南通大學(xué)《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》復(fù)習(xí)要點(共9頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》復(fù)習(xí)要點 第一章 緒論 一、誤差的基本概念 1、誤差的定義及表示方法 （1）（絕對）誤差=測得值-真值，結(jié)果可正可負(fù)。 （2）修正值：為消除系統(tǒng)誤差而用代數(shù)法加到測量結(jié)果上的值。 修正值≈真值-測得值，與誤差值大小相等、符號相反。 （3）相對誤差=絕對誤差/真值≈絕對誤差/測得值，結(jié)果可正可負(fù)。 （4）引用誤差=示值誤差/測量范圍上限=（示值-實際值）/量程 2、誤差來源 測量裝置誤差（標(biāo)準(zhǔn)量具、儀器、附件）；環(huán)境誤差（溫度、濕度、氣壓）；方法誤差；人員誤差。 3、誤差分類 1）系統(tǒng)誤差（多次測量同一量值時，絕對值和符號保持不變；或在條件改變時，按一定規(guī)律變化的誤差）； 2）隨機誤差（多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差）； 3）粗大誤差（超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差）。 二、精度 1、精度：反映測量結(jié)果與真值接近程度的量，誤差小精度高。 2、精度的分類： 1）精確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合的影響程度，其定量特征可用測量的不確定度來表示； 2）精密度：反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度； 3）準(zhǔn)確度（正確度）：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。 精密度和準(zhǔn)確度無關(guān)；精確度高，則精密度與準(zhǔn)確度都高。 三、有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算 1、有效數(shù)字：含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對誤差界是最末位數(shù)的半個單位，那么從這個近似數(shù)左方起的第一個非零數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起至最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，都是有效數(shù)字。 2、數(shù)字舍入原則： （1）舍去部分?jǐn)?shù)值＞保留部分末位的半個單位，末位數(shù)加1； （2）舍去部分?jǐn)?shù)值＜保留部分末位的半個單位，末位數(shù)不變； （3）舍去部分?jǐn)?shù)值＝保留部分末位的半個單位，末位數(shù)湊成偶數(shù)。 3、數(shù)據(jù)運算規(guī)則： （1）加減運算時，以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少 的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同； （2）乘除運算時，以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)多取一位數(shù)字，結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的 數(shù)據(jù)小數(shù)位相同； （3）平方或開方運算，按乘除運算處理； （4）對數(shù)運算，n為有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應(yīng)用n為對數(shù)表，或用（n+1）為對數(shù)表，以免損失精度； （5）三角函數(shù)運算，所取函數(shù)值的位數(shù)隨角度誤差的減小而增多，對應(yīng)關(guān)系如下。 角度誤差（”） 10 1 0.1 0.01 函數(shù)值位數(shù) 5 6 7 8 第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理 一、隨機誤差 1、隨機誤差產(chǎn)生的原因：測量裝置方面、環(huán)境方面、人員方面。 2、若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則隨機誤差具有以下特征： （1）對稱性：絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； （2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； （3）有界性：在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定界限； （4）抵償性：隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨向于零。 3、算術(shù)平均值 （1）x=lin（近似認(rèn)為是被測量的真值L0）。 殘余誤差：vi=li-x （2）算術(shù)平均值的校核：vi=li-nx，當(dāng)求得的x為未經(jīng)湊數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)時，有vi=0。 殘余誤差代數(shù)和的絕對值應(yīng)符合：1）當(dāng)n為偶數(shù)時，vi≤n2A；2）當(dāng)n為奇數(shù)時，vi≤(n2-0.5)A。 