高一數(shù)學(xué)必修一-教案-2.3-二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2．3　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 第1課時(shí)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程．了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.2.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式．經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系． 知識(shí)點(diǎn)一　一元二次不等式的概念 定義 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù) 知識(shí)點(diǎn)二　一元二次函數(shù)的零點(diǎn) 一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)． 知識(shí)點(diǎn)三　二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－ 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ? ? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 預(yù)習(xí)小測(cè)　自我檢驗(yàn) 1．下面所給關(guān)于x的幾個(gè)不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定為一元二次不等式的有________．(填序號(hào)) 答案?、冖? 解析　一定是一元二次不等式的為②④. 2．不等式x(2－x)>0的解集為_(kāi)_______． 答案　{x|0<x<2} 解析　原不等式可化為x(x－2)<0，∴0<x<2. 3．不等式4x2－9<0的解集是________． 答案　 解析　原不等式可化為x2<，即－<x<. 4．已知一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集為R，則a的取值范圍是________． 答案　{a|a<－1} 解析　由題意知∴∴a<－1. 一、解不含參數(shù)的一元二次不等式 例1　解下列不等式： (1)－x2＋5x－6>0； (2)3x2＋5x－2≥0； (3)x2－4x＋5>0. 解　(1)不等式可化為x2－5x＋6<0. 因?yàn)棣ぃ?－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：x1＝2，x2＝3. 由二次函數(shù)y＝x2－5x＋6的圖象(如圖①)，得原不等式的解集為{x|2<x<3}． (2)因?yàn)棣ぃ?5－4×3×(－2)＝49>0， 所以方程3x2＋5x－2＝0的兩實(shí)根為x1＝－2，x2＝. 由二次函數(shù)y＝3x2＋5x－2的圖象(圖②)，得原不等式的解集為. (3)方程x2－4x＋5＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，函數(shù)y＝x2－4x＋5的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，與x軸無(wú)交點(diǎn)(如圖③)．觀察圖象可得，不等式的解集為R. 反思感悟　解一元二次不等式的一般步驟 第一步：把一元二次不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項(xiàng)系數(shù)為正，右邊為0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根據(jù)二次函數(shù)圖象直接寫(xiě)出解集；若Δ≥0，求出對(duì)應(yīng)方程的根寫(xiě)出解集． 跟蹤訓(xùn)練1　解下列不等式： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根x1＝x2＝.作出函數(shù)y＝4x2－4x＋1的圖象如圖．由圖可得原不等式的解集為. (2)原不等式可化為x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0無(wú)實(shí)根， ∴原不等式的解集為?. 二、三個(gè)“二次”間的關(guān)系及應(yīng)用 例2　已知二次函數(shù)y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集為{x|－3<x<2}． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)當(dāng)關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為R時(shí)，求c的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閥>0的解集為{x|－3<x<2}， 所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的兩根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. (2)因?yàn)閍＝－3<0，所以二次函數(shù)y＝－3x2＋5x＋c的圖象開(kāi)口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集為R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－. 所以當(dāng)c≤－時(shí)，－3x2＋5x＋c≤0的解集為R. 反思感悟　三個(gè)“二次”之間的關(guān)系 (1)三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來(lái)研究． (2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過(guò)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，關(guān)系如下： 特別提醒：由于忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和不等號(hào)的開(kāi)口易寫(xiě)錯(cuò)不等式的解集形式． 跟蹤訓(xùn)練2　已知關(guān)于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集為. (1)求a，c的值； (2)解關(guān)于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解　(1)由題意知，不等式對(duì)應(yīng)的方程ax2＋5x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化為－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集為. 三、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例3　設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0. 解　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，不等式可化為x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集為{x|x>2}． (2)當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的兩根分別為2和－. ①當(dāng)a<－時(shí)，解不等式得－<x<2， 即原不等式的解集為； ②當(dāng)a＝－時(shí)，不等式無(wú)解， 即原不等式的解集為?