河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題四 與圓有關(guān)的計(jì)算訓(xùn)練.doc
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河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題四 與圓有關(guān)的計(jì)算訓(xùn)練.doc
專題四 與圓有關(guān)的計(jì)算
類型一 與切線有關(guān)的簡(jiǎn)單證明與計(jì)算
(xx昆明)如圖,AB是⊙O的直徑,ED切⊙O于點(diǎn)C,AD交⊙O于點(diǎn)F,AC平分∠BAD,連接BF.
(1)求證:AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半徑.
【分析】 (1)連接OC,先證明OC∥AD,然后利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE,從而得到AD⊥ED;(2)OC交BF于H,如解圖,利用圓周角定理得到∠AFB=90,再證明四邊形CDFH為矩形得到FH=CD,∠CHF=90,利用垂徑定理得到BH=FH,在Rt△ABF中,利用勾股定理計(jì)算出AB,從而得到⊙O的半徑.
【自主解答】 (1)證明:連接OC,如解圖,
∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OC∥AD,
∵ED切⊙O于點(diǎn)C,
∴OC⊥DE,∴AD⊥ED;
例1題解圖
(2)解:OC交BF于點(diǎn)H,如解圖,
∵AB為直徑,
∴∠AFB=90,
易得四邊形CDFH為矩形,
∴FH=CD=4,∠CHF=90,
∴OH⊥BF,
∴BH=FH=4,
∴BF=8,
在Rt△ABF中,AB===2,
∴⊙O的半徑為.
1.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,AB為半圓O的直徑,點(diǎn)C為半圓上任一點(diǎn).
(1)若∠BAC=30,過點(diǎn)C作半圓O的切線交直線AB于點(diǎn)P.求證:△PBC≌△AOC;
(2)若AB=6,過點(diǎn)C作AB的平行線交半圓O于點(diǎn)D,當(dāng)以點(diǎn)A、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí),求的長(zhǎng).
2.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,在⊙O中,∠AOB=120,點(diǎn)C為的中點(diǎn),延長(zhǎng)OC到點(diǎn)D,使CD=OC,AB交OC于點(diǎn)E.
(1)求證:DA是⊙O的切線;
(2)若OA=6,求弦AB的長(zhǎng).
3.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,△ABC中,∠ACB=90,D為AB上一點(diǎn),以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,交⊙O于點(diǎn)F,∠CAE=∠ADF.
(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若PF∶PC=1∶2,AF=5,求CP的長(zhǎng).
4.(xx金華)如圖,在Rt△ABC中,點(diǎn)O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E,連接AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若BC=8,tan B=,求⊙O的半徑.
5.(xx玉林)如圖,在△ABC中,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,∠DAC=∠B.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),若∠BCE=∠B,tan∠B=,⊙O的半徑是4,求EC的長(zhǎng).
6.(xx天津)已知AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38.
(Ⅰ)如圖①,若D為的中點(diǎn),求∠ABC和∠ABD的大??;
(Ⅱ)如圖②,過點(diǎn)D作⊙O的切線,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若DP∥AC,求∠OCD的大?。?
圖①
圖②
7.(xx信陽(yáng)一模)如圖,AB是⊙O的弦,D為半徑OA的中點(diǎn),過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,且CE=CB.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)連接AF,BF,求∠ABF的度數(shù).
8.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,AB是⊙O的直徑,C是的中點(diǎn),⊙O的切線BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,E是OB的中點(diǎn),CE的延長(zhǎng)線交切線BD于點(diǎn)F,AF交⊙O于點(diǎn)H,連接BH.
(1)求證:AC=CD;
(2)若OB=2,求BH的長(zhǎng).
類型二 與四邊形判定結(jié)合的證明與計(jì)算
(xx河南)如圖,AB是⊙O的直徑,DO⊥AB于點(diǎn)O,連接DA交⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作⊙O的切線交DO于點(diǎn)E,連接BC交DO于點(diǎn)F.