4、等精度測量的標(biāo)準(zhǔn)差： （1）單次等精度測量的標(biāo)準(zhǔn)差：σ=δi2n，δi=li-L0（測得值與真值之差）；貝塞爾公式：σ=vi2n-1 評定單次測量不可靠性的參數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差（σ=vi2n-1）、或然誤差（ρ≈23vi2n-1）、平均誤差（θ≈45vi2n-1） （2）測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σx=σn，測量次數(shù)越大，測量精度越高，n≤10較為適宜。 評定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)差（σx=σn）、或然誤差（P=23vi2n(n-1)）、平均誤差（T≈45vi2n(n-1)） （3）標(biāo)準(zhǔn)差的其他計算方法 1）別捷爾斯法：σx=1.253×vinn-1； 2）極差法：σ=ωndn n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 dn 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74 3）最大誤差法：σ=δimaxKn，真值已知vimaxKn'，真值未知 5、等精度測量的極限誤差 （1）單次測量的極限誤差 正態(tài)分布時，δlimx=±3σ，t=3，P=99.73%； 一般地，δlimx=±tσ，t是置信系數(shù)。t=2.58，P=99% ；t=2，P=95.44%；t=1.96，P=95%。 （2）算術(shù)平均值的極限誤差 正態(tài)分布時，δlimx=±3σx；測量列的測量次數(shù)較少時，按“學(xué)生氏”分布或t分布計算δlimx=±tασx，tα是置信系數(shù)。自由度v=n-1，α是顯著水平，常取α=0.01,0.02,0.05。 解題步驟：1）求算術(shù)平均值x；2）求殘余誤差：vi=li-x；3）求標(biāo)準(zhǔn)差σ、σx；4）計算極限誤差δlimx 6、不等精度測量 （1）權(quán)：說明測量結(jié)果的可靠程度。 （2）權(quán)的確定：①測量次數(shù)pi=ni；②權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成正比p1:p2:…:pm=1σx12:1σx22:…:1σxm2 （3）加權(quán)算術(shù)平均值：x=pixipi；當(dāng)p1=p2=…=pm時，x=pximp=xim 簡化計算，x=x0+pi(xi-x0)pi，x0為接近xi的任選參考值。 （4）單位權(quán) （5）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：σx=σpi=pivxi2m-1pi=pivxi2(m-1)pi 7、隨機誤差的其他分布：均勻分布、反正弦分布、三角形分布、χ2分布、t分布、F分布。 二、系統(tǒng)誤差 1、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測量裝置方面的因素、環(huán)境方面的因素、測量方法的因素、測量人員方面的因素。 2、系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測量統(tǒng)一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或是在條件改變時，誤差按照一定規(guī)律變化。 系統(tǒng)誤差的統(tǒng)計規(guī)律： 1）在多次重復(fù)測量同一測量值時，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差； 2）系統(tǒng)誤差即是服從某一確定規(guī)律變化的誤差。 系統(tǒng)誤差的分類：不變的系統(tǒng)誤差、線性變化的系統(tǒng)誤差、周期性變化的系統(tǒng)誤差、復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 3、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法： （1）實驗對比法：是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，適用于不變的系統(tǒng)誤差； （2）殘余誤差觀察法： 1）若殘余誤差大體上是正負(fù)相同，且無顯著變化規(guī)律，則無根據(jù)懷疑是存在系統(tǒng)誤差； 2）若殘余誤差數(shù)值有規(guī)律地遞增或遞減，且在測量開始與結(jié)束時誤差符號相反，則存在誤差； 3）若殘余誤差符號有規(guī)律地逐漸由負(fù)變正，再由正變負(fù)，且循環(huán)交替重復(fù)變化，則存在周期性系統(tǒng)誤差。 （3）殘余誤差校核法： 1）用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差 將測量列中前k個殘余誤差相加，后（n-k）個殘余誤差相加（當(dāng)n為偶數(shù)，取k=n/2；n為奇數(shù)，k=n+1/2）兩者相減，若差值?顯著不為0，則有理由認(rèn)為測量列存在線性系統(tǒng)誤差（馬利科夫準(zhǔn)則）；若?=0，可能存在系統(tǒng)誤差。 2）用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差 若有一等精度測量列，按測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為v1，v2，…，vn，（阿卑-赫梅特準(zhǔn)則） 令u=vivi+1=v1v2+v2v3+…+vn-1vn，若u>n-1σ2，則認(rèn)為測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。 （4）不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法 對等精度測量，可用不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差： 1）按貝塞爾公式σ1=vi2n-1；2）按別捷爾斯公式σ2=1.253×vin(n-1)。 令σ2σ1=1+u，若u≥2n-1，則懷疑存在系統(tǒng)誤差。 （5）計算數(shù)據(jù)比較法 對同一量進行多組測量，得到很多數(shù)據(jù)，通過多組計算數(shù)據(jù)比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。 任意兩組結(jié)果xi和xj之間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：xi-xj<2σi2+σj2 （6）秩和檢驗法 將獨立測得的兩組數(shù)據(jù)，混合后，按大小順序重新排列，取測量次數(shù)較少的那一組，數(shù)出它的測得值在混合后的次序（即秩），再將所有測得值的次序相加，即得秩和T。 1）當(dāng)n1、n2≤10時，若T-<T<T+，則無根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差。 2）當(dāng)n1、n2＞10時，T~N（n1(n1+n2+1)2,n1n2(n1+n2+1)12），t=(T-a)/σ，選取概率?(t)，查正態(tài)分布積分表的t，若t≤tα，則無根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差。 （7）t檢驗法 獨立測得的兩組數(shù)據(jù)xi，i=1,2，…，nx；yi，i=1,2，…，ny 令t=(x-y)nxny(nx+ny-2)nx+ny[nx-1σx2+ny-1σy2]，服從自由度為nx+ny-2的t分布變量， 式中x=1nxxi，y=1nyyj，σx2=1nx-1(xi-x)2，σy2=1ny-1(yj-y)2 取顯著度α，由t分布表查Pt>tα=α中的tα，若算出t<tα，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 4、系統(tǒng)誤差的減小和消除 ①從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差； ②用修正法消除系統(tǒng)誤差； ③不變系統(tǒng)誤差消除法：代替法、抵消法、變換法； ④線性系統(tǒng)誤差消除法——對稱法； ⑤周期性系統(tǒng)誤差消除法——半周期法。 三、粗大誤差 1、粗大誤差產(chǎn)生原因： （1）測量人員的主觀原因：操作不當(dāng)、測量時不小心、不仔細(xì)； （2）客觀外界條件的原因：測量條件意外改變（如機械沖擊、外界振動） 2、粗大誤差的防止與消除：加強測量者的工作責(zé)任心；保證測量條件的穩(wěn)定。 3、判別粗大誤差的準(zhǔn)則 3σ準(zhǔn)則適用于測量次數(shù)較多的測量列；格羅布斯準(zhǔn)則的可靠度最高，適用于測量次數(shù)為n=20~100時；測量次數(shù)很小時，可采用羅曼若夫斯基準(zhǔn)則；狄克松準(zhǔn)則可快速從測量列中判別出是否含有粗大誤差。 （1）3σ準(zhǔn)則（萊以特準(zhǔn)則） 以測量次數(shù)充分大為前提，若發(fā)現(xiàn)有大于3σ的殘余誤差的測量值，即vi>3σ，則可認(rèn)為它含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。 （2）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則 當(dāng)測量次數(shù)較少時，按t分布的實際誤差分布范圍來判別粗大誤差，較為合理。 首先剔除一個可疑的測量值，然后按t分布檢驗被剔除的測量值是否含有粗大誤差。若xj-x>kσ,則認(rèn)為xj含有粗大誤差，剔除xj是正確的；x、σ為剔除xj后的測量值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，k是t分布的檢驗系數(shù)k(n,α)，n是測量次數(shù)。 （3）格羅布斯準(zhǔn)則 設(shè)對某量作多次等精度獨立測量，得x1，x2，…，xn 當(dāng)xi服從正態(tài)分布時，x=1nx，vi=xi-x，σ=v2n-1， 將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計量xi，而x1≤x2≤…≤xn 若認(rèn)為x1可疑，則有g(shù)1=x-x1σ；若認(rèn)為xn可疑，則有g(shù)n=xn-xσ。 當(dāng)g(i)≥g0(n,α)，即判別該測量值含有粗大誤差，并予以剔除。 （4）狄克松準(zhǔn)則（無需求出標(biāo)準(zhǔn)差σ） xi是x1，x2，…，xn的順序統(tǒng)計量，當(dāng)xi服從正態(tài)分布時，得到xn的統(tǒng)計量 n≤7， r10=xn-xn-1xn-x1 8≤n≤10， r11=x(n)-x(n-1)x(n)-x(2) 當(dāng)xn的統(tǒng)計量r<r0(n,α)時，不含粗大誤差 11≤n≤13，r21=x(n)-x(n-2)x(n)-x(2) n≥14， r22=xn-xn-2xn-x3 四、測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實例（誤差理論P52） 1、等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實例 步驟：①計算算術(shù)平均值；②求殘余誤差；③校核算術(shù)平均值及其殘余誤差；④判斷系統(tǒng)誤差；⑤求測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差；⑥判別粗大誤差；⑦求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差；⑧求算術(shù)平均值的極限誤差（δlimx=±tασx）；⑨寫出最后測量結(jié)果（L=x+δlimx）。