【贏在高考】2013屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)階段檢測評估(六)配套練習(xí)

階段檢測評估六 （時間：120分鐘,滿分:150分） 第I卷 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 ） 1. （2012福建福州模擬）"因為指數(shù)函數(shù) y = ax是增函數(shù)（大前提），而y = （；）x是指數(shù)函數(shù)（小前提），所以 3 y=（3）x是增函數(shù)（結(jié)論）"，上面推理的錯誤是（） A.大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯 B.小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯 C.推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯 D.大前提和小前提錯都導(dǎo)致結(jié)論錯 【答案】A 【解析】 y = ax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯，故選A. 2. （2011福建高考，理1） i是虛數(shù)單位，若集合S={-1,0,1},則（） A.i S B.i 2 三 S C.i 3 S D.彳 S 【答案】B 【解析】??? i 2=—1,而集合 S={-1,0,1}, ,-.i 2€ S. 3. 一堆除顏色外其他特征都相同的紅白兩種顏色的球若干個 ，已知紅球的個數(shù)比白球多，但比白 球的2倍少,若把每一個白球都記作數(shù)值 2,每一個紅球都記作數(shù)值 3,則所有球的數(shù)值的總和等于 60.現(xiàn)從中任取一個球，則取到紅球的概率等于 （. ） A. 1 B.1 C.14 D.16 【答案】C 【解析】 設(shè)白球x個，紅土y y個，則2x+3y=60. x<y<2x, 3x<3y<6x. 5x<2x+3y<8x, 口. 5x :: 60 60 即《 60 <x <12 . 8x 60. 8 又 x^ N*..\x=8,9,10,11. 又y匚N*易知，x=9時，y=14,適合. ，取到紅球的概率為j4— =14 14 9 23 4. 復(fù)數(shù)z =——在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（） 1 i B.第二象限 A.第一象限 C.第三象限 【答案】A D.第四象限 【解析】 i(1 -i) i -i2 (1 i)(1 -i) - 2 = 1±i =l+1i ,對應(yīng)的點位于第一象限 2 2 2 5.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=57,則判斷框內(nèi)為（） (W) (ME) A. k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 【答案】A 【解析】 由程序框圖知： 輸入 k=1 時，變量 k =2.S=2Ml+2=4. k=3 時 8=2m4+3=11. k=4 時 8=2父11 +4 =26. k=5 時.S =2^26 +5 =57 .輸出 S. 6.某單位共有老、中、青職工 430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的 2倍. 為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進行調(diào)查 ，在抽取的樣本中有青年職工 32人，則該樣 本中的老年職工人數(shù)為（） A.9 B.18 C.27 D.36 【答案】B 【解析】 設(shè)老年職工為x人，則430-3x=160, x=90,設(shè)抽取的樣本為 m,則160m = 32.m = 86.則抽 430 取樣本中老年職工人數(shù)為 430父86 =18（人）. 1 1 7.在（X———）的展開式中，X4的系數(shù)為（ ） 2x A.-120 B.120 C.-15 D.15 【答案】C 【解析】工產(chǎn)GoXr .（-1）10—r. 2x 令 Cr0xr （ - —）10'r=a x4（必常數(shù)）， 2x ,,,r =7..\ a =C70 （ --）3. 2 一 ，，，7 1 3 二系數(shù)為 C。（—）3=-15. 2 8 .在一次反恐演習(xí)中，三架武裝直升飛機分別從不同方位對同一目標發(fā)動攻擊（各發(fā)射一枚導(dǎo)彈） ，由于天氣 原因，三枚導(dǎo)彈命中目標的概率分別是 0.9,0.9,0.8 ,若至少有兩枚導(dǎo)彈擊中目標方可將其摧毀，則目標 被摧毀的概率是（ ） A.0.998 B.0.046 C.0.936 D.0.954 【答案】D 【解析】方法一：（直接求解） P=0.9 0.9 0.2 0.9 0.1 0.8 0.1 0.9 0.8 0.9 0.9 0.8=0.954 方法二：（排除法） P=1 -（0.9父0.1乂0.2+0.1父0.9父0.2 + 0.1父0.1父0.8 + 0.1><0.1父0.2） =0.954 9 .有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5,從中隨機地抽取 3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字和為 上， 則E（D和D代）分別為（ ） A.7.8,3 B.7.8,3.36 C. — ,3 D. — ,3.36 15 15 【答案】B 【解析】這3張卡片上的數(shù)字之和 巴這一隨機變量的可能取值為： 6,9,12. 2=6表示取出的 -=9表不取出的 白二12表示取出的 , C3 7 3張卡片上標有2,則P(-=6) = =一 C30 15 7_ 15 7 15 C2C1 3張卡片上兩張標有2, 一張為5,則P（七=9） = -V C；0 C1C2 3張卡片中的兩張為5, 一張為2,則P（ ^=12）=」3^ C；0 -的分布列為 6 9 12 p 7 15 7 15 1 15 E( )=6 7 c 7 仆 1 i —9 — 12 — =7.8. 