安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3單元第19講 定積分及簡單應(yīng)用課件 理

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1、12了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念了解微積分基本定理的含義110011001 A. B.11C.1 1D2. .xdxxdxdxdx下列積分的值為 的是1100 1 1.Cdxx解析：所以 正確.32229003co s (0)2|3 3.yxxScosx dxcosxdxsinx由曲線的圖象及面積意義知，所求面積為解析：3cos (0)2 5A 2 B 3 C. 2 D2.4yxx曲線與坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是 忽視面積與定積分易錯(cuò)點(diǎn)：的區(qū)別11111101011010 A. B.C. 3.D.x dxxdxx dxx dxxdxxdxx dx等于101110

2、0 0.x dxx dxxxdxxxxx解 因以為析：，所 41()13() A 8 B 10 C 12 D 14 4.F xxNFxxmFJJJJ一物體在力單位：的作用下，沿著與力 相同的方向，從運(yùn)動(dòng)到處單位：，則力 所做的功為3231141214 .WxdxxJx由變力做功公式解： 有析30 / 30 1.54 5 .m st svttm做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，初速度為，后的速度，則該物體停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的路程是 1009010032920322 10030 1.5409(30 1.54)38(30)431003100810030()115(00891)4939t stttstt dtmt

3、tt設(shè)物體經(jīng)過后停止由，得，所以運(yùn)動(dòng)路程為解析： 0111(1,2)_1_ .iiniiiibaf xabaxxxxxbabnxxinxnf xabf x dxf x dx 如果函數(shù)在區(qū)間 ，上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間 ，等分成 個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間，上任取一點(diǎn)， ， ，作和式當(dāng)時(shí)，上述和無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間 ，定積分的概念上的定積分，記作：，即 11limnbianibafabnabf xxf x dxf x dx 與 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 ， 叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)， 叫做積分變量，叫做積式定積分是一個(gè)常數(shù)； ( ) ()2fxabfx dx定積分的幾何

4、意義：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間，上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是由曲線和直線所圍成的曲邊梯形的面積 如圖中陰影部分 ( ) ()bafx dxxyfxxx 一般情況下定積分的幾何意義是介于 軸，函數(shù)的圖象以及直線，之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和如圖 ，其中在 軸上方的面積取正號(hào)，在 軸下方的面積取負(fù)號(hào) 3()() 2 bbaabbbaaabcbaacbbaakf x dxkf x dx kf xg x dxf x dxg x dxf x dxf x dxf x dxacbf xabf x dxF xF bF aF xf x定積分的性質(zhì)為常數(shù) ；其微積分基本定中如果是區(qū)間 ， 上的連續(xù)函數(shù)，并且，則，其中是的理一

5、個(gè)原函數(shù) 111( )( )()()( )123(3i)l miiiiiiinbianibanabxxff xxxfbaf x dxfnf x dxf xF xF bF a定義法： 分割： 等分區(qū)間 ， ； 近似代替：取點(diǎn)，用近似地代替在，上的函數(shù)值；求和；取極限：利用微積分基本定理求定積分求的一個(gè)原函數(shù)；計(jì)算利用定積求定積分的方法分的幾何意義求定積分 () 4 12.sv tW定積分在幾何中的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積定積分在物理中的應(yīng)用：求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：為速度函數(shù) 求變力定積分的簡所做單應(yīng)用的功： 1lim()0ninibbaabafyfxnxaxb abyxaxbFxfxv t dtF

6、x dx；，；【要點(diǎn)指南】 12140 11242|.|1x dxxxdx 求下列定積分：；例題型一題型一 定積分的概念及幾何意義定積分的概念及幾何意義 1221121 1111() .211x dxyxxxxx dx 因?yàn)楸硎厩€與直線，及 軸所圍成的面積 如圖 ，所以解析： 40440040 4|2 |42()4|2 |1144222 2422.xxdxx dxxdxOBDOAEABCxxdx表示的面積與及和的差解如圖 ，故析： 了解定積分的概念，利用定積分的幾何意義求定積分是常用技評析：巧之一 6686 1 A 0 B 4 C 8 (2010) D 16f xf x dxf x dx已知

7、為偶函數(shù)且，則等于變式 ：廣東潮州調(diào)研 066066602 16.f x dxf x dxyf x dxf x dx原式因?yàn)樵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在 軸兩側(cè)的圖象對稱，所以對應(yīng)的面積相等，則解析： 03012sin322sinsin2.2.xxedxxx dx計(jì)算下列定積分：例；題型二題型二 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算 000000002sin322sin322cos 322(coscos0)3()2 732 .)1(0 xxxxedxxdxe dxdxxexeee 解析： 3300sinsin 21coscos221sinsin 2(coscos2 )2111()( 1)2 4122.4yxxy

8、xxxx dxxx 函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為，所：以解析 , bcbaacfx dxfx dxfx dx利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積分函數(shù)的原函數(shù)求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，因此應(yīng)熟練掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的定義域，將積分區(qū)間分解為若干部分，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值，評析：相加即可 220222 0112 12 345A. B. C. D4562cos 2. .xxxf xxxf x dxxxedx 設(shè)，則不存在計(jì)式算：變 21220013 122012115(2 C.1),326f