（例2-24） 2、不等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實例 步驟：①求加權(quán)算術(shù)平均值；②求殘余誤差并進行校核；③求加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差；④求加權(quán)算術(shù)平均值的極限誤差（δlimx=±3σx）；⑤寫出最后測量結(jié)果（L=x+δlimx）。 第三章 誤差的合成與分配 1、隨機誤差的合成方法：方和根。 2、系統(tǒng)誤差的合成方法：代數(shù)和。 3、系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成 （1）按極限誤差合成 1）單次測量：Δ總=±ei2+δi2；2）多次測量：Δ總=±ei2+1nδi2（隨機誤差具有抵償性） （2）按標(biāo)準(zhǔn)差合成 1）單次測量：σ=ui2+σi2；2）多次測量：Δ總=ui2+1nσi2（隨機誤差具有抵償性） 4、微小誤差的取舍準(zhǔn)則：對于隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差，被舍去的誤差必須小于或等于測量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的1/3~1/10。 第四章 測量不確定度 一、測量不確定度的基本概念 1、測量不確定度可用兩種方法來評定：A類評定、B類評定。 （1）A類評定：用一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定； （2）B類評定：基于經(jīng)驗或其他信息所認(rèn)定的概率分布來評定。 二、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定 1、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定 在其他Xj（j≠i）保持不變的條件下，僅對Xi進行n次等精度獨立測量，用統(tǒng)計法由n個觀測值求得單次測量標(biāo)準(zhǔn)差σi，則xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uxi的數(shù)值按下列情況分別確定： （1）用單次測量值作為Xi的估計值xi，則uxi=σi； （2）用n次測量的平均值作為Xi的估計值xi，則uxi=σi/n。 2、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定 （1）測量估計值x受多個獨立因素影響，且影響大小相近，則假設(shè)為正態(tài)分布，由所取置信概率P的分布區(qū)間半寬a與包含因子kp來估計標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即ux=akp。 （2）估計值x取自有關(guān)資料，所給出的測量不確定度Ux為標(biāo)準(zhǔn)差的k倍時，則ux=Uxk。 （3）已知估計值x落在區(qū)間（x-a，x+a）內(nèi)的概率為1，且在區(qū)間內(nèi)各處出現(xiàn)的機會相等，則x服從均勻分布，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：ux=a3。 （4）當(dāng)估計值x受到兩個獨立且皆是具有均勻分布的因素影響，則x服從在區(qū)間（x-a，x+a）內(nèi)的三角分布，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：ux=a6。 （5）當(dāng)估計值x服從在區(qū)間（x-a，x+a）內(nèi)的反正弦分布，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：ux=a3。 3、自由度及其確定 （1）自由度概念 將不確定度計算表達式中總和包含的項數(shù)，減去各項之間存在的約束條件所得差值，用V表示； 意義：反映不確定度評定的質(zhì)量。自由度越大，標(biāo)準(zhǔn)差越可信賴，不確定度評定質(zhì)量越好。 （2）自由度的確定 1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評定的自由度 ①用貝塞爾法計算的標(biāo)準(zhǔn)差，自由度為v=n-1 ②別捷爾斯法、極差法、最大誤差法 2）標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評定的自由度 v=12σuu2 其中，σu為評定u的標(biāo)準(zhǔn)差；σu/u為評定u的相對標(biāo)準(zhǔn)差。 