15 15 15 11 7 9 7 9 1 9 D()=— (6-7.8)2 — (9-7.8)2 (12-7.8)2 -3.36.> 15 15 15 10 .已知隨機變量X服從正態(tài)分布 N(3,1),且P(2 WX <4)=0.6826 ,則P(X>4)等于( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 【答案】B 【解析】由于X服從正態(tài)分布 N(3,1),故正態(tài)分布曲線的對稱軸為 X=3,二P(X>4)= P(X<2). .P(X>4)= 1 - P(2 < X < 4) =0.1587. 11.某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時間 據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示 面積依次構(gòu)成公差為 0.1的等差數(shù)列 (單位:h),隨機選擇了 n位中學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù) ，且從左到右的第1個、第4個、第2個、第3個小長方形的 ) A.80 B.90 C.100 D.110 【答案】C 【解析】 設(shè)第1個小長方形的面積為 S,則4個小長方形的面積之和為 4S +4£3父0 .1 2 由題意知 4S+4^3 父0 .1=1, /.S=0.1. 2 , 又 1n0=0.1, . n=100. 12.為了考察兩個變量 x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立做了 10次和15次試驗，并 且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為1i、l2 .已知兩人所得的試驗數(shù)據(jù)中，變量x和y的數(shù)據(jù) 的平均值都相等，且分別是s、t,那么下列說法正確的是() A.直線 1 和l2一定有公共點(s,t) B.直線 1 和l2相交，但交點不-一定是 (s,t) C.必有 l1 // l2 D. 11與12必定重合 【答案】A 【解析】 線性回歸直線方程為 ？=僅十3.而＜?=y-tix 即i?=t -b?st =底+?=（s.t）在回歸直線上.二直線1 1和12 一定有公共點（s,t）. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分） 13.某校開展"愛我祖國、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽 第n卷 ,9位評委為參賽作品 A給出的分數(shù)如莖葉圖所示 作品4 T 8 9 9 9 2 3 x 214 記分員在去掉一個最高分和一個最低分后 ，算得平均分為91,復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)有1個數(shù)字（莖葉圖中的x） 無法看清.若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是 ,. 【答案】1 【解析】當 x 之4時 89 +89 +92 +93 +92 +91。94 = 640 #91,，x<4. 89 89 92 93 92 91 x 7 二91. x=1. 14.點A為周長等 于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點 B,則劣弧AB的長度小于1的概率 【解析】如圖， C 由幾何概型知概率為 2 . 3 15.甲、乙兩人參加普法知識競賽 1題，在甲抽到選擇題的前提下 點B可落在優(yōu)弧CD上，其弧長為 ,共有10個不同的題目.其中選擇題6個，判斷題4個.甲、乙兩人依次各抽 ,乙也抽到選擇題的概率是 . 【答案】5 9 A,乙抽到選擇題為事件 B. 【解析】 設(shè)甲抽到選擇題為事件 n(A) =6 9 =54 n(AB) =6 5 =30 ? P(B| A)= n(AB) n(A) 30 =5 54 - 9 16.觀察下列等式： 12 =1 12 -22 - -3 12 -22 32 =6 12 -22 32 -42 = -10 . 由以上等式推測到一個一般的結(jié)論 ：對于nWN*.12 — 22 +32 — 42十…+(—1)n*n2 = . , 2 【答案】(_1)n1nL^_Il 【解析】 注意到第n個等式的左邊有n項，右邊的結(jié)果的絕對值恰好等于左邊的各項的所有底數(shù)的和 ，即右邊 的結(jié)果的絕對值等于 1+2+3+- +n = n(r21) =n2n .注意到右邊的結(jié)果的符號的規(guī)律是 ：當n為奇數(shù)時，符 2 號為正；當n為偶數(shù)時，符號為負，因此所填的結(jié)果是(_1)n + n 2in. 三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ) 17 .(本小題滿分12分)為了解學(xué)生身高情況，某校以10%勺比例^?全校700名學(xué)生按性別進行分層 抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下： 男生 女生 身高/cm 身高/cm (1)估計該校男生的人數(shù)； (2)估計該校學(xué)生身高在 170 -185 cm之間的概率； ⑶從樣本中身高在180 190 cm之間的男生中任選 2人，求至少有1人身高在185 -190 cm之間的概 率. 