(1)求證:CE=EF;
(2)連接AF并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)G.填空:
①當(dāng)∠D的度數(shù)為________時(shí),四邊形ECFG為菱形;
②當(dāng)∠D的度數(shù)為________時(shí),四邊形ECOG為正方形.
例2題圖
【分析】 (1)連接OC,如解圖,利用切線的性質(zhì)得∠1+∠4=90,再利用等腰三角形的性質(zhì)和互余證明∠1=∠2,然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論;
(2)①要證明四邊形ECFG為菱形,可知△CEF為等邊三角形,∵∠ACB=90,∠CFE=60,∴∠D可求;
②∵四邊形ECOG為正方形,∴∠COG=90,∠COF=45,則∠COA=45,根據(jù)△ACO是等腰三角形,在Rt△AOD中,已知∠DAO,則∠D可求.
【自主解答】 (1)證明:連接OC,如解圖,
∵CE為切線,∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90,即∠1+∠4=90,
∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90,
∵∠2=∠3,∴∠2+∠B=90,
又∵OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;
(2)解:①當(dāng)∠D=30時(shí),四邊形ECFG為菱形,
【解法提示】∵四邊形ECFG為菱形,
∴CE=CF=FG=EG,
由(1)知CE=EF,
∴△ECF是等邊三角形,
∴∠CFD=60,
∵∠ACB=90,
∵∠DCF=90,
∴∠D=90-60=30.
②當(dāng)∠D=22.5時(shí),四邊形ECOG為正方形.
【解法提示】
例2題解圖
∵四邊形ECOG為正方形,
∴CO=CE,∴∠OCE=90,
∴△COE是等腰直角三角形,
∴∠COE=45,
∵DO⊥AB,
∴∠DOA=90,
∴COA=∠DOA-∠COE=45,
∵OA=OC,
∴∠CAB=67.5,
∴∠D=90-62.5=22.5.
1.(xx河南)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E.
(1)求證:MD=ME;
(2)填空:
①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí),DE=______;
②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為__________時(shí),四邊形ODME是菱形.
2.(xx河南)如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BP到點(diǎn)C,使PC=PB,D是AC的中點(diǎn),連接PD、PO.
(1)求證:△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,則四邊形AOPD的最大面積為______;
②連接OD,當(dāng)∠PBA的度數(shù)為__________時(shí),四邊形BPDO是菱形.
3.(xx河南)如圖,CD是⊙O的直徑,且CD=2 cm,點(diǎn)P為CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.
(1)連接AC,若∠APO=30,試證明△ACP是等腰三角形;
(2)填空:
①當(dāng)DP=______ cm時(shí),四邊形AOBD是菱形;
②當(dāng)DP=________ cm時(shí),四邊形AOBP是正方形.
4.(xx駐馬店一模)如圖,AC是⊙O的直徑,點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上,且PC=CO,點(diǎn)B在⊙O上,且∠CAB=30.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)若D為圓O上任一動(dòng)點(diǎn),⊙O的半徑為5 cm時(shí),
①當(dāng)弧CD長(zhǎng)為______時(shí),四邊形ADPB為菱形;
②當(dāng)弧CD長(zhǎng)為______時(shí),四邊形ADCB為矩形.
5.(xx濮陽(yáng)一模)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,OD∥AC,AD=OC.
(1)求證:四邊形OCAD是平行四邊形;
(2)探究:
①當(dāng)∠B=________時(shí),四邊形OCAD是菱形;
②當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí),AD與⊙O相切?請(qǐng)說明理由.
6.(xx河南模擬)已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,⊙O是經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓,CD與⊙O相切于點(diǎn)C,點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B、C點(diǎn)重合),連接PA、PB、PC.
(1)求證:CA=CB;
(2)①當(dāng)點(diǎn)P滿足______________時(shí),△CPA≌△ABC,請(qǐng)說明理由;
②當(dāng)∠ABC的度數(shù)為__________時(shí),四邊形ABCD是菱形.
7.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,且AB=AC.延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=CA,連接AD交圓O于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABE≌△CDE.
(2)填空:
①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為________時(shí),四邊形AOCE是菱形;
②若AE=,AB=2,則DE的長(zhǎng)為_________.
