（廣西專用）2019中考數(shù)學(xué)二輪新優(yōu)化復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題6 圓的相關(guān)證明與計(jì)算針對(duì)訓(xùn)練.doc

第二部分　專題六 類型1　與全等三角形相關(guān)證明與計(jì)算 1．(xx梧州)如圖，過(guò)⊙O上的兩點(diǎn)A，B分別作切線，并交BO、AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，D，連接CD，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)圓心O作OM⊥CD，垂足為M點(diǎn)． 求證：(1)△ACO≌△BDO； (2)CE＝DF. 證明：(1)∵AC，BD為⊙O的切線， ∴∠CAO＝∠DBO＝90， 在△ACO和△BDO中， ∴△ACO≌△BDO(ASA)． (2)∵△ACO≌△BDO，∴CO＝DO. ∵OM⊥CD，∴MC＝DM，EM＝MF，∴CE＝DF. 2．(xx北京)如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD. (1)求證：OP⊥CD； (2)連接AD，BC，若∠DAB＝50，∠CBA＝70， OA＝2，求OP的長(zhǎng)． (1)證明：如答圖，連接OC，OD.∴OC＝OD. ∵PD，PC是⊙O的切線， ∴∠ODP＝∠OCP＝90. 在Rt△ODP和Rt△OCP中， ∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)， ∴∠DOP＝∠COP， ∵OD＝OC，∴OP⊥CD. (2)解：∵OA＝OD＝OC＝OB＝2， ∴∠ADO＝∠DAO＝50，∠BCO＝∠CBO＝70， ∴∠AOD＝80，∠BOC＝40， ∴∠COD＝60.∵OD＝OC， ∴△COD是等邊三角形， 由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30， 在Rt△ODP中，OP＝＝. 3．(xx賀州)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，連接BD. (1)求證：AF⊥EF； (2)若AC＝6，CF＝2，求⊙O的半徑． (1)證明：如答圖1，連接OD. ∵EF是⊙O的切線，且點(diǎn)D在⊙O上， ∴OD⊥EF.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO. ∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF. (2)解：如答圖2，過(guò)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，連接CD.∵∠BAD＝∠DAF，AF⊥EF， ∴BD＝CD，DG＝DF， 在Rt△ADF和Rt△ADG中， ∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL)， 同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG， ∴BG＝CF＝2，AG＝AF＝AC＋CF＝6＋2＝8， ∴AB＝AG＋BG＝8＋2＝10， ∴⊙O的半徑為AB＝5. 4．(xx蘇州)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD垂直于過(guò)點(diǎn)C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E.延長(zhǎng)DA交⊙O于點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G，連接OC. (1)求證：CD＝CE； (2)若AE＝GE，求證：△CEO是等腰直角三角形． 證明：(1)連接AC.∵CD是⊙O的切線， ∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90， ∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OC＝OA， ∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO. ∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90， 在△CDA和△CEA中，∵ ∴△CDA≌△CEA(AAS)，∴CD＝CE. (2)連接BC.∵△CDA≌△CEA， ∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE＝EG， ∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90， ∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.∵∠B＝∠F， ∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG. ∵∠D＝90，∴∠DCF＋∠F＝90， ∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5， ∴∠AOC＝2∠F＝45， ∴△CEO是等腰直角三角形． 類型2　與相似三角形相關(guān)證明與計(jì)算 1．(xx玉林適應(yīng)考試)如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，點(diǎn)C在OP上，且BC＝PC. (1)求證：直線BC是⊙O的切線； (2)若OA＝3，AB＝2，求BP的長(zhǎng)． (1)證明：如答圖，連接OB. ∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA. 又∵BC＝ PC， ∴∠P＝∠CBP.∵OP⊥AD， ∴∠A＋∠P＝90， ∴∠OBA＋∠CBP＝90， ∴∠OBC＝180－(∠OBA ＋∠CBP)＝90. ∵點(diǎn)B在⊙O上，直線BC是⊙O的切線． (2)解：如答圖，連接DB. ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ABD ＝90， ∴Rt△ABD∽R(shí)t△AOP， ∴＝，即＝，解得AP＝9， ∴BP＝AP－BA＝9－2＝7. 