三、測量不確定度的合成 1、展伸不確定度Y=y±U，U=kuc，k是包含因子，uc是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，v=uc4ui4vi，k由t分布的臨界值決定，k=tp(v)，一般情況下可取k=2~3 2、不確定度的報告 用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示測量不確定度時，應(yīng)給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc及其自由度v； 用展伸不確定度表示測量不確定度時，應(yīng)給出展伸不確定度U、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc、自由度v、置信概率P和包含因子k； 3、結(jié)果表示 例：假設(shè)報告的而被測量Y是標(biāo)稱值為100g的標(biāo)準(zhǔn)砝碼，其測量的估計值y=100.02147g，對應(yīng)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc=0.35mg，自由度v=9，則測量結(jié)果可表示為： a、y=100.02147g，uc=0.35mg，v=9 b、Y=100.02147(35)g，v=9 c、Y=100.02147(0.00035)g，v=9 d、Y=(100.02147±0.00035)g，v=9 報告中合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度或展伸不確定度的有效數(shù)字不超過2位，不確定度的數(shù)值與被測量的估計值末位對齊 第五章 最小二乘法處理（P109例5-1） 一、最小二乘原理 最可信賴值應(yīng)在使殘余誤差平方和最小的條件下求得。 等精度測量時，v12+v22+…+vn2=vi2=最小 不等精度測量時，加權(quán)殘余誤差平方和最小 誤差方程v1=l1-(a11x1+a12x2+…+a1txt)v2=l2-(a21x1+a22x2+…+a2txt)?vn=ln-(an1x1+an2x2+…+antxt)， 設(shè)有列向量L=l1l2?ln，X=x1x2?xn，V=v1v2?vn，A=a11a12a21a22?a1t?a2t??an1an2???ant 其中：li是n個直接測量結(jié)果；xi是t個待求的被測量的估計量； vi是n個直接測量結(jié)果的殘余誤差；aij是n個誤差方程的n×t個系數(shù)。 可得線性測量參數(shù)的誤差方程式表示為：V=L-AX 等精度測量時，殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為：VTV=最小或L-AXT(L-AX)=最小 不等精度測量時，最小二乘原理的矩陣形式為：VTPV=最小或L-AXTP(L-AX)=最小 二、正規(guī)方程 1、等精度線性測量參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程 ATV=0，又V=L-AX，正規(guī)方程可表示為ATL-ATAX=0，即ATL=(ATA)X， 令C=ATA，則正規(guī)方程又可寫為CX=ATL，若A的秩等于t，則矩陣C是滿秩的，即C≠0，那么X必定有唯一解為X=C-1ATL，EX=X。 解題步驟：列誤差方程式；列出正規(guī)方程；解出待求估計量（解方程組或矩陣求解）；精度估計。 2、不等精度線性測量參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程 ATPV=0，又V=L-AX，正規(guī)方程可表示為ATP(L-AX)=0，即ATPL=ATPAX，則X=(ATPA)-1ATPL 令C*=A*TA*=ATPA，則 X=C*-1ATPL，EX=X。 三、精度估計 測量數(shù)據(jù)的精度估計 1、等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計σ=vi2n-t 2、不等精度測量數(shù)居的精度估計σ=pivi2n-t 四、組合測量的最小二乘處理 步驟：1）列出誤差方程；2）矩陣形式求解的最佳估計值；3）代入誤差方程求得測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；4）求不定乘數(shù)dij；5）求出估計量的標(biāo)準(zhǔn)差。 其中不定乘數(shù)dij是矩陣C-1中的各元素，即C-1=d11d12d21d22?d1t?d2t??dn1d2n???dnt；估計量對應(yīng)的方差為σx12=d11σ2σx22=d22σ2?σxt2=dttσ2 第六章 回歸分析（P139例6-1,2） 1、一元線性回歸方程y=b+b0x 其中b=Nxiyi-xiyiNxi2-xi2=lxylxxb0=(xi2)yi-xi(xiyi)Nxi2-xi2=y-bx，lxx=(xt-x)2=xt2-1Nxt2lxy=xt-x)(yt-y=xtyt-1Nxtytlyy=(yt-y)2=yt2-1Nyt2 2、一元線性回歸方程的方差分析和顯著性檢驗 （1）方差分析 S=(yt-y)2=lyy=U+Q=(yt-y)2+(yt-yt)2 其中，回歸平方和：U=(yt-y)2=(b0+bxt-b0-bx)2=b2(xt-x)2=bxt-x)(yt-y=blxy； 殘余平方和：Q=(yt-yt)2=S-U=lyy-blxy 如果總的離差平方和S是由N項組成，其自由度vs就是N-1，即vs=vU+vQ=N-1，在一元線性回歸問題中，vU=1，故vQ=N-2。 （2）顯著性檢驗（F檢驗法） F=U/vUQ/vQ，對一元線性回歸，F(xiàn)=U/1Q/(N-2) 檢驗時，需查出F分布表中對三種不同顯著水平a的數(shù)值，設(shè)記為Fa(1,N-2)，將F值與這三個數(shù)比較： 1）若F>F0.01(1,N-2)，則認(rèn)為回歸是高度顯著的（或稱在0.01水平上顯著）； 2）若F0.05(1,N-2)≤F<F0.01(1,N-2)，則稱回歸是顯著的（或稱在0.05水平上顯著）； 3）若F<F0.1(1,N-2)，一般認(rèn)為回歸不顯著的，此時y對x的線性關(guān)系不密切。 （3）殘余方差與殘余標(biāo)準(zhǔn)差 殘余方差：σ2=QN-2 殘余標(biāo)準(zhǔn)差：σ=QN-2 殘余標(biāo)準(zhǔn)差σ越小，回歸直線的精度越高。 （4）方差分析表 來源 平方和 自由度 方差 F 顯著性 回歸 U=(yi-y)2=blxy 1 σ2=Q/(N-2) F=U/1Q/(N-2) — 殘余 Q=(yi-yi)2=lyy-blxy N-2 總和 S=(yi-y)2=lyy N-1 — — — 專心---專注---專業(yè)