人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章 單元測試A試卷

人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章 單元測試A試卷 　 第　PAGE 2 頁 〔共　NUMPAGES 2 頁〕 【走進重高匯編】八下數(shù)學(xué)第十八章 單元測試A卷 一．選擇題〔共10小題〕 1．四邊形ABCD中，AD∥BC，要判定ABCD是平行四邊形，那么還必須滿足〔　　〕 A．∠B+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠B＝180°D．∠A+∠D＝180° 2．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設(shè)有以下條件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC與BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，則以下推理成立的是〔　　〕 A．①④?⑥B．②④?⑥C．①②?⑥D(zhuǎn)．①③?⑤ 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、G是AD的三等分點，F(xiàn)、H是BC的三等分點，則圖中平行四邊形共有〔　　〕 A．3個B．4個C．5個D．6個 4．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，∠AOB＝45°AE⊥BD，垂足是點E，則∠BAE的大小為〔　　〕 A．15°B．22.5°C．30°D．45° 5．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于點H，則線段DH的長為〔　　〕 A．B．C．D． 6．在菱形ABCD中，∠D：∠A＝5：1，假設(shè)菱形的周長為80cm，則菱形的高DE＝〔　　〕 A．20cmB．10cmC．10cmD．20cm 7．如圖，已知長方形ABCD，R，P分別是DC，BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當(dāng)點P在BC上從點B向點C移動，而點R不動時，那么以下結(jié)論成立的是〔　　〕 A．線段EF的長逐漸增大　　B．線段EF的長逐漸減少 C．線段EF的長不變　　　 D．線段EF的長先增大后變小 8．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，DC邊的中點，AN與MC交于P點，假設(shè)∠MCB＝∠NBC+33°，那么∠MPA的大小是〔　　〕 A．33°B．66°C．45°D．78° 9．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D是AC的中點，從D作DE⊥AC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連接DF，則DF的長是〔　　〕 A．4B．3C．2D．4 10．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，以下結(jié)論：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+，其中正確的序號是〔　　〕 A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④ 二．填空題〔共6小題〕 11．已知?ABCD中，∠A+∠C＝240°，則∠B的度數(shù)是　　 ?。? 12．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O．點E是CD的中點，BD＝12，則△DOE的周長為　　 ?。? 13．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，假設(shè)AE＝4，AF＝6，?ABCD的周長為40，則?ABCD的面積為　　 ?。? 14．如圖，在菱形ABCD中，M、N分別在AB、CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO，假設(shè)∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為　　 ?。? 15．如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E．假設(shè)∠CBF＝20°，則∠AED等于　　 　度． 16．如圖，正方形ABCD繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形BPQR，連接DQ，延長CP交DQ于E．假設(shè)CE＝5，ED＝4，則AB＝　　 ?。? 三．解答題〔共7小題〕 17．如圖，E、F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點，且AE＝DF．求證：BE＝CF． 18．如圖，?ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點，且AE＝CF，AF，BE交于點G，CE，DF交于點H．試問：EF和GH是否互相平分？為什么？ 19．〔1〕如圖①②，試研究其中∠1、∠2與∠3、∠4之間的數(shù)量關(guān)系； 〔2〕如果我們把∠1、∠2稱為四邊形的外角，那么請你用文字描述上述的關(guān)系式； 〔3〕用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決以下問題： 如圖③，AE、DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分線，∠B+∠C＝240°，求∠E的度數(shù)． 20．如圖，菱形ABCD中，AB＝a，∠ABC＝60°，點E、F分別在CB、DC的延長線上，∠EAF＝60°． 〔1〕求證：∠E＝∠F； 〔2〕求CE﹣CF的值． 21．如圖，P是正方形ABCD對角線AC上一點，點E在BC上，且PE＝PB． 〔1〕求證：PE＝PD； 〔2〕連接DE，試推斷∠PED的度數(shù)，并證實你的結(jié)論． 22．