2．(xx賀州)如圖，AB是⊙O的弦，過(guò)AB的中點(diǎn)E作EC⊥OA，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作直線BD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，使得DB＝DE. (1)求證：BD是⊙O的切線； (2)若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面積． (1)證明：∵OA＝OB，DB＝DE， ∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE.∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC， ∴∠A＋∠DEB＝90， ∴∠OBA＋∠DBE＝90，∴∠OBD＝90. ∵OB是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線． (2)解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接OE，如答圖． ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB＝12， ∴AE＝EB＝6，OE⊥AB. 又∵DE＝DB，DF⊥BE， ∴DE＝DB＝5， ∴EF＝BF＝3，∴DF＝＝4. ∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF. ∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90， ∴△AEO∽△DFE，∴＝， 即＝，得EO＝， ∴S△AOB＝ABOE＝12＝27. 3．(xx隨州)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，CN為⊙O的切線，OM⊥AB于點(diǎn)O，分別交AC，CN于D，M兩點(diǎn)． (1)求證：MD＝MC； (2)若⊙O的半徑為5，AC＝4，求MC的長(zhǎng)． (1)證明：如答圖，連接OC. ∵CN為⊙O的切線， ∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90. ∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，∴MD＝MC. (2)解：由題意可知AB＝52＝10，AC＝4. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90， ∴BC＝＝2. ∵∠AOD＝∠ACB，∠OAD＝∠CAB， ∴△AOD∽△ACB, ∴＝，即＝，可得OD＝.設(shè)MC＝MD＝x， 在Rt△OCM中，由勾股定理得(x＋)2＝x2＋52， 解得x＝，即MC＝. 4．(xx來(lái)賓)如圖，在△ABC中，∠C＝90，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，AE為⊙O的直徑． (1)判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)求證：△ABD∽△DBE； (3)若cosB＝，AE＝4，求CD. (1)解：結(jié)論：BC與⊙O相切． 證明：如答圖，連接OD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD. ∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切線． (2)證明：∵BC是⊙O的切線，∴∠ODB＝90， ∴∠BDE＋∠ODE＝90.∵AE是⊙O的直徑， ∴∠ADE＝90，∴∠DAE＋∠AED＝90. ∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED， ∴∠DAB＝∠BDE.∵∠ABD＝∠DBE， ∴△ABD∽△DBE. (3)解：在Rt△ODB中，∵cosB＝＝， ∴設(shè)BD＝2k，OB＝3k.∵OD2＋BD2＝OB2， ∴4＋8k2＝9k2，∴k＝2，∴BO＝6，BD＝4. ∵DO∥AC, ∴＝，∴＝， ∴CD＝. 類型3　與銳角三角函數(shù)相關(guān)證明與計(jì)算 1．(xx畢節(jié))如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線交AB于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且∠ABG＝2∠C. (1)求證：EG是⊙O的切線； (2)若tanC＝，AC＝8，求⊙O的半徑． (1)證明：如答圖，連接OE，BE.∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C＋∠A，∴∠C＝∠A，∴BC＝AB. ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠CEB＝90，∴CE＝AE. ∵CO＝OB，∴OE∥AB. ∵GE⊥AB， ∴EG⊥OE.又∵OE是⊙O半徑，∴EG是⊙O的切線． (2)解：∵AC＝8，∴CE＝AE＝4.∵tanC＝＝，∴BE＝2，∴BC＝＝2， ∴CO＝，即⊙O的半徑為. 2．(xx貴港二模)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接BD, DE. (1)求證： DE是⊙O的切線； (2)若AB＝3AD，求sinC. (1)證明：連接OD.∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90，∴∠BDC＝90.∵E為BC的中點(diǎn)， ∴DE＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD.∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD.∵∠ABC＝90， ∴∠EDO＝∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABC＝90，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑， ∴DE是⊙O的切線. (2)解：∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90， ∴∠ABD＋∠BAD＝90.