【學霸優(yōu)課】數(shù)學理一輪對點訓練：1011 橢圓的標準方程 Word版含解析

1.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　∵＋＝1(a>b>0)的離心率為， ∴＝.又∵過F2的直線l交橢圓于A，B兩點，△AF1B的周長為4， ∴4a＝4，∴a＝.∴b＝， ∴橢圓方程為＋＝1，選A. 2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________． 答案　x2＋y2＝1 解析　不妨設(shè)點A在第一象限，∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)，又|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，得B將其代入橢圓方程化簡得＋＝1，又c2＝1－b2，得b2＝，故橢圓E的方程為x2＋y2＝1. 3．已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合．若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝________. 答案　12 解析　如圖，設(shè)MN的中點為P，則由F1是AM的中點，可知|AN|＝2|PF1|. 同理可得可知|BN|＝2|PF2|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)． 根據(jù)橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12. 4.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F(－c,0)，離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長為c，|FM|＝. (1)求直線FM的斜率； (2)求橢圓的方程； (3)設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍． 解　(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2. 設(shè)直線FM的斜率為k(k>0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝. (2)由(1)得橢圓方程為＋＝1，直線FM的方程為y＝(x＋c)，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因為點M在第一象限，可得M的坐標為. 由|FM|＝＝，解得c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (3)設(shè)點P的坐標為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝ >，解得－<x<－1或－1<x<0. 設(shè)直線OP的斜率為m，則m＝，即y＝mx(x≠0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得m2＝－. ①當x∈時，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝，得m∈. ②當x∈(－1,0)時，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈. 綜上，直線OP的斜率的取值范圍是∪. 5．平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點．過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q. (ⅰ)求的值； (ⅱ)求△ABQ面積的最大值． 解　(1)由題意知2a＝4，則a＝2. 又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1. (ⅰ)設(shè)P(x0，y0)，＝λ， 由題意知Q(－λx0，－λy0)． 因為＋y＝1， 又＋＝1，即＝1， 所以λ＝2，即＝2. (ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將y＝kx＋m代入橢圓E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0. 由Δ>0，可得m2<4＋16k2.① 則有x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|x1－x2|＝. 因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)， 所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2| ＝＝ ＝2 . 設(shè)＝t.將y＝kx＋m代入橢圓C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.② 由①②可知0<t≤1. 因此S＝2＝2.故S≤2， 當且僅當t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2. 由(ⅰ)知，△ABQ面積為3S， 所以△ABQ面積的最大值為6. 6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3. (1)求橢圓的標準方程； (2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC＝2AB，求直線AB的方程． 解　(1)由題意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，則b＝1，所以橢圓的標準方程為＋y2＝1. (2)當AB⊥x軸時，AB＝，又CP＝3，不合題意． 當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入橢圓方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，則x1,2＝，C的坐標為， 且AB＝＝＝. 若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意． 從而k≠0，故直線PC的方程為y＋＝－，則P點的坐標為， 從而PC＝. 因為PC＝2AB，所以＝， 解得k＝1.此時直線AB方程為y＝x－1或y＝－x＋1.