如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，點M、N分別以A、C為起點，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運動，設(shè)點M、N運動的時間為t秒〔0≤t≤6〕 〔1〕求BC邊上高AE的長度； 〔2〕連接AN、CM，當(dāng)t為何值時，四邊形AMCN為菱形； 〔3〕作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當(dāng)t為何值時，四邊形MPNQ為正方形． 23．已知兩個等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點C，∠ABC＝∠CEF＝90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME． 〔1〕如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF； 〔2〕如圖1，假設(shè)CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長； 〔3〕如圖2，當(dāng)∠BCE＝45°時，求證：BM＝ME． 【走進重高匯編】八下數(shù)學(xué)第十八章 單元測試A卷 參照答案與試題解析 一．選擇題〔共10小題〕 1．四邊形ABCD中，AD∥BC，要判定ABCD是平行四邊形，那么還必須滿足〔　　〕 A．∠B+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠B＝180°D．∠A+∠D＝180° 【解答】解：∵四邊形ABCD中，AD∥BC， ∴要想成為平行四邊形還必須AB∥CD， ∴當(dāng)∠B+∠C＝180°時，AB∥CD， 應(yīng)選：A． 2．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設(shè)有以下條件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC與BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，則以下推理成立的是〔　　〕 A．①④?⑥B．②④?⑥C．①②?⑥D(zhuǎn)．①③?⑤ 【解答】解：A、對角線相等的矩形不能得到正方形，故錯誤； B、對角線垂直的矩形是正方形，正確； C、對角線相等且垂直的四邊形不一定是正方形，故錯誤； D、對角線相等且平分的四邊形是矩形，但不但能得到菱形，故錯誤． 應(yīng)選：B． 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、G是AD的三等分點，F(xiàn)、H是BC的三等分點，則圖中平行四邊形共有〔　　〕 A．3個B．4個C．5個D．6個 【解答】解：∵E、G是AD的三等分點，F(xiàn)、H是BC的三等分點， ∴AE＝EG＝GD，BF＝FH＝HC＝． ∵有平行四邊形ABCD， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AE＝EG＝GD＝BF＝FH＝HC， ∴圖中的平行四邊形共有6個，它們分別為：平行四邊形ABCD，平行四邊形ABFE，平行四邊形ABHG，平行四邊形EFHG，平行四邊形EFCD，平行四邊形GHCD． 應(yīng)選：D． 4．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，∠AOB＝45°AE⊥BD，垂足是點E，則∠BAE的大小為〔　　〕 A．15°B．22.5°C．30°D．45° 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AE⊥BD， ∴∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADE+∠ABD＝90°， ∴∠BAE＝∠ADE ∵矩形對角線相等且互相平分， ∴∠OAB＝∠OBA＝＝67.5°， ∴∠BAE＝∠ADE＝90﹣67.5°＝22.5°， 應(yīng)選：B． 5．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于點H，則線段DH的長為〔　　〕 A．B．C．D． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD， ∴AD＝AB＝＝13， ∵DH⊥AB， ∴AO×BD＝DH×AB， ∴12×10＝13×DH， ∴DH＝， 應(yīng)選：C． 6．在菱形ABCD中，∠D：∠A＝5：1，假設(shè)菱形的周長為80cm，則菱形的高DE＝〔　　〕 A．20cmB．10cmC．10cmD．20cm 【解答】解：如圖，DE為菱形的高， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠D：∠A＝5：1， ∴∠A+5∠A＝180°，解得∠A＝30°， ∵菱形的周長為80cm， ∴AB＝20， 在Rt△ABE中，∵sin∠A＝， ∴BE＝20sin30°＝10〔cm〕． 應(yīng)選：B． 7．如圖，已知長方形ABCD，R，P分別是DC，BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當(dāng)點P在BC上從點B向點C移動，而點R不動時，那么以下結(jié)論成立的是〔　　〕 A．線段EF的長逐漸增大　　　B．線段EF的長逐漸減少 C．線段EF的長不變　　　　　D．線段EF的長先增大后變小 【解答】解：連接AR． ∵E、F分別是AP、RP的中點， ∴EF為△APR的中位線， ∴EF＝AR，為定值． ∴線段EF的長不改變． 應(yīng)選：C． 8．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，DC邊的中點，AN與MC交于P點，假設(shè)∠MCB＝∠NBC+33°，那么∠MPA的大小是〔　　〕 A．33°B．66°C．45°D．78° 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝∠BCN＝90°， ∵N為DC的中點， ∴DN＝CN， 在△ADN和△BCN中， ， ∴△ADN≌△BCN〔SAS〕， ∴∠CBN＝∠DAN， ∵AD∥BC， ∴∠MCB＝∠DMC， ∵∠DMC＝∠DAN+∠MPA，∠MCB＝∠NBC+33°，∠CBN＝∠DAN， ∴∠MPA＝33°， 應(yīng)選：A． 