2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.6 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用課件 理.ppt

考點(diǎn)空間向量及其應(yīng)用1 設(shè)a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 則a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 b 0 a b a1b1 a2b2 a3b3 0 2 設(shè)A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 x2 x1 y2 y1 z2 z1 這就是說 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 3 兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式 1 已知a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 則 a b 知識(shí)清單 a b a1b1 a2b2 a3b3 cos 2 已知A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 或者dAB 其中dAB表示A與B兩點(diǎn)間的距離 這就是空間兩點(diǎn)的距離公式 4 向量a在向量b上的投影為 a cos 5 設(shè)n是平面 的一個(gè)法向量 AB CD是 內(nèi)的兩條相交直線 則n 0 n 0 由此可求出一個(gè)法向量n 向量及已知 6 利用空間向量證明線面平行 只要在平面 內(nèi)找到一條直線 其方向向量為b b 0 已知直線的方向向量為a 問題轉(zhuǎn)化為證明a b 0 即可 或者已知直線上的A B兩點(diǎn)坐標(biāo) 在平面 內(nèi)找出兩點(diǎn)C D 寫成坐標(biāo)形式 x1 y1 z1 x2 y2 z2 只要證明x1 x2 y1 y2且z1 z2 0 即可 7 利用空間向量證明兩條異面直線垂直 在兩條異面直線上各取一個(gè)向量a b 只要證明a b 即a b 0即可 8 證明線面垂直 已知直線l 平面 要證l 只要在l上取一個(gè)非零向量p 在 內(nèi)取兩個(gè)不共線的向量a b 問題轉(zhuǎn)化為證明 p a且p b 也就是證明 a p 0且b p 0 9 證明面面平行 面面垂直 最終都要轉(zhuǎn)化為證明線線平行 線線垂直 10 空間角公式 1 異面直線所成角公式 設(shè)a b分別為異面直線l1 l2的方向向量 為異面直線所成的角 則cos cos 2 線面角公式 設(shè)l為平面 的斜線 a為l的方向向量 n為平面 的法向量 為l與 所成的角 則sin cos 3 面面角公式 設(shè)n1 n2分別為平面 的法向量 二面角為 則 或 需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ) 其中cos 11 點(diǎn)到平面的距離公式P為平面 外一點(diǎn) a n分別為平面 的過P點(diǎn)的斜向量 法向量 d為P到 的距離 則d a cos 設(shè)不同直線l m的方向向量分別為a b 不同平面 的法向量分別為u v 則l m a b a kb k R且k 0 l a u a u 0 u v u v R且 0 例1 2017天津 17 13分 如圖 在三棱錐P ABC中 PA 底面ABC BAC 90 點(diǎn)D E N分別為棱PA PC BC的中點(diǎn) M是線段AD的中點(diǎn) PA AC 4 AB 2 1 求證 MN 平面BDE 2 求二面角C EM N的正弦值 利用空間向量解決平行問題的方法 方法技巧 3 已知點(diǎn)H在棱PA上 且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 求線段AH的長(zhǎng) 解析如圖 以A為原點(diǎn) 分別以 方向?yàn)閤軸 y軸 z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 依題意可得A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 4 0 P 0 0 4 D 0 0 2 E 0 2 2 M 0 0 1 N 1 2 0 1 證明 0 2 0 2 0 2 設(shè)n x y z 為平面BDE的法向量 則 即不妨設(shè)z 1 可得n 1 0 1 又 1 2 1 可得 n 0 因?yàn)镸N 平面BDE 所以MN 平面BDE 2 易知n1 1 0 0 為平面CEM的一個(gè)法向量 設(shè)n2 x y z 為平面EMN的法向量 則因?yàn)?0 2 1 1 2 1 所以不妨設(shè)y 1 可得n2 4 1 2 因此有cos 于是sin 所以 二面角C EM N的正弦值為 3 依題意 設(shè)AH h 0 h 4 則H 0 0 h 進(jìn)而可得 1 2 h 2 2 2 由已知 得 cos 整理得10h2 21h 8 0 解得h 或h 所以 線段AH的長(zhǎng)為或 方法總結(jié)利用空間向量法證明線面位置關(guān)系與計(jì)算空間角的步驟 1 根據(jù)題目中的條件 充分利用垂直關(guān)系 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 盡量使相關(guān)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo) 2 求出相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量 根據(jù)題目的要求 選擇適當(dāng)?shù)墓?