2019高考數(shù)學 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題05 三角函數(shù)與解三角形的綜合應用學案 理.doc
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專題05 三角函數(shù)與解三角形的綜合應用 知識必備 一、三角函數(shù)、解三角形、三角恒等變換的綜合及其應用 1.三角函數(shù)的綜合應用 (1)函數(shù),的定義域均為;函數(shù)的定義域均為. (2)函數(shù),的最大值為,最小值為;函數(shù)的值域為. (3)函數(shù),的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為. (4)對于,當且僅當時為奇函數(shù),當且僅當時為偶函數(shù);對于,當且僅當時為奇函數(shù),當且僅當時為偶函數(shù);對于,當且僅當時為奇函數(shù). (5)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式 來確定,單調(diào)遞減區(qū)間由不等式來確定;函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定,單調(diào)遞減區(qū)間由不等式來確定;函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定. 【注】函數(shù),,(有可能為負數(shù))的單調(diào)區(qū)間:先利用誘導公式把化為正數(shù)后再求解. (6)函數(shù)圖象的對稱軸為,對稱中心為;函數(shù)圖象的對稱軸為,對稱中心為;函數(shù)圖象的對稱中心為. 【注】函數(shù),的圖象與軸的交點都為對稱中心,過最高點或最低點且垂直于軸的直線都為對稱軸. 函數(shù)的圖象與軸的交點和漸近線與軸的交點都為對稱中心,無對稱軸. 2.三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題 (1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式. (2)利用公式求周期. (3)根據(jù)自變量的范圍確定ωx+φ的范圍,根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時,根據(jù)所給關系式的特點,也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值. (4)根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的單調(diào)區(qū)間. 3.三角恒等變換與向量相結(jié)合的綜合問題 三角恒等變換與向量的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題,一般以向量的坐標形式給出與三角函數(shù)有關的條件,并結(jié)合簡單的向量運算,往往是兩向量平行或垂直的計算,即令a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2,a∥b?x1y2=x2y1,a⊥b?x1x2+y1y2=0,把向量形式化為坐標運算后,接下來的運算仍然是三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識的運用. 4.三角恒等變換與解三角形相結(jié)合的綜合問題 (1)利用正弦定理把邊的關系化成角,因為三個角之和等于π,可以根據(jù)此關系把未知量減少,再用三角恒等變換化簡求解; (2)利用正、余弦定理把邊的關系化成角的關系再用三角恒等變換化簡求解. 【注】此類題中的角是在三角形中,每個角范圍限制在(0,π)內(nèi),如果是銳角三角形,則需要限制各個角均在內(nèi).角的范圍在解題中至關重要,做題時要特別注意. 5.三角形中的綜合問題 (1)解三角形的應用中要注意與基本不等式的結(jié)合,以此考查三角形中有關邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式,建立如“”之間的等量關系與不等關系,通過基本不等式考查相關范圍問題. (2)注意與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合考查,將兩者結(jié)合起來,既考查解三角形問題,也注重對三角函數(shù)的化簡、計算及考查相關性質(zhì)等. (3)正、余弦定理也可能結(jié)合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積,此時注意應用平面向量的數(shù)量積或基本不等式進行求解. 6.三角函數(shù)圖象、性質(zhì)與其他知識的綜合問題 常先通過三角恒等變換、平面向量的有關知識化簡函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)研究其相關性質(zhì),若涉及解三角形,則結(jié)合解三角形的相關知識求解. 二、解三角形的實際應用 1.測量中的術語 (1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①). (2)方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角,如B點的方位角為α(如圖②). (3)方向角 相對于某一正方向的水平角. ①北偏東α,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③); ②北偏西α,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向; ③南偏西等其他方向角類似. (4)坡角與坡度 ①坡角:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④,角θ為坡角); ②坡度:坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④,i為坡度).