2019高考數學一輪復習 第八章 立體幾何 8.6 空間向量在立體幾何中的應用課件 理.ppt

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考點空間向量及其應用1 設a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 則a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 b 0 a b a1b1 a2b2 a3b3 0 2 設A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 x2 x1 y2 y1 z2 z1 這就是說 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 3 兩個向量的夾角及兩點間的距離公式 1 已知a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 則 a b 知識清單 a b a1b1 a2b2 a3b3 cos 2 已知A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 或者dAB 其中dAB表示A與B兩點間的距離 這就是空間兩點的距離公式 4 向量a在向量b上的投影為 a cos 5 設n是平面 的一個法向量 AB CD是 內的兩條相交直線 則n 0 n 0 由此可求出一個法向量n 向量及已知 6 利用空間向量證明線面平行 只要在平面 內找到一條直線 其方向向量為b b 0 已知直線的方向向量為a 問題轉化為證明a b 0 即可 或者已知直線上的A B兩點坐標 在平面 內找出兩點C D 寫成坐標形式 x1 y1 z1 x2 y2 z2 只要證明x1 x2 y1 y2且z1 z2 0 即可 7 利用空間向量證明兩條異面直線垂直 在兩條異面直線上各取一個向量a b 只要證明a b 即a b 0即可 8 證明線面垂直 已知直線l 平面 要證l 只要在l上取一個非零向量p 在 內取兩個不共線的向量a b 問題轉化為證明 p a且p b 也就是證明 a p 0且b p 0 9 證明面面平行 面面垂直 最終都要轉化為證明線線平行 線線垂直 10 空間角公式 1 異面直線所成角公式 設a b分別為異面直線l1 l2的方向向量 為異面直線所成的角 則cos cos 2 線面角公式 設l為平面 的斜線 a為l的方向向量 n為平面 的法向量 為l與 所成的角 則sin cos 3 面面角公式 設n1 n2分別為平面 的法向量 二面角為 則 或 需要根據具體情況判斷相等或互補 其中cos 11 點到平面的距離公式P為平面 外一點 a n分別為平面 的過P點的斜向量 法向量 d為P到 的距離 則d a cos 設不同直線l m的方向向量分別為a b 不同平面 的法向量分別為u v 則l m a b a kb k R且k 0 l a u a u 0 u v u v R且 0 例1 2017天津 17 13分 如圖 在三棱錐P ABC中 PA 底面ABC BAC 90 點D E N分別為棱PA PC BC的中點 M是線段AD的中點 PA AC 4 AB 2 1 求證 MN 平面BDE 2 求二面角C EM N的正弦值 利用空間向量解決平行問題的方法 方法技巧 3 已知點H在棱PA上 且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 求線段AH的長 解析如圖 以A為原點 分別以 方向為x軸 y軸 z軸正方向建立空間直角坐標系 依題意可得A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 4 0 P 0 0 4 D 0 0 2 E 0 2 2 M 0 0 1 N 1 2 0 1 證明 0 2 0 2 0 2 設n x y z 為平面BDE的法向量 則 即不妨設z 1 可得n 1 0 1 又 1 2 1 可得 n 0 因為MN 平面BDE 所以MN 平面BDE 2 易知n1 1 0 0 為平面CEM的一個法向量 設n2 x y z 為平面EMN的法向量 則因為 0 2 1 1 2 1 所以不妨設y 1 可得n2 4 1 2 因此有cos 于是sin 所以 二面角C EM N的正弦值為 3 依題意 設AH h 0 h 4 則H 0 0 h 進而可得 1 2 h 2 2 2 由已知 得 cos 整理得10h2 21h 8 0 解得h 或h 所以 線段AH的長為或 方法總結利用空間向量法證明線面位置關系與計算空間角的步驟 1 根據題目中的條件 充分利用垂直關系 建立適當的空間直角坐標系 盡量使相關點在坐標軸上 求出相關點的坐標 2 求出相關直線的方向向量及相關平面的法向量 根據題目的要求 選擇適當的公式 將相關的坐標代入進行求解或證明 3 檢驗 得出最后結論 設不同直線l m的方向向量分別為a b 不同平面 的法向量分別為u v 則l m a b a b 0 l a u a ku k R且k 0 u v u v 0 例2 2016河南洛陽二模 19 