∵∠ABC＝90， ∴∠C＋∠BAC＝90，∴∠C＝∠ABD.∵AB＝3AD，∴sin∠ABD＝＝，∴sinC＝. 3．(xx柳州三模)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于F，切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K. (1)求證： KE＝GE； (2)若KC2＝KDCE ，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)在(2)的條件下，若sinE＝，AK＝2 ，求FG的長(zhǎng)． 第3題答圖 (1) 解：如答圖1，連接OG. ∵EG是⊙O的為切線，∴∠KGE＋∠OGA＝90. ∵CD⊥AB, ∴∠AKH＋∠OAG＝90. 又∵OA＝OG, ∴∠OGA＝∠OAG, ∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE, ∴KE＝GE. (2)解：AC∥EF.理由：連接GD，如答圖2所示． ∵KG2＝KDGE，即＝， ∴＝， 又∵∠KGE＝∠GKE，∴△GKD∽△EGK , ∴∠E＝∠AGD.又∵∠C＝∠AGD, ∴∠E＝∠C, ∴AC∥EF. (3) 解：連接OG，OC，如答圖3所示． ∵sinE＝sin∠ACH＝，設(shè)AH＝3t，則AC＝5t，CH＝4t.∵KE＝GE，AC∥EF, ∴CK＝AC＝5t, ∴HK＝CK－CH＝t.在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH2＋HK2＝AK2，即(3t)2＋t2＝(2)2， 解得t＝.設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OCH中， OC＝r，OH＝r－3t，CH＝4t，由勾股定理得OH2＋CH2＝OC2，即(r－3t)2＋(4t)2＝r2，解得r＝ . ∵EF為⊙O的切線， ∴△OGF為直角三角形，在Rt△OGF中，OG＝r，tan∠OFG＝tan∠CAH＝＝， ∴FG＝＝＝. 4．(xx北海)在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D, ⊙O的切線BP與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接DE，BE. (1)求證：＝； (2)求證：∠AED＝∠BCP； (3)已知：sin∠BAD＝，AB＝10，求BP的長(zhǎng)． (1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90，即AD⊥BC.又∵AB＝AC， ∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝. (2)證明： ∵AB是⊙O的直徑，AD⊥BC， ∴BD＝DC.∵＝，∴BD＝DE， ∴DC＝DE，∴∠DEC＝∠DCE. ∵∠AED＋∠DEC＝180，∠DCE＋∠BCP＝180， ∴∠AED＝∠BCP. (3)解：∵sin∠BAD＝＝，AB＝10， ∴AC＝AB＝10，BD＝2，∴DC＝DE＝2. 設(shè)EC＝x，則AE＝10－x， ∵在Rt△ABE中，BE2＝AB2－AE2, 在Rt△BEC中，BE2＝BC2－EC2，∴AB2－AE2＝BC2－EC2， 即102－(10－x)2＝(2＋2)2－x2， 解得x＝4，∴ EC＝4，AE＝6，∴BE＝＝＝8. ∵∠ABE＋∠EBP＝90，∠EBP＋∠P＝90， ∴∠ABE＝∠P. 又∵∠AEB＝∠ABP＝90，∴△ABE∽△APB， ∴＝，即＝，∴BP＝. 類型4　與特殊三角形相關(guān)證明與計(jì)算 1．(xx欽州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F. (1)求證：AD是⊙O的切線； (2)若AC＝4，∠C＝30，求的長(zhǎng)． (1)證明：如答圖，連接OE. ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB. ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠EBD， ∴∠OEB＝∠EBD，∴OE∥BD. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC， ∴∠OEA＝∠BDA＝90.∵點(diǎn)F有⊙O上，∴AD是⊙O的切線． (2)解：∵AB＝AC＝4，∠C＝∠B＝30， ∴BD＝2.設(shè)⊙O的半徑為r，則BO＝OE＝r，AO＝AB－OB＝4－r.∵OE∥BD，∴＝， 即＝，解得r＝8－12， ∴l(xiāng)＝＝(－2)π. 2．(xx巴中)如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，與過(guò)點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E，連接AD. (1)求證：AD＝AE； (2)若AB＝6，AC＝4，求AE的長(zhǎng)． (1)證明：∵AE與⊙O相切， AB是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90， ∠ADB＝90.∵CE∥AB，∴∠E＝90， ∴∠E＝∠ADB.∵在△ABC中，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA. ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠BCA＝∠ACE.又∵AC＝AC， ∴△ADC≌△AEC(AAS)，∴AD＝AE. (2)解：設(shè)AE＝AD＝x，CE＝CD＝y(tǒng)， 則BD＝6－y. ∵△AEC和△ADB為直角三角形， ∴AE2＋CE2＝AC2，AD2＋BD2＝AB2，將AB＝6， AC＝4，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y(tǒng)，BD＝6－y代入，解得x＝，y＝，即AE的長(zhǎng)為. 3．