坡度又稱為坡比. 2.解三角形實際應用題的步驟 核心考點 考點一 三角函數(shù)、解三角形、三角恒等變換的綜合及其應用 【例1】(三種三角函數(shù)間的綜合)已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象交于,,三點,則△的面積是 A. B. C. D. 【答案】C 【例2】(三角函數(shù)性質(zhì)的綜合)已知函數(shù)的最小正周期為,的圖象向左平移個單位后所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則的最大值為 A. B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】因為函數(shù)的最小正周期為,所以,且其圖象向左平移個單位后得到的為偶函數(shù),則,又因為,所以,,則.故選A. 【例3】(三角函數(shù)型圖象問題)函數(shù)的圖象大致為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】為偶函數(shù),則圖象關于軸對稱,排除A、D,把代入得,故圖象過點,C選項適合,故選C. 【例4】(三角函數(shù)與平面幾何的綜合)已知函數(shù). (1)若,把函數(shù)的圖象的橫坐標伸長到原來的倍,縱坐標不變,再向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,求在區(qū)間上的值域; (2)若函數(shù)的圖象上有如圖所示的三點,且滿足,求的值. 【解析】. (2)由圖知點是函數(shù)圖象的最高點,設,函數(shù)的最小正周期為, 則,所以,, 因為, 所以,解得, 故. 【例5】(三角函數(shù)與解三角形的綜合)已知. (1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)中,角的對邊分別為,若,且,的面積,求. 【解析】(1) . 由(),解得(). 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(). (2)由,即,得. 所以(),解得(). 因為,所以. 由已知的面積,解得. 由余弦定理可得. 所以. 【例6】(三角恒等變換與解三角形的綜合)已知中,分別為角所對的邊,且,,,則的面積為 A. B. C. D. 【答案】C 【名師點睛】本題主要考查兩角和的正切公式的變形和應用,考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面積的求法.本題主要條件是,這是兩角和的正切公式的變形,由此可得到的弧度數(shù),再利用余弦定理聯(lián)立,可求得各邊的長度,進而求得面積的值. 考點二 三角與其他問題的綜合 【例7】(解三角形與向量的綜合)已知在中,角的對邊分別為,向量,,且. (1)求角的大小; (2)若,求的面積. 【解析】(1)由已知得, 由倍角公式和降冪公式得. . (2)由余弦定理得. 解得或. 當時,; 當時,. 綜上所述,或. 備考指南 三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導的,說明正弦定理、余這定理與向量有著密切的聯(lián)系,解三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應的三角函數(shù)值為向量的坐標,要求根據(jù)向量的關系解答相關的問題. 【例8】(三角函數(shù)與向量、函數(shù)與方程的綜合)已知向量,設函數(shù). (1)若函數(shù)的圖象關于直線對稱,且時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間; (2)在(1)的條件下,當時,函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍. 【解析】 . (2)由(1)知, ∵,∴, ∴,即時,函數(shù)單調(diào)遞增; ,即時,函數(shù)單調(diào)遞減. 又, ∴當或時有且只有一個零點. 即或, 所以滿足條件的. 備考指南 (1)在解決已知三角函數(shù)的圖象關于某條直線(或某點)對稱的問題時,常用的解決方法是將橫坐標代入原式中,讓其等于正弦函數(shù)的對稱軸(或?qū)ΨQ中心),即(或),,再解出參數(shù)即可; (2)在解決已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù),或者討論函數(shù)的零點個數(shù)問題時,常用分離參數(shù)的方法,將問題轉(zhuǎn)化為,畫出的圖象,通過對直線進行上下平移,從而得到參數(shù)的取值范圍或零點個數(shù)的不同情況. 【例9】(三角函數(shù)與導數(shù)的綜合)已知函數(shù)對任意的滿足(其中是函數(shù)的導函數(shù)),則下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令,由對任意的滿足可得,所以函數(shù)在上為增函數(shù),所以,即,所以,故選A. 考點三 平面幾何中的解三角形問題 【例10】△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,. (1)求B的大?。? (2)若,且AC邊上的中線長為,求△ABC的面積. 【解析】(1)由△ABC中可得, 因為, 所以,即,即, 因為, 所以,. (2)由得, ,① 在△ABC中, ,取中點,連接. 因為,所以在△CBD中,=, 所以,② 把①代入②,化簡得,解得,或(舍去), 所以. 所以△ABC的面積. 備考指南 幾何中的長度、角度的計算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計算,這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.