9．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D是AC的中點，從D作DE⊥AC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連接DF，則DF的長是〔　　〕 A．4B．3C．2D．4 【解答】解：∵△ABC為直角三角形，∠C＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴BC＝AC， ∵D為AC的中點， ∴BC＝DC， ∴在△DEC≌△BAC中， ∴△DEC≌△BAC， 即AB＝DE，∠DEB＝30°， ∴∠FED＝60°， ∵EF＝AB，∴EF＝DE， ∴△DEF為等邊三角形， 即DF＝AB， 在直角三角形ABC中，BC＝2，則AC＝4， ∴DF＝AB＝＝2， 應(yīng)選：C． 10．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，以下結(jié)論：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+，其中正確的序號是〔　　〕 A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④ 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE＝AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL〕， ∴BE＝DF， ∵BC＝DC， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF， ∴CE＝CF， ∴①說法正確； ∵CE＝CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠AEB＝75°， ∴②說法正確； 如圖，連接AC，交EF于G點， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAF≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③說法錯誤； ∵EF＝2， ∴CE＝CF＝， 設(shè)正方形的邊長為a， 在Rt△ADF中， AD2+DF2＝AF2，即a2+〔a﹣〕2＝4， 解得a＝， 則a2＝2+， S正方形ABCD＝2+， ④說法正確， 應(yīng)選：D． 二．填空題〔共6小題〕 11．已知?ABCD中，∠A+∠C＝240°，則∠B的度數(shù)是　60°　． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝240°， ∴∠A＝120°， ∴∠B＝60°； 故答案為：60°． 12．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O．點E是CD的中點，BD＝12，則△DOE的周長為　15?。? 【解答】解：∵?ABCD的周長為36， ∴2〔BC+CD〕＝36，則BC+CD＝18． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，BD＝12， ∴OD＝OB＝BD＝6． 又∵點E是CD的中點， ∴OE是△BCD的中位線，DE＝CD， ∴OE＝BC， ∴△DOE的周長＝OD+OE+DE＝BD+〔BC+CD〕＝6+9＝15， 即△DOE的周長為15． 故答案為：15． 13．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，假設(shè)AE＝4，AF＝6，?ABCD的周長為40，則?ABCD的面積為　48?。? 【解答】解：∵?ABCD的周長＝2〔BC+CD〕＝40， ∴BC+CD＝20①， ∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6， ∴S?ABCD＝4BC＝6CD， 整理得，BC＝CD②， 聯(lián)立①②解得，CD＝8， ∴?ABCD的面積＝AF?CD＝6CD＝6×8＝48． 故答案為：48． 14．如圖，在菱形ABCD中，M、N分別在AB、CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO，假設(shè)∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為　62°　． 【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC， ∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO， 在△AMO和△CNO中， ∴△AMO≌△CNO〔ASA〕， ∴AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°， ∵∠DAC＝28°， ∴∠BCA＝∠DAC＝28°， ∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°． 故答案為：62°． 15．如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E．假設(shè)∠CBF＝20°，則∠AED等于　65　度． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE， 在△ABE與△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE〔SAS〕， ∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE， ∵∠CBF＝20°， ∴∠ABE＝70°， ∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°， 故答案為：65 16．如圖，正方形ABCD繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形BPQR，連接DQ，延長CP交DQ于E．