8.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,半圓O的直徑為AB,點(diǎn)M為半圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)N為的中點(diǎn),ND⊥AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)M的切線交DN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.
(1)若MC∥AB,
①求證:AD=CN;
②填空:四邊形OMCD是何種特殊的四邊形?________.
(2)填空:當(dāng)∠ANM=____________時(shí),四邊形ANMO為菱形.
9.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90,以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:OE∥AD;
(2)填空:
①∠BAC=________時(shí),四邊形ODEB是正方形;
②當(dāng)∠BAC=________時(shí),AD=3DE.
10.(xx濮陽(yáng)一模)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P是AB下方的半圓上不與點(diǎn)A,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C為AP中點(diǎn),延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D,連接AD,過點(diǎn)D作⊙O的切線交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連CE交AB于點(diǎn)F,連接DF.
(1)求證:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①四邊形ACED是何種特殊的四邊形?
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,線段DF、AP的數(shù)量關(guān)系是______________.
11.如圖,已知⊙A的半徑為4,EC是⊙A的直徑,點(diǎn)B是⊙A的切線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AB交⊙A于點(diǎn)D,弦EF平行于AB,連接DF,AF.
(1)試判斷直線BF與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)填空:
①當(dāng)∠CAB=__________時(shí),四邊形ADFE為菱形;
②當(dāng)EF=___________時(shí),四邊形ACBF為正方形.
12.(xx河南說明與檢測(cè))如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若過點(diǎn)A且與BC平行的直線交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接CG.設(shè)⊙O的半徑為5.
①當(dāng)CF=__________時(shí),四邊形ABCG為菱形;
②當(dāng)BC=4時(shí),四邊形ABCG的面積是__________.
參考答案
類型一
針對(duì)訓(xùn)練
1.(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90.
∵∠BAC=30,∴∠ABC=60.
∵OB=OC,∴△OBC是等邊三角形.
∴OC=BC,∠OBC=∠BOC=60.
∴∠AOC=∠PBC=120.
∵CP是⊙O的切線,∴OC⊥CP.
∴∠OCP=90.∴∠ACO=∠PCB.
在△AOC和△PBC中,
,∴△PBC≌△AOC.
(2)解:如解圖①,∵四邊形AOCD為菱形,
∴OA=AD=CD=OC.
連接OD,則OA=OD=OC,
∴△AOD和△COD都是等邊三角形.
∴∠AOD=∠COD=60.
∴∠BOC=60.
∴的長(zhǎng)為=π.
如解圖②,同理,∠BOC=120,的長(zhǎng)為=2π.
綜上可知,的長(zhǎng)為π或2π.
圖①
圖②
第1題解圖
2.(1)證明:如解圖,連接AC.∵C是的中點(diǎn),
∴=.
第2題解圖
∵∠AOB=120,
∴∠AOC=∠BOC=60.
∵OA=OC,
∴△AOC是等邊三角形.
∴∠OAC=∠OCA=60,AC=OC.
∵CD=OC,
∴CD=AC.
∴∠DAC=∠D=∠OCA=30.
∴∠DAO=∠OAC+∠DAC=90.
∵OA是⊙O的半徑,
∴DA是⊙O的切線.
(2)解:∵OA=OC,∠AOC=∠BOC=60,
∴AE=BE,OE⊥AB.
在Rt△AOE中,AE=OAsin 60=6=3.
∴AB=2AE=6.
3.(1)證明:AB與⊙O相切,理由如下:
∵∠ACB=90,
∴∠CAE+∠AEC=90,
∵∠CAE=∠ADF,
∠AEC=∠FDC,
∴∠ADF+∠FDC=90,即∠ADC=90.
∴CD⊥AB.
又∵CD為⊙O的直徑,∴AB與⊙O相切.
第3題解圖
(2)解:連接FC,DE,如解圖,
∵CD為⊙O的直徑,∴∠DEC=90,
∵∠ACB=90,
∴DE∥AC,∴∠CAE=∠DEA,
∵∠DEA=∠DCF,
∴∠CAE=∠DCF,即∠CAP=∠FCP,
∵∠CPA=∠FPC,
∴△CAP~△FCP,
∴=,
∴==,
∴PA=2PC=4PF,
∴PF=AF=,
∴CP=2PF=.