將相關(guān)的坐標(biāo)代入進(jìn)行求解或證明 3 檢驗(yàn) 得出最后結(jié)論 設(shè)不同直線l m的方向向量分別為a b 不同平面 的法向量分別為u v 則l m a b a b 0 l a u a ku k R且k 0 u v u v 0 例2 2016河南洛陽(yáng)二模 19 如圖 正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直 已知BC 4 AB AD 2 1 求證 AC BF 2 在線段BE上是否存在一點(diǎn)P 使得平面PAC 平面BCEF 若存在 求出的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 利用空間向量解決垂直問題的方法 解題導(dǎo)引 解析 1 證明 平面ADEF 平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD AF AD AF 平面ADEF AF 平面ABCD AC 平面ABCD AF AC 2分 過A作AH BC于H 則BH 1 AH CH 3 AC 2 AB2 AC2 BC2 AC AB AB AF A AC 平面FAB BF 平面FAB AC BF 5分 2 存在 由 1 知 AF AB AC兩兩互相垂直 以A為坐標(biāo)原點(diǎn) 的方向分別為x軸 y軸 z軸正方向 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz 則A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 2 0 E 1 2 7分 假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意 設(shè) 0 則P 設(shè)平面PAC的法向量為m x y z 由 0 2 0 得即令x 1 則z 所以m 為平面PAC的一個(gè)法向量 9分 同理 可求得n 為平面BCEF的一個(gè)法向量 10分 當(dāng)m n 0 即 時(shí) 平面PAC 平面BCEF 故存在這樣的點(diǎn) 此時(shí) 12分 評(píng)析本題考查了垂直問題的證明方法 考查了線線 線面 面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 利用向量法求解探索性問題是解題的關(guān)鍵 1 兩條異面直線所成角的向量求法設(shè)異面直線l m的方向向量分別為a b 其夾角為 異面直線l m所成的角為 則根據(jù)cos cos 求 2 直線與平面所成角的向量求法設(shè)直線l的方向向量為a 平面的法向量為u 直線與平面所成的角為 a與u的夾角為 則根據(jù)sin cos 或cos sin 求 3 二面角的平面角的向量求法 1 若AB CD分別是二面角 l 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線 則二面角的平面角就是向量與的夾角 如圖甲 空間角與距離的向量求法 2 設(shè)n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)面 的法向量 則向量n1與n2的夾角 或其補(bǔ)角 就是二面角的平面角 如圖乙 丙 4 點(diǎn)面距離的向量求法如圖 已知AB為平面 的一條斜線段 n為平面 的法向量 則B到平面 的距離 cos 5 線面 面面距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離 用求點(diǎn)面距離的方法進(jìn)行求解 例3 2017浙江 19 15分 如圖 已知四棱錐P ABCD PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形 BC AD CD AD PC AD 2DC 2CB E為PD的中點(diǎn) 1 證明 CE 平面PAB 2 求直線CE與平面PBC所成角的正弦值 解題導(dǎo)引 解析解法一 1 證明 如圖 設(shè)PA中點(diǎn)為F 連接EF FB 因?yàn)镋 F分別為PD PA中點(diǎn) 所以EF AD且EF AD 又因?yàn)锽C AD BC AD 所以EF BC且EF BC 即四邊形BCEF為平行四邊形 所以CE BF 因此CE 平面PAB 2 分別取BC AD的中點(diǎn)為M N 連接PN交EF于點(diǎn)Q 連接MQ 因?yàn)镋 F N分別是PD PA AD的中點(diǎn) 所以Q為EF中點(diǎn) 在平行四邊形BCEF中 MQ CE 由 PAD為等腰直角三角形得PN AD 由DC AD N是AD的中點(diǎn)得BN AD 所以AD 平面PBN 由BC AD得BC 平面PBN 那么平面PBC 平面PBN 過點(diǎn)Q作PB的垂線 垂足為H 連接MH MH是MQ在平面PBC上的射影 所以 QMH是直線CE與平面PBC所成的角 設(shè)CD 1 在 PCD中 由PC 2 CD 1 PD 得CE 在 PBN中 由PN BN 1 PB 得QH 在Rt MQH中 QH MQ 所以sin QMH 所以 直線CE與平面PBC所成角的正弦值是 解法二 1 證明 設(shè)AD的中點(diǎn)為O 連接OB OP PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形 OP AD BC AD OD 且BC OD 四邊形BCDO為平行四邊形 又 CD AD OB AD OP OB O AD 平面OPB 過點(diǎn)O在平面POB內(nèi)作OB的垂線OM 交PB于M 以O(shè)為原點(diǎn) OB所在直線為x軸 OD所在直線為y軸 OM所在直線為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè)CD 1 則有A 0 1 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 設(shè)P x 0 z z 0 由PC 2 OP 1 得得x z 即點(diǎn)P 而E為PD的中點(diǎn) E 設(shè)平面PAB的法向量為n x1 y1 z1 1 1 0 方法總結(jié)1 證明直線與平面平行的方法 例 求證 l 利用線面平行的判定定理 在平面 內(nèi)找到一條與直線l平行的直線m 從而得到l 利用面面平行的性質(zhì) 過直線l找到 或作出 一個(gè)平面 滿足 從而得l 向量法 i 求出平面 的法向量n和直線l的方向向量l 證明n l 0 結(jié)合l 可得l ii 證明直線l的方向向量l能被平面 內(nèi)的兩個(gè)基向量所表示 結(jié)合l 可得l