假設(shè)CE＝5，ED＝4，則AB＝　?。? 【解答】解：如圖，設(shè)AD與PQ相交于點O，連接BO，過點C作CM⊥DQ角QD的延長線于M， 在Rt△AOB和Rt△POB中， ， ∴Rt△AOB≌Rt△POB〔HL〕， ∴∠ABO＝∠PBO，AO＝PO， ∴AD﹣AO＝PQ﹣PO， 即OD＝OQ， ∴∠ODQ＝∠OQD， ∵∠PBO＝〔360°﹣90°×2﹣∠AOP〕＝〔180°﹣∠AOP〕， ∠ODQ＝〔180°﹣∠DOQ〕， ∠AOP＝∠DOQ〔對頂角相等〕， ∴∠PBO＝∠ODQ， ∵BC＝BP， ∴∠PCB＝〔180°﹣∠PBC〕＝〔180°﹣90°+2∠POB〕＝45°+∠PBO， ∠EDB＝∠ODQ+∠ADB＝∠PBO+45°， ∴∠EDB＝∠PCB， ∴∠CED＝∠CBD＝45°， ∴△CEM是等腰直角三角形， ∵CE＝5， ∴CM＝EM＝5， ∴DM＝EM﹣ED＝5﹣4＝1， 在Rt△CDM中，CD＝＝＝， ∴AB＝CD＝． 故答案為：． 三．解答題〔共7小題〕 17．如圖，E、F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點，且AE＝DF．求證：BE＝CF． 【解答】證實：∵矩形ABCD的對角線為AC和BD， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵E、F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點，AE＝DF， ∴EO＝FO， 在△BOE和△COF中， ∵ ∴△BOE≌△COF〔SAS〕， ∴BE＝CF． 18．如圖，?ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點，且AE＝CF，AF，BE交于點G，CE，DF交于點H．試問：EF和GH是否互相平分？為什么？ 【解答】解：EF和GH互相平分，理由如下： ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF， ∴四邊形AECF、EDFB為平行四邊形， ∴EH∥GF，GE∥FH， ∴四邊形EHFG為平行四邊形， ∴EF和GH互相平分． 19．〔1〕如圖①②，試研究其中∠1、∠2與∠3、∠4之間的數(shù)量關(guān)系； 〔2〕如果我們把∠1、∠2稱為四邊形的外角，那么請你用文字描述上述的關(guān)系式； 〔3〕用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決以下問題： 如圖③，AE、DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分線，∠B+∠C＝240°，求∠E的度數(shù)． 【解答】〔1〕解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四邊形的四個內(nèi)角， ∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， ∴∠3+∠4＝360°﹣〔∠5+∠6〕， ∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°， ∴∠1+∠2＝360°﹣〔∠5+∠6〕， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4； 〔2〕答：四邊形的任意兩個外角的和等于與它們不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 〔3〕解：∵∠B+∠C＝240°， ∴∠MDA+∠NAD＝240°， ∵AE、DE分別是∠NAD、∠MDA的平分線， ∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD， ∴∠ADE+∠DAE＝〔∠MDA+∠NAD〕＝×240°＝120°， ∴∠E＝180°﹣〔∠ADE+∠DAE〕＝180°﹣120°＝60°． 20．如圖，菱形ABCD中，AB＝a，∠ABC＝60°，點E、F分別在CB、DC的延長線上，∠EAF＝60°． 〔1〕求證：∠E＝∠F； 〔2〕求CE﹣CF的值． 【解答】〔1〕證實：連接AC，如圖所示： ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等邊三角形，∠ABE＝120°，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴BC＝AC＝AB＝a，∠BAC＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠ACF＝120°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF〔AAS〕， ∴∠E＝∠F； 〔2〕解：由〔1〕△ABE≌△ACF得：BE＝CF， ∴CE﹣CF＝BC+BE﹣CF＝BC＝a． 21．如圖，P是正方形ABCD對角線AC上一點，點E在BC上，且PE＝PB． 〔1〕求證：PE＝PD； 〔2〕連接DE，試推斷∠PED的度數(shù)，并證實你的結(jié)論． 【解答】〔1〕證實：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD， 在△PBC和△PDC中， ， ∴△PBC≌△PDC〔SAS〕， ∴PB＝PD， ∵PE＝PB， ∴PE＝PD； 〔2〕推斷∠PED＝45°． 證實：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵△PBC≌△PDC， ∴∠PBC＝∠PDC， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠PEB， ∴∠PDC＝∠PEB， ∵∠PEB+∠PEC＝180°， ∴∠PDC+∠PEC＝180°， 在四邊形PECD中，∠EPD＝360°﹣〔∠PDC+∠PEC〕﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°， 又∵PE＝PD， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴∠PED＝45°． 22．