4.(1)證明:連接OD,
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90,
∴∠4=180-(∠2+∠3)=90,
第4題解圖
∴OD⊥AD,
∵OD為⊙O的半徑,
∴AD為⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,
在Rt△ABC中,AC=BCtan B=4,
根據(jù)勾股定理得:AB==4,
∴OA=4-r,
在Rt△ACD中,tan∠1=tan B=,
∴CD=ACtan∠1=2,
根據(jù)勾股定理得:AD2=AC2+CD2=16+4=20,
在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,即(4-r)2=r2+20,
解得:r=.
5.(1)證明:∵AB是直徑,∴∠ADB=90,
∴∠B+∠BAD=90,
∵∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠BAD=90,
∴∠BAC=90,
∴BA⊥AC,
∴AC是⊙O的切線.
(2)解:∵∠BCE=∠B,
∴EC=EB,設(shè)EC=EB=x,
在Rt△ABC中,tan∠B==,AB=8,
∴AC=4,
在Rt△AEC中,∵EC2=AE2+AC2,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,
∴CE=5.
6.解:(Ⅰ)∵AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38,
∴∠ACB=90,∠ABC=52,
∵D為的中點(diǎn),∠AOB=180,
∴∠AOD=90,
∴∠ABD=45.
(Ⅱ)連接OD,如解圖,
∵DP切⊙O于點(diǎn)D,
∴OD⊥DP,即∠ODP=90,
由DP∥AC,又∵∠BAC=38,
∴∠P=∠BAC=38,
∵∠AOD是△ODP的一個(gè)外角,
∴∠AOD=∠P+∠ODP=128,
∴∠ACD=64,
∵OC=OA,∠BAC=38,
∴∠OCA=∠BAC=38,
∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=64-38=26.
第6題解圖
7.(1)證明:連接OB,如解圖,
∵CE=CB,
∴∠CBE=∠CEB,
∵CD⊥OA,
∴∠DAE+∠AED=90,
又∵∠CEB=∠AED,
∴∠DAE+∠CBE=90,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠OBA+∠CBE=90,即∠OBC=90,
∴OB⊥BC,∵OB是⊙O的半徑,
∴BC是⊙O的切線;
(2)解:連接OF,交AB于點(diǎn)H,如解圖,
∵DF⊥OA,AD=OD,
∴FA=FO,
又∵OF=OA,
∴△OAF為等邊三角形,
∴∠AOF=60,
∴∠ABF=∠AOF=30.
第7題解圖
8.(1)證明:連接OC,如解圖,
第8題解圖
∵C是的中點(diǎn),AB是⊙O的直徑,
∴CO⊥AB.
∵BD是⊙O的切線,
∴BD⊥AB.
∴OC∥BD,
∵OA=OB,
∴AC=CD.
(2)解:∵E是OB的中點(diǎn),
∴OE=BE.
在△COE和△FBE中,∠CEO=∠FEB,OE=BE,
∠COE=∠FBE,
∴△COE≌FBE,
∴CO=BF,∵OB=2,
∴BF=2,∴AF==2,
∵AB是直徑,∴BH⊥AF,
∴△ABF∽△BHF,
∴=,
即ABBF=AFBH,
∴BH===.
類型二
針對(duì)訓(xùn)練
1.(1)證明:∵∠ABC=90,AM=MC,
∴BM=AM=MC,∴∠A=∠ABM,
∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ADE+∠ABE=180,
又∵∠ADE+∠MDE=180,∴∠MDE=∠MBA,
同理證明:∠MED=∠A,
∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.
(2)解:①由(1)可知,∠A=∠MDE,
∴DE∥AB,∴=,
∵AD=2DM,∴DM∶MA=1∶3,
∴DE=AB=6=2.
故答案為2.