如圖 正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直 已知BC 4 AB AD 2 1 求證 AC BF 2 在線段BE上是否存在一點P 使得平面PAC 平面BCEF 若存在 求出的值 若不存在 請說明理由 利用空間向量解決垂直問題的方法 解題導引 解析 1 證明 平面ADEF 平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD AF AD AF 平面ADEF AF 平面ABCD AC 平面ABCD AF AC 2分 過A作AH BC于H 則BH 1 AH CH 3 AC 2 AB2 AC2 BC2 AC AB AB AF A AC 平面FAB BF 平面FAB AC BF 5分 2 存在 由 1 知 AF AB AC兩兩互相垂直 以A為坐標原點 的方向分別為x軸 y軸 z軸正方向 建立如圖所示的空間直角坐標系A xyz 則A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 2 0 E 1 2 7分 假設在線段BE上存在一點P滿足題意 設 0 則P 設平面PAC的法向量為m x y z 由 0 2 0 得即令x 1 則z 所以m 為平面PAC的一個法向量 9分 同理 可求得n 為平面BCEF的一個法向量 10分 當m n 0 即 時 平面PAC 平面BCEF 故存在這樣的點 此時 12分 評析本題考查了垂直問題的證明方法 考查了線線 線面 面面垂直的相互轉化 利用向量法求解探索性問題是解題的關鍵 1 兩條異面直線所成角的向量求法設異面直線l m的方向向量分別為a b 其夾角為 異面直線l m所成的角為 則根據cos cos 求 2 直線與平面所成角的向量求法設直線l的方向向量為a 平面的法向量為u 直線與平面所成的角為 a與u的夾角為 則根據sin cos 或cos sin 求 3 二面角的平面角的向量求法 1 若AB CD分別是二面角 l 的兩個面內與棱l垂直的異面直線 則二面角的平面角就是向量與的夾角 如圖甲 空間角與距離的向量求法 2 設n1 n2分別是二面角 l 的兩個面 的法向量 則向量n1與n2的夾角 或其補角 就是二面角的平面角 如圖乙 丙 4 點面距離的向量求法如圖 已知AB為平面 的一條斜線段 n為平面 的法向量 則B到平面 的距離 cos 5 線面 面面距離均可轉化為點面距離 用求點面距離的方法進行求解 例3 2017浙江 19 15分 如圖 已知四棱錐P ABCD PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形 BC AD CD AD PC AD 2DC 2CB E為PD的中點 1 證明 CE 平面PAB 2 求直線CE與平面PBC所成角的正弦值 解題導引 解析解法一 1 證明 如圖 設PA中點為F 連接EF FB 因為E F分別為PD PA中點 所以EF AD且EF AD 又因為BC AD BC AD 所以EF BC且EF BC 即四邊形BCEF為平行四邊形 所以CE BF 因此CE 平面PAB 2 分別取BC AD的中點為M N 連接PN交EF于點Q 連接MQ 因為E F N分別是PD PA AD的中點 所以Q為EF中點 在平行四邊形BCEF中 MQ CE 由 PAD為等腰直角三角形得PN AD 由DC AD N是AD的中點得BN AD 所以AD 平面PBN 由BC AD得BC 平面PBN 那么平面PBC 平面PBN 過點Q作PB的垂線 垂足為H 連接MH MH是MQ在平面PBC上的射影 所以 QMH是直線CE與平面PBC所成的角 設CD 1 在 PCD中 由PC 2 CD 1 PD 得CE 在 PBN中 由PN BN 1 PB 得QH 在Rt MQH中 QH MQ 所以sin QMH 所以 直線CE與平面PBC所成角的正弦值是 解法二 1 證明 設AD的中點為O 連接OB OP PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形 OP AD BC AD OD 且BC OD 四邊形BCDO為平行四邊形 又 CD AD OB AD OP OB O AD 平面OPB 過點O在平面POB內作OB的垂線OM 交PB于M 以O為原點 OB所在直線為x軸 OD所在直線為y軸 OM所在直線為z軸 建立空間直角坐標系 如圖 設CD 1 則有A 0 1 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 設P x 0 z z 0 由PC 2 OP 1 得得x z 即點P 而E為PD的中點 E 設平面PAB的法向量為n x1 y1 z1 1 1 0 方法總結1 證明直線與平面平行的方法 例 求證 l 利用線面平行的判定定理 在平面 內找到一條與直線l平行的直線m 從而得到l 利用面面平行的性質 過直線l找到 或作出 一個平面 滿足 從而得l 向量法 i 求出平面 的法向量n和直線l的方向向量l 證明n l 0 結合l 可得l ii 證明直線l的方向向量l能被平面 內的兩個基向量所表示 結合l 可得l