(xx南寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)若OB＝10，CD＝8，求BE的長(zhǎng)． (1)證明：如答圖，連接OD. ∵BD為∠ABC的平分線， ∴∠1＝∠2.∵OB＝OD， ∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， ∴OD∥BC.∵∠C＝90， ∴∠ODA＝90. ∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴AC為⊙O的切線； (2)解：過(guò)O作OG⊥BC，連接OE，如答圖． ∴四邊形ODCG為矩形， ∴GC＝OD＝OB＝10， OG＝CD＝8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得 BG＝6.∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BE＝2BG＝12. 類型5　與特殊四邊形相關(guān)證明與計(jì)算 1．(xx畢節(jié))如圖，已知⊙O的直徑CD＝6，A，B為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形OABC是平行四邊形，過(guò)A點(diǎn)作直線EF∥BD，分別交CD，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，AO與BD交于G點(diǎn)． (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)求AE的長(zhǎng)． (1)證明：∵CD為⊙O的直徑，∴∠DBC＝90， ∴BD⊥BC.∵四邊形OABC是平行四邊形， ∴AO∥BC，∴BD⊥OA.∵EF∥BD， ∴OA⊥EF.∵點(diǎn)A在⊙O上，∴EF是⊙O的切線． (2)解：連接OB，如答圖． ∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA＝BC，而OB＝OC＝OA， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC為等邊三角形，∴∠C＝60. ∴∠AOE＝∠C＝60. 在Rt△OAE中， ∵tan∠AOE＝， ∴AE＝3tan60＝3. 2．(xx貴港二模)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的⊙O與AD，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠ACB＝∠DCE. 第2題圖 (1)求證：直線CE與⊙O相切； (2)若tan∠BAC＝，BC＝2，求⊙O的半徑． (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD， ∴∠BCA＝∠DAC.又∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠DAC＝∠DCE.連接OE， 則∠DAC＝∠AEO＝∠DCE. ∵∠DCE＋∠DEC＝90， ∴∠AEO＋∠DEC＝90， ∴∠OEC＝90，即OE⊥CE. 又∵OE是⊙O的半徑， ∴直線CE與⊙O相切． (2)解：∵tan∠BAC＝，BC＝2，∴AB＝ ， ∴AC＝.∵∠DCE＝∠ACB， ∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝， ∴DE＝DCtan∠DCE＝1. 在Rt△CDE中，CE＝＝. 設(shè)⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中， CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3， 解得r＝. 3．(xx貴港)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圓． (1)求證：AB是⊙O的切線； (2)若AC＝8，tan∠BAC＝，求⊙O的半徑． (1)證明：連接OP，OA，OP交AD于點(diǎn)E，如答圖． 第3題答圖 ∵PA＝PD， ∴＝，∴OP⊥AD，AE＝DE， ∴∠1＋∠OPA＝90. ∵OP＝OA，∴∠OAP＝∠OPA， ∴∠1＋∠OAP＝90. ∵四邊形ABCD為菱形， ∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP＝90， ∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切線． (2)解：連接BD，交AC于點(diǎn)F，如答圖． ∵四邊形ABCD為菱形， ∴DB與AC互相垂直平分． ∵AC＝8，tan∠BAC＝， ∴AF＝4，tan∠DAC＝＝， ∴DF＝2，∴AD＝＝2， ∴AE＝.在Rt△PAE中，tan∠1＝＝， ∴PE＝.設(shè)⊙O的半徑為R， 則OE＝R－，OA＝R，在Rt△OAE中， ∵OA2＝OE2＋AE2， ∴R2＝(R－)2＋()2， ∴R＝，即⊙O的半徑為. 4．如圖，正方形ABCD頂點(diǎn)A，D在⊙O上，邊BC經(jīng)過(guò)⊙O上一定點(diǎn)P，且PF平分∠AFC，邊 AB，CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF. (1)求證：BC是⊙O的切線； (2)若FC＝2，求PC的長(zhǎng)． (1)證明：如答圖，連接OP. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90，AB＝BC. ∵PF平分∠AFC， ∴∠AFP＝∠PFC.∵OP＝OF， ∴∠AFP＝∠OPF，∴∠PFC＝∠OPF， ∴OP∥CD， ∴∠BPO＝∠C＝90，∴OP⊥BC. 又∵OP是⊙O的半徑， ∴BC是⊙O的切線． (2)解：如答圖，連接AP.∵∠D＝90， ∴AF是⊙O的直徑， ∴∠AEF＝∠APF＝90， ∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90. ∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA， ∴＝＝，∴BP＝BC＝BA. ∵∠APB＋∠FPC＝90，∠PFC＋∠FPC＝90， ∴∠APB＝∠PFC.∵∠B＝∠C＝90， ∴△APB∽△PFC, ∴＝＝，∴＝＝，∴PC＝2FC＝4.