第1題解圖
②當(dāng)∠A=60時(shí),四邊形ODME是菱形.理由如下:
如解圖,∵四邊形ODME是菱形,∴OD=OE=DM=MG,
∵DM=ME,
∴△DME是等邊三角形,∴∠EDM=60,∵DE∥AB,
∴∠A=∠MDE=60.
2.(1)證明:∵PC=PB,D是AC的中點(diǎn),
∴DP∥AB,
∴DP=AB,∠CPD=∠PBO,
∵BO=AB,
∴DP=BO,
在△CDP與△POB中,
,
∴△CDP≌△POB(SAS);
(2)4【解法提示】①當(dāng)四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時(shí)有最大面積,∵AB=4,∴OA=2,∴最大面積為22=4;
第2題解圖
②60【解法提示】連接OD,如解圖,∵DP∥AB,DP=BO,
∴四邊形BPDO是平行四邊形,
∵四邊形BPDO是菱形,∴PB=BO,
∵PO=BO,∴PB=BO=PO,
∴△PBO是等邊三角形,∴∠PBA的度數(shù)為60.
第3題解圖
3.(1)證明:連接OA,如解圖,
∵PA是⊙O的切線,∴OA⊥PA,
在Rt△AOP中,∠AOP=90-∠APO=90-30=60,
∴∠ACP=30,
∵∠APO=30,∴∠ACP=∠APO,∴AC=AP,
∴△ACP是等腰三角形.
(2)解:①DP=1,理由如下:
∵四邊形AOBD是菱形,
∴OA=AD=OD,∴∠AOP=60,
∴OP=2OA,DP=OD.∴DP=1,
②DP=-1,理由如下:
∵四邊形AOBP是正方形,∴∠AOP=45,
∵OA=PA=1,OP=,
∴DP=OP-1,∴DP=-1.
4.(1)證明:如解圖①,連接OB、BC.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30,
∴∠COB=∠OAB+∠OBA=60,
∵OB=OC,
∴△OBC是等邊三角形,
∴BC=OC,∵PC=OC,
∴BC=CO=CP,
∴∠PBO=90,
∴OB⊥PB,∵OB是⊙O的半徑,
∴PB是⊙O的切線.
圖①
圖②
圖③
第4題解圖
(2)解:①的長(zhǎng)為 cm時(shí),四邊形ADPB是菱形.理由如下:
如解圖②,∵四邊形ADPB是菱形,∠CAB=30,
∴∠DAC=30,
∴∠COD=2∠CAD=60,
∴的長(zhǎng)為= cm.
②當(dāng)弧CD的長(zhǎng)為 cm時(shí),
四邊形ADCB為矩形,理由如下:
如解圖③,當(dāng)四邊形ADCB是矩形時(shí),易知∠COD=120,∴的長(zhǎng)為= cm.
5.(1)證明:∵OA=OC,AD=OC,
∴OA=AD,
∠AOD=∠ADO,
∵OD∥AC,
∴∠OAC=∠AOD,
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO,
∴∠AOC=∠OAD,
∴OC∥AD,
∴四邊形OCAD是平行四邊形;
(2)解:①30【解法提示】∵四邊形OCAD是菱形,
∴OC=AC,
又∵OC=OA,
∴OC=OA=AC,
∴∠AOC=60,
∴∠B=∠AOC=30;
②當(dāng)∠B=45時(shí),AD與⊙O相切,理由如下:
∵AD與⊙O相切,
∴∠OAD=90,
∵AD∥OC,
∴∠AOC=90,
∴∠B=∠AOC=45.
6.(1)證明:連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,如解圖①,
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C,
∴CE⊥CD,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴CE⊥AB,
∴AE=BE,
∴BC=AC;
(2)解:①當(dāng)AC=AP時(shí),△CPA≌△ABC.
