應(yīng)分Δ≤0與Δ>0兩種情況討論；由于考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，應(yīng)討論f′(x)＝0的兩根與定義域的關(guān)系，故再次分a<－2和a>2兩種情況．一般地，與y＝ax2＋bx＋c有關(guān)的討論有三種依據(jù)：a取值，Δ取值，根的大小. 問題六 等價(jià)轉(zhuǎn)化要嚴(yán)謹(jǐn) [例12]　曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為________． [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易直接聯(lián)立y＝與y＝x＋b，整理為2x2＋2bx＋b2－1＝0，然后錯(cuò)誤地認(rèn)為曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點(diǎn)等價(jià)于方程2x2＋2bx＋b2－1＝0無解，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． [正解]　如圖，根據(jù)圖像可知：當(dāng)b>或b<－1時(shí)，方程組無解，即曲線y＝與直線y＝x＋b沒有交點(diǎn)．故b的取值范圍為(－∞，－1)∪(，＋∞)． [答案]　(－∞，－1)∪(，＋∞) [反思領(lǐng)悟]　在研究直線與圓或直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，通常聯(lián)立與曲線的方程，通過方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．但是在解決此類問題時(shí)，一定要注意圓或圓錐曲線是否為完整的圓或圓錐曲線，否則應(yīng)畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合法解決，如本例中曲線y＝表示的圖形為半圓而不是整個(gè)圓，故應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合的方法求解． [例13]　若sin x＋sin y＝，則sin y－cos2x的最大值為________． [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易將sin y－cos2x轉(zhuǎn)化為－cos2x＝sin2x－sin x－，誤認(rèn)為sin x∈[－1，1]，致使問題轉(zhuǎn)化不等價(jià)而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． [正解]　由已知條件有sin y＝－sin x， 且sin y＝∈[－1,1]，結(jié)合sin x∈[－1,1]，得－≤sin x≤1， 而sin y－cos2x＝－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－， 令t＝sin x， 則原式＝t2－t－＝2－， 因?yàn)閷?duì)稱軸為t＝， 故當(dāng)t＝－，即sin x＝－時(shí)，原式取得最大值. [答案]　 [反思領(lǐng)悟]　在利用換元法解決問題時(shí)，要注意換元后自變量取值范圍的變化，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)多個(gè)變?cè)獣r(shí)，要注意變?cè)g的相互約束條件，如本例中易忽視等式sin x＋sin y＝中兩個(gè)變量的相互制約，即由于－1≤sin y≤1，所以sin x必需滿足－1≤－sin x≤1這個(gè)隱含的約束條件. 問題七 推理論證要嚴(yán)謹(jǐn) [例14]　(2013南京師大附中模擬)如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF. (1)求證：BF∥平面ACE； (2)求證：BF⊥BD. [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題易失分的原因有以下兩點(diǎn)： (1)推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)，在使用線面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理時(shí)忽視定理的使用條件，如證明BF∥平面ACE時(shí)，易忽視指明BF?平面ACE； (2)線面位置關(guān)系的證明思路出錯(cuò)，缺乏轉(zhuǎn)化意識(shí)，不知道要證明線線垂直可以通過線面垂直達(dá)到目的． [正解]　(1)設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接EO. 在正方形ABCD中，BO＝AB，又因?yàn)锳B＝EF， ∴BO＝EF. 又∵EF∥BD， ∴四邊形EFBO是平行四邊形，∴BF∥EO， 又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE， ∴BF∥平面ACE. (2)在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC， ∴BD⊥平面ACE. ∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO. ∵EO∥BF，∴BF⊥BD. [反思領(lǐng)悟]　證明空間線面位置關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，如本題第(2)問是證明線線垂直，但分析問題時(shí)不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上(或是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上)，通過證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的．解決這類問題時(shí)要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要找足條件，書寫規(guī)范等． [例15]　已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函數(shù)y＝ax(a>1)的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像，可知線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論>a成立．運(yùn)用類比思想，可知若點(diǎn)C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖像上的不同兩點(diǎn)，則類似地有____________成立． [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題通過類比推理，易得“>sin”的錯(cuò)誤結(jié)論，其錯(cuò)誤的原因是類比推理不嚴(yán)謹(jǐn)，未真正讀懂題意，未能把握兩曲線之間相似的性質(zhì)，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論． [正解]　運(yùn)用類比推理與數(shù)形結(jié)合，可知y＝sin x(x∈(0，π))的圖像是上凸，因此線段CD的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即<sin成立． [答案]　<sin [反思領(lǐng)悟]　類比推理是從特殊到特殊的推理，求解有關(guān)類比推理題時(shí)，應(yīng)找出兩類事物之間的相似性和一致性，用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題．類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象，否則就失去了類比的意義. 問題八 運(yùn)算過程要合理 [例16]　在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝________； (2)若角A＝，則b＝________. [嘗試解答] [錯(cuò)因]　在用正弦定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)丟解或多解的錯(cuò)誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因?yàn)闆]有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)了丟解的錯(cuò)誤． [正解]　(1)由正弦定理＝，得sin A＝＝，又a<c，∴A<C，∴A＝. (2)由＝，得sin C＝＝，得C＝或. 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，可得b＝2； 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，此時(shí)得b＝1. [答案]　(1)　(2)2或1 [反思領(lǐng)悟]　已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，注意要對(duì)解的情況進(jìn)行討論，討論的根據(jù)：一是所求的正弦值是否大于1，當(dāng)正弦值小于或等于1時(shí)，還應(yīng)判斷各角之和與180的關(guān)系；二是兩邊的大小關(guān)系． [例17]　雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________． [嘗試解答] [錯(cuò)因]　本題容易因忽視特殊情況而出錯(cuò)．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處，∠F1PF2＝π，所以0<∠F1PF2≤π.如果忽視特殊情況，就會(huì)出現(xiàn)0<∠F1PF2<π的錯(cuò)誤． [正解]　如圖所示，設(shè)|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時(shí)，θ＝π. 由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝ ＝ ＝. 又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]． [答案]　(1,3] [反思領(lǐng)悟]　本題在求解中稍不注意，就會(huì)出現(xiàn)漏掉特殊情況的錯(cuò)誤．在平時(shí)的訓(xùn)練中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)解題的監(jiān)控，注意多研究問題的各種情況，以形成全面思考，周密答題的良好習(xí)慣．這對(duì)考生來說，是非常重要的．