如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，點M、N分別以A、C為起點，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運動，設(shè)點M、N運動的時間為t秒〔0≤t≤6〕 〔1〕求BC邊上高AE的長度； 〔2〕連接AN、CM，當(dāng)t為何值時，四邊形AMCN為菱形； 〔3〕作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當(dāng)t為何值時，四邊形MPNQ為正方形． 【解答】解：〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB＝CD＝3cm． 在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°， ∴AE＝AB?sin∠B＝3×＝3〔cm〕； 〔2〕∵點M、N分別以A、C為起點，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運動，設(shè)點M、N運動的時間為t秒〔0≤t≤6〕， ∴AM＝CN＝t， ∵AM∥CN， ∴四邊形AMCN為平行四邊形， ∴當(dāng)AN＝AM時，四邊形AMCN為菱形． ∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t， ∴AN2＝32+〔6﹣t〕2， ∴32+〔6﹣t〕2＝t2， 解得t＝． 故當(dāng)t為時，四邊形AMCN為菱形； 〔3〕∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP， ∴四邊形MPNQ為矩形， ∴當(dāng)QM＝QN時，四邊形MPNQ為正方形． ∵AM＝CN＝t，BE＝3， ∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t， ∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣〔6﹣t〕|＝|2t﹣6|〔注：分點Q在點M的左右兩種狀況〕， ∵QN＝AE＝3， ∴|2t﹣6|＝3， 解得t＝4.5或t＝1.5． 故當(dāng)t為4.5或1.5秒時，四邊形MPNQ為正方形． 23．已知兩個等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點C，∠ABC＝∠CEF＝90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME． 〔1〕如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF； 〔2〕如圖1，假設(shè)CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長； 〔3〕如圖2，當(dāng)∠BCE＝45°時，求證：BM＝ME． 【解答】〔1〕證法一： 如答圖1a，延長AB交CF于點D， 則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD， ∴點B為線段AD的中點， 又∵點M為線段AF的中點， ∴BM為△ADF的中位線， ∴BM∥CF． 證法二： 如答圖1b，延長BM交EF于D， ∵∠ABC＝∠CEF＝90°， ∴AB⊥CE，EF⊥CE， ∴AB∥EF， ∴∠BAM＝∠DFM， ∵M是AF的中點， ∴AM＝MF， 在△ABM和△FDM中， ， ∴△ABM≌△FDM〔ASA〕， ∴AB＝DF， ∵BE＝CE﹣BC，DE＝EF﹣DF， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠EBM＝45°， ∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°， ∴∠EBM＝∠ECF， ∴MB∥CF； 〔2〕解法一： 如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a， ∴點B為AD中點，又點M為AF中點， ∴BM＝DF． 分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形， ∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝a， ∴點E為FG中點，又點M為AF中點， ∴ME＝AG． ∵CG＝CF＝a，CA＝CD＝a， ∴AG＝DF＝a， ∴BM＝ME＝×a＝a． 解法二：如答圖1b． ∵CB＝a，CE＝2a， ∴BE＝CE﹣CB＝2a﹣a＝a， ∵△ABM≌△FDM， ∴BM＝DM， 又∵△BED是等腰直角三角形， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM＝ME＝BE＝a； 〔3〕證法一： 如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD，AC＝CD， ∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM＝DF． 延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形， ∴CE＝EF＝EG，CF＝CG， ∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME＝AG． 在△ACG與△DCF中， ， ∴△ACG≌△DCF〔SAS〕， ∴DF＝AG， ∴BM＝ME． 證法二： 如答圖3b，延長BM交CF于D，連接BE、DE， ∵∠BCE＝45°， ∴∠ACD＝45°×2+45°＝135° ∴∠BAC+∠ACF＝45°+135°＝180°， ∴AB∥CF， ∴∠BAM＝∠DFM， ∵M是AF的中點， ∴AM＝FM， 在△ABM和△FDM中， ， ∴△ABM≌△FDM〔ASA〕， ∴AB＝DF，BM＝DM， ∴AB＝BC＝DF， 在△BCE和△DFE中， ， ∴△BCE≌△DFE〔SAS〕， ∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 又∵BM＝DM， ∴BM＝ME＝BD， 故BM＝ME． 第 29 頁 共 29 頁 文章源于網(wǎng)絡(luò)整理，侵權(quán)及時告知刪除。（Word格式，可編輯）