理由如下:∵AC=BC,AC=AP,
∴∠ABC=∠BAC,∠APC=∠ACP,
∵∠ABC=∠APC,
∴∠BAC=∠ACP,
在△CPA與△ABC中,,
∴△CPA≌△ABC;
圖①
圖②
第6題解圖
②當(dāng)∠ABC的度數(shù)為60時(shí),四邊形ABCD是菱形.理由如下:
如解圖②,連接OC,OB,
∵∠ABC=60,
∴∠BCD=120,
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C,
∴∠OCD=90,
∴∠BCO=30,
∵OB=OC,
∴∠OBC=30,
∴∠ABO=30,
∴BO垂直平分AC,
∴AB=BC,
∴四邊形ABCD是菱形.
7.(1)證明:∵AB=AC, CD=CA,
∴∠ABC=∠ACB,AB=CD.
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ABC+∠AEC=180,∠BAE+∠BCE=180.
∵∠CED+∠AEC=180,∠ECD+∠BCE=180,
∴∠CED=∠ABC,∠ECD=∠BAE.
∴∠CED=∠ACB.
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠CED=∠AEB.
在△ABE和△CDE中,
∴△ABE≌△CDE.
(2)解:①60;②.
8.解:(1)① 連接ON,如解圖.
點(diǎn)N為的中點(diǎn),∴AN=MN,
∵OA=OM,ON=ON,∴△AON≌△MON.
∴∠OAN=∠OMN,
∵CM為⊙O的切線,∴CM⊥OM.
第8題解圖
∴∠CMN+∠OMN=90,
∵ND⊥AB,
∴∠NAD+∠AND=90,
∴∠AND=∠CMN,
∵M(jìn)C∥AB,CD⊥AB,
∴MC⊥ND,即∠NCM=90.
又∵AN=NM,∠ADN=90,
∴△AND≌△NMC,∴AD=CN.
②矩形.
(2)120.
9.(1)證明:連接OD,
∵DE是⊙O的切線,
∴OD⊥DE,
第9題解圖
在Rt△ODE和Rt△OBE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OBE.
∴∠DOE=∠BOE=∠DOB,
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO=∠DOB,
∴∠BOE=∠A,
∴OE∥AD.
(2)解:①45?、?0
10.(1)證明:∵DE為⊙O的切線,
∴OD⊥DE,
∴∠CDE=90,
∵點(diǎn)C為AP的中點(diǎn),
∴DC⊥AP,
∴∠DCA=∠DCP=90,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠APB=90,
∴四邊形DEPC為矩形,
∴DC=EP,
在△DAC和△ECP中,
,
∴△DAC≌△ECP;
(2)解:①∵△DAC≌△ECP,
∴AD=CE,∠DAC=∠ECP,
∴AD∥CE,
∴四邊形ACED是平行四邊形;
②DF=AP.理由如下:
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∵AD∥CE,
∴∠ADO=∠DCF,
∴∠DAO=∠DCF,
∴A,C,F(xiàn),D四點(diǎn)共圓,
∴=,
∴AC=DF,
∵AC=AP,
∴DF=AP.
11.(1)證明:BF與⊙A相切,理由如下:
∵BC是⊙A的切線,∠ACB=90,
∵EF∥AB,
∴∠AEF=∠CAB,∠AFE=∠FAB,
又∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴∠FAB=∠CAB,
在△ABC和△ABF中
,
∴△ABC≌△ABF(SAS);
∴∠AFB=∠ACB=90,∵AF是⊙A的半徑,
∴BF與⊙O相切.
(2)①解:60理由如下:
連接CF,如解圖所示,
第11題解圖
若四邊形ADFE為菱形,則AE=EF=FD=DA,
又∵CE=2AE,CE是圓A的直徑,
∴CE=2EF,∠CFE=90,
∴∠ECF=30,
∴∠CEF=60,
∵EF∥AB,
∴∠AEF=∠CAB,
∴∠CAB=60;
②4.理由如下:
若四邊形ACBF為正方形,則AC=CB=BF=FA=4,且AF⊥AE,
∴EF==4.
第12題解圖
12.(1)證明:連接OD,
∵AB=AC,OB=OD,
∴∠ABC=∠ACB,∠OBD=∠ODB,
∴∠ACB=∠ODB,∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,
∴DF為⊙O的切線.
(2)解:①2.5.?、?00.