9、 x dxx dxx dxxxx解析：故選 22222222222222444222242coscoscoscos0,1122co2 12sxxxxxxxedxxxdxedxyxxxxdxedxeeexxeedxe由定積分的性質(zhì)，得因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以又故解析： 1()A16 B 18 C 20 D 223.下圖中，陰影部分的面積是 例題型三題型三 定積分的簡單應(yīng)用定積分的簡單應(yīng)用 22201(0,1 )()()2111A. B. C. D.33243.yxxxytt如圖，由曲線和直線，所圍成的圖形 陰影部分 的面積最小值為 例 234422122223202(4 )(4)182641.33

10、14222100().2110010.22111 B42.2DttyySydyyStxdxxtdxttStttttttStStS 陰影部分的面積，由，得舍去 或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值解析選，：故故選 2043/3.14 24 tsvttm ststs一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻開始以速度運(yùn)動(dòng)，變求：在時(shí)的位置；在時(shí)運(yùn)式動(dòng)的路程 232400 4 1443(2 3 )4.33 134ttsttdttttmtms在時(shí)刻時(shí)該點(diǎn)的位置為，即在時(shí)刻該點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)解析： 213220141223034221343130,13,401,304 43|43|4343434344 4.2 v tttttv t

11、v ttssttdtttdtttdtttdtttdtttdtmtms解因?yàn)椋栽趨^(qū)間及上，在區(qū)間上，所以在時(shí)的路程為即在時(shí)運(yùn)動(dòng)路程： 為的析 0,40,4v t因?yàn)槲恢脹Q定于位移，所以它是在上的定積分，而路評程析：是位移的絕對值之和，因此需判斷在上，哪些時(shí)間段的位移為負(fù)值 2212121 (0,)2lyttttf xxxyS tlf xStg tS tStg tt 若直線 ：為常數(shù)與函數(shù)的圖象以及 軸所成的封閉圖形的面積為，若直線 與函數(shù)的圖象所圍成的封備選例題閉圖形的面積為，已知，當(dāng)取最小值時(shí)，求 的值 12 S tSt先確定出封閉圖形，的面積，建立面積的函數(shù)關(guān)系式，最后分析：求最值222

12、2222 ()(1)102111()(0)24411()24yxxyttttttttttttyxx 由，得交點(diǎn)坐標(biāo)為，和，又因?yàn)?，所以?，而函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，解析： ， 121222220132223220323222323221111()2()323211111112()322382411512.3226ttttg tStStxxttdxttxxdxxxtt xtt xxxtttttttt tttttt 由定積分的幾何意義，得 26513121110()3211(0)0(0)331 11 1()0()331223gtttttgttttgtg ttgtgtg tt 故令，解得或舍去 當(dāng)， 時(shí)

13、，函數(shù)在區(qū)間， 上單調(diào)遞減；當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間， 上單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值 1“”“”2(1).bbbaaaf x dxf t dtf u du定積分的定義是由實(shí)際問題抽象概括出來的，它的解決過程充分體現(xiàn)了 由直到曲 、由 有限到無限 的極限的思想利用定積分的定義求定積分可以分為四步：分割、近似代替、求和、取極限注意：定積分是一個(gè)數(shù)值 極限值 ，它只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積定積分的概念分變量無關(guān)，即 |0|( )0,|bbbaaabbbaaabbaaf x dxf x dxf x dxf xf xxf x dxf x dxf x dxxyf xxaxbf xf xxf x d

14、xf x dxxyf xxaxbf x，三者在幾何意義上的不同當(dāng)，即函數(shù)的圖象全部在 軸上方時(shí)，都表示界于 軸、曲線以及直線，之間的曲邊形的面積；即函數(shù)的圖象全部在 軸下方時(shí)，表示界于 軸、曲線以及直線，之間的曲邊形的面積，而0dx ，其結(jié)果是面積的相反數(shù)； baf xxf x dxxyf xxaxb當(dāng)函數(shù)的圖象在 軸上方和下方都有時(shí)，表示界于 軸、曲線以及直線，之間各部分面積，如圖陰影部分所示2微積分基本定理使我們找到了求定積分的一般方法，不需要根據(jù)定義求和式的極限，只要求出積函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，再計(jì)算原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量即可分段函數(shù)的定積分及絕對值函數(shù)

15、的定積分問題，都可以實(shí)施分段求解的方法 31(2)定積分的應(yīng)用主要有求平面圖形面積、變速運(yùn)動(dòng)路程及變力做功三個(gè)方面利用定積分求平面圖形面積的關(guān)鍵是畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的表達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值對于由兩條曲線所圍成的圖形面積計(jì)算問題，一定要注意結(jié)合圖形特征，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分段處理，要善于進(jìn)行分解速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求sin02yxxxx求曲線與 軸以及直線和所圍成的圖形的面積2200sincos cos2cos00.Sxdxx 錯(cuò)解： sin0,2 02 yxxp圖形面積應(yīng)為各部分定積分的代數(shù)和，函數(shù)在上與 軸圍成圖形分兩部分，前半部分在 ，上圍成的面積與定積分相等，而后半部分在， 上圍成的面積為定積分的相反數(shù)，定積分可正可負(fù)，面積錯(cuò)解分析： 只能為正2000sinsin2sin2c4os.Sxdxx dxxdxx 正解：