【解】(1)樣本中男生人數(shù)為 40,由分層抽樣比例為10%古計全校男生人數(shù)為 400. (2)由統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170- 185 cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70, 所以樣本中學(xué)生身高在 170- 185 cm之間的頻率f = 35 = 0 .5, 70 , 故由f估計該校學(xué)生身高在 170—185 cm之間的概率p1 = 0.5. (3)樣本中身高在180 -185 cm之間的男生有4人，設(shè)其編號為①，②，③，④, 樣本中身高在185- 190 cm之間的男生有2人，設(shè)其編號為⑤，⑥， 從上述6人中任取2人的樹狀圖為： 故從樣本中身高在 180- 190 cm之間的男生中任選 2人的所有可能結(jié)果數(shù)為 15,至少有1人身高在 185 -190 cm之間的可能結(jié)果數(shù)為 9,因此，所求概率p2 =-9- =3 p2 15 5 18 .(本小題滿分12分)某人向一目標射擊 4次，每次擊中目標的概率為 3.該目標分為3個不同白部分，第一、 二、三部分面積之比為 1 ： 3 ： 6,擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比 . (1)設(shè)X表示目標被擊中的次數(shù)，求X的分布列； (2)若目標被擊中2次,A表示事件”第一部分至少被擊中 1次或第二部分被擊中 2次”，求P(A). 【解】(1)依題意知X-B(4」). 3 即X的分布列為 X 0 1 2 3 4 p 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 (2)設(shè)A表示事件”第一次擊中目標時 ，擊中第i部分” ，i=1,2. Bi表示事件”第二次擊中目標時，擊中第i部分”，IT，？ ■ 依題意知 P(A1) =P(B) =0.1 P(A2) = P(B2) A = AB1 - A1B1 - ABi - A2B2 . 所求的概率為 P(A)=P(AB1) P(A1B1) P(A1B1) P(A2B2) = P(A)P(Bi) P(Ai)P(Bi) P(A)P(Bi) P(A2) P(B2) =0. 1 0.9+0. 9 0.1+0. 1 0.1+0. 3 0.3=0.28. 19 .(本小題滿分12分)某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān) 系進行了分析研究，他們分別記錄了 12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每 100顆種 子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月1日 12月？日 12月3日 12月4日 12月5日 溫差Kt) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)M糠) 23 1 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸直線方程，再對 被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗. (1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2天數(shù)據(jù)的概率； (2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回 歸直線方程？ = bX a? (3)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過 2顆，則認為得到的 回歸直線方程是可靠的，試問(2)中所得的回歸直線方程是否可靠 ？ 【解】(1)設(shè)選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2天數(shù)據(jù)為事件 A,因為從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有 10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中選取相鄰2天數(shù)據(jù)的情況有4種， 所以 P(A) =1—4=3. 10 5 所以選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2天數(shù)據(jù)的概率是 5. (2)由所給數(shù)據(jù)，可求得X =12,亍=27，由系數(shù)公式，求得 9 = 5, a?uy -bX - -3. 2 … . _ 5 所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y? = 5x-3. 2 (3)當 x=10 時，？ = |父10—3 = 22, |22-23|<2; 同樣，當 x=8 時，？=55父8 —3=17,|17-16|<2. 所以該農(nóng)科所得到的回歸直線方程是可靠的 ^ 20.(本小題滿分12分)在某學(xué)校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中 ，規(guī)定每人最多投 3次：在A處每投進一球得 3分,在B處每投進一球得 2分;如果前兩次得分之和超過 3分即停止投籃，否則投第三次.某同學(xué)在A處的命 中率q1為0.25,在B處的命中率為q2 .該同學(xué)選擇先在 A處投一球，以后都在B處投，用之表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練 結(jié)束后所得的總分，其分布列為 s 0 2 3 4 5 p 0.03 Pz ■Pa P ⑴求42的值； (2)求隨機變量《的數(shù)學(xué)期望E(。； (3)試比較該同學(xué)選擇都在 B處投籃得分超過 3分與選擇上述方式投籃得分超過 3分的概率的大小| 【解】(1)由題設(shè)知，” -0”對應(yīng)的事件為”在三次投籃中沒有一次投中”,由對立事件和相互獨立事件性 質(zhì)可知 P( =0) =(1—q1)(1—q2)2 =0.03, 解得 q2 =0 .8. (2)根據(jù)題意 p =P(U =2) =(1—q1)c2(1—q2)q2 =0. 