解決此類問題的關鍵是構(gòu)造三角形,把已知和所求的量盡量放在同一個三角形中. 考點四 三角函數(shù)的應用問題 【例11】(解三角形的應用)某觀察站與兩燈塔,的距離分別為米和米,測得燈塔在觀察站北偏西,燈塔在觀察站北偏東,則兩燈塔,間的距離為 A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】C 【解析】依題意,作出示意圖(圖略),因為,,,所以由余弦定理可得:,故選C. 【例12】(三角函數(shù)、解三角形的應用)如圖,某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地,圖中.設計時要求綠地部分(如圖中陰影部分所示)有公共綠地走道,且兩邊是兩個關于走道對稱的三角形(和).現(xiàn)考慮綠地最大化原則,要求點與點均不重合,落在邊上且不與端點重合,設. (1)若,求此時公共綠地的面積; (2)為方便小區(qū)居民的行走,設計時要求的長度最短,求此時綠地公共走道的長度. 【解析】(1)由圖得:, ∴, 又, ∴, ∴, ∴公共綠地的面積. (2)由圖得:且, ∴, 在中,由正弦定理可得:, ∴, 記 , 又, ∴, ∴時,取最大,最短,則此時. 備考指南 解答三角函數(shù)實際應用問題的一般步驟 1.閱讀理解材料:三角函數(shù)應用題的語言形式多為文字語言、圖形語言、符號語言并用.閱讀理解時要讀懂題目所反映的實際問題的背景,領悟其中的數(shù)學本質(zhì),把題目中出現(xiàn)的邊角關系和三角形聯(lián)系起來,確定以什么樣的三角形(直角三角形、斜三角形)為模型,用哪些定理(勾股定理、正弦定理、余弦定理)或邊角關系,列出等量或不等量關系 2.建立變量關系:根據(jù)上面的分析,把實際問題抽象成數(shù)學習題,建立變量關系,這一步一般是通過解直角三角形或解斜三角形實現(xiàn)的,要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方法. 3.討論變量性質(zhì):根據(jù)(2)中建立的變量關系,結(jié)合題目的要求,與學過的數(shù)學模型的性質(zhì)對照,討論變量的有關性質(zhì),從而得到所求問題的理論值. 4.作出結(jié)論:根據(jù)(3)中得到的理論值,按題目要求作出相應的結(jié)論. 能力突破 1.已知命題:函數(shù)圖象的一條對稱軸是;命題,則下列命題中的真命題為 A. B. C. D. 【答案】B 2.已知函數(shù)(且)和函數(shù),若與兩圖象只有3個交點,則的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作出函數(shù)與的圖象如圖所示,當時,與兩圖象只有3個交點,可得, 當時,與兩圖象只有3個交點,可得,所以的取值范圍是,故選D. 3.存在實數(shù),使得圓面恰好覆蓋函數(shù)圖象的最高點或最低點共三個,則正數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】由題意,知函數(shù)圖象的最高點或最低一定在直線上,則由,得.又由題意,得,,解得正數(shù)的取值范圍為. 4.在△ABC中,角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知,. (1)求的值; (2)設D為AC的中點,若BD的長為,求△ABC的面積. 【解析】(1)由得, 即, 故, 從而,與都是銳角, 則. ,即. (2)由(1),得, 設, 在中,由余弦定理得,解得, 則. 5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)的解析式,并寫出的最小正周期; (2)令,若在內(nèi),方程有且僅有兩解,求的取值范圍. 【解析】(1)由圖象可知:,∴, 又, ∴. 又∵點在圖象上, ∴, ∴, ∴,, 又∵, ∴. ∴, 最小正周期. (2)∵, ∴原方程可化為,則. ∵, ∴,, ∴, 令,則,作出及的圖象, 當或時,兩圖象在內(nèi)有且僅有一解,即方程在內(nèi)有且僅有兩解, 此時的取值范圍為. 高考通關 1.(2018新課標Ⅲ理)函數(shù)在的零點個數(shù)為________. 【答案】 【解析】,,由題可知,或,解得,或,故有3個零點. 2.(2017浙江)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連結(jié)CD,則△BDC的面積是______,cos∠BDC=_______. 【答案】 【解析】取BC中點E,由題意:,△ABE中,, ∴, ∴. ∵, ∴,解得或(舍去). 綜上可得,△BCD的面積為,. 3.(2017江蘇)已知向量 (1)若a∥b,求的值; (2)記,求的最大值和最小值以及對應的的值. 【解析】(1)因為,,a∥b, 所以. 若,則,與矛盾,故. 于是. 又, 所以. 4.(2018新課標Ⅰ理)在平面四邊形中,,,,. (1)求; (2)若,求. 【解析】(1)在中,由正弦定理得. 由題設知,,所以. 由題設知,,所以. (2)由題設及(1)知,. 在中,由余弦定理得 . 所以. 5.(2018北京理)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=–. (1)求∠A; (2)求AC邊上的高. 【解析】(1)在△ABC中,∵cosB=–,∴B∈(,π), ∴sinB=. 由正弦定理得=,∴sinA=. ∵B∈(,π),∴A∈(0,),∴∠A=. (2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==. 如圖所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==, ∴AC邊上的高為. 你都掌握了嗎? 有哪些問題?整理一下!- 配套講稿:
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