75父2父0. 2M 0.8=0.24. P2 =P( =3) =q1(1 —q2)2 =0. 25 (1 -0. 8)2 =口.口1. R =P( =4) =(1-⑨扇=0.75 0.82 =0.48. P4 =P( =5) =q1q2 q1(1-q2)q2 =0.25 0.8+0. 25 0. 2 0.8=0.24. 因此 E( )=0 0 . 03 2 0 . 24 3 0 . 01 4 0.48+ 5 0.24=3.63. (3)用C表示事件”該同學(xué)選擇第一次在 A處投，以后都在B處投，得分超過3分”，用D表示事件”該同學(xué)選 擇都在B處投，得分超過3分”，則 P(C) =P(：： =4) P(2： =5) =P3 P4 =0.48+0.24=0.72. 2 1 一 一 _ _ 2 P(D) =q2 c2q2(1 -q2)q2 =0. 8 2 0. 8 0. 2 0.8=0.896. 故 P(D)>P(C), 即該同學(xué)選擇都在 B處投籃得分超過 3分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在 A處投以后都在 B處投得分超過 分的概率. 21.(本小題滿分 12分)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn.已知對任意的 n= N，點(n.Sn)均在函數(shù) y =bx+r(b >0且b#1 b,r均為常數(shù))的圖象上. (1)求r的值； (2)當 b=2 時，記 bn =2(log 2an +1)(n= N ). 證明：對任意的nw N*，不等式b* b2—1……生上1 >Jn石成立. bi b2 bn 【解】(1)由題意.Sn =bn +r. 當n至2時Snj=bn,十r . 所以 an =Sn -Sni =bn-(b -1). 由于b>0且b #1. 所以n22時,{ an}是以b為公比的等比數(shù)列. 又 a1 =b r a2 = b(b -1). a2=b.即 b,J1) =b.解得 r=-1. a1 b r (2)證法一：由(1)知 an =2n： 因此 bn =2n(n w N ), 所證不等式為 2」4-^ 2n 1 . n 1 . 2 4 2n ①當n=1時，左式=3 .右式=J2. 2 左式〉右式，所以結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k時結(jié)論成立， 即2_14_d .…4.丁彳 2 4 2k 則當 n=k+1 時 2±1 ,4±1，…，2k±1 2k+3 〉471 2k+3 = 2k+3 ,2 4 2k 2(k+1) 7 2(k+1) 2gT 要證當n=k+1時結(jié)論成立， 只需證2k13之Jk+2 .即證2k產(chǎn)之J(k+1)(k +2). 2 . k 1 2 由基本不等式2k—3 =(k 1)(k 2) 2 2 -...(k 1)(k 2)成立, 故2父3之4+2成立， 2、k 1 所以，當n=k+1時，結(jié)論成立. 由①②可知，n= N時， 才士T b11b2 1 bn 1 不等式 > v n +1成立. bl b2 bn n 1 * 證法一：由(1)知：an =2 一.因此 bn =2n(nw N ), 所證不等式為3 5 7 .…2n 1」n 1 . 2 4 6 2n 事實上 3 .5 7 .... 2n +1 2 4 6 2n 2 4 4 6 6 8 2n (2n 2) =工，工工..... 2 2 4 6 2n 2~~4 4 6 6 8 2n(2n 2) I I T* * * 2 4 6 2n = -22 2n 2 = ,n"1. 故對一切ns N *,不等式b1^1，叱1，…，b二口 > Vn+1成立. bl b2 bn 22.(本小題滿分10分)某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查 統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示 ： 積極參加 班鍛工作 不太主動參 加班級工作 合計 學(xué)習(xí)積極性高 18 7 25 學(xué)習(xí)積極性一般 6 19 25 合計 ,24 26 50 (1)如果隨機抽查這個班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少 ？抽到不太 主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少 ？ (2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析 ：在犯錯誤的概率不超過 0.01的前提下，能否認為學(xué)生的學(xué) 習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系 ？說明理由. 【解】(1)隨機抽查這個班的一名學(xué)生 ，有50種不同的抽查方法，由于積極參加班級工作的學(xué)生有 18+6=24(人),所以有24種不同的抽法.因此由古典概型的計算公式可得抽到積極參加班級工作的 學(xué)生的概率是 R =胃=12 .又因為不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生有 19人， 50 25 所以抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是 P2 =19 2 50 (2)由題意可得K2的觀測值. k = 50(18父19-6n2 & 11.54, 24 26 25 25 由于11.54>6.635,所以在犯錯誤的概率不超過 0.01的前提下，認為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級 工作的態(tài)度有關(guān)系”. 12