； ③當(dāng)－<a<0時(shí)，解不等式得2<x<－， 即原不等式的解集為； ④當(dāng)a>0時(shí)， 解不等式得x<－或x>2， 即原不等式的解集為. 反思感悟　解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 特別提醒：對(duì)應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開(kāi)時(shí)再求判別式Δ，用求根公式計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)當(dāng)a＝時(shí)，求關(guān)于x的不等式x2－x＋1≤0的解集； (2)若a>0，求關(guān)于x的不等式x2－x＋1≤0的解集． 解　(1)當(dāng)a＝時(shí)，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2， 故不等式的解集為. (2)x2－x＋1≤0?(x－a)≤0， ①當(dāng)0<a<1時(shí)，a<，不等式的解集為； ②當(dāng)a＝1時(shí)，a＝＝1，不等式的解集為{1}； ③當(dāng)a>1時(shí)，a>，不等式的解集為. 綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為{1}； 當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為. 1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A. B. C．? D. 答案　D 解析　原不等式可化為(3x＋1)2≤0， ∴3x＋1＝0，∴x＝－. 2．如果關(guān)于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于(　　) A．－81 B．81 C．－64 D．64 答案　B 解析　不等式x2<ax＋b可化為x2－ax－b<0， 其解集是{x|1<x<3}， 那么，由根與系數(shù)的關(guān)系得 解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故選B. 3．不等式x2－2x>0的解集是(　　) A．{x|x≥2或x≤0} B．{x|x>2或x<0} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0<x<2} 答案　B 解析　解x2－2x>0，即x(x－2)>0， 得x>2或x<0，故選B. 4．不等式x2－3x－10<0的解集是________． 答案　{x|－2<x<5} 解析　由于x2－3x－10＝0的兩根為－2,5，故x2－3x－10<0的解集為{x|－2<x<5}． 5．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是________________． 答案　{m|m≥9或m≤1} 解析　由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)解， ∴Δ＝(m－3)2－4m≥0， 即m2－10m＋9≥0， ∴(m－9)(m－1)≥0， ∴m≥9或m≤1. 1．知識(shí)清單：解一元二次不等式的常見(jiàn)方法 (1)圖象法： ①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡(jiǎn)圖； ③由圖象得出不等式的解集． (2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論． 3．常見(jiàn)誤區(qū)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，需兩邊同乘－1，化為正的． 1．(2019·全國(guó)Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N等于(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 答案　C 解析　∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}， ∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故選C. 2．若0<m<1，則不等式(x－m)<0的解集為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵0<m<1，∴>1>m， 故原不等式的解集為，故選D. 3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集為(　　) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 答案　C 解析　由題意知－2＋3＝－，－2×3＝， ∴b＝－a，c＝－6a， ∴不等式ax2＋bx＋c>0可化為ax2－ax－6a>0， 又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0， ∴－2<x<3，故選C. 4．若不等式5x2－bx＋c<0的解集為{x|－1<x<3}，則b＋c的值是(　　) A．5 B．－5 C．－25 D．10 答案　B 解析　由題意知－1,3為方程5x2－bx＋c＝0的兩根， ∴－1＋3＝，－3＝， ∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故選B. 5．若關(guān)于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} 答案　B 解析　∵x2＋mx＋1≥0的解集為R， ∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故選B. 6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________． 答案　{2} 解析　原不等式可化為(x－2)2≤0，∴x＝2. 7．不等式x2＋3x－4<0的解集為_(kāi)_______． 答案　{x|－4<x<1} 解析　易得方程x2＋3x－4＝0的兩根為－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集為{x|－4<x<1}． 8．關(guān)于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集為，則m的取值范圍是________． 答案　{m|m<0} 解析　∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集為， ∴方程(mx－1)(x－2)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2， 且解得m<0，∴m的取值范圍是m<0. 9．已知不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集為B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集為A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集． 解　(1)由x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴A＝{x|－1<x<3}． 由x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴B＝{x|－3<x<2}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)由題意，得解得 ∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0， ∴不等式x2－x＋2>0的解集為R. 10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0； (2)b為何值時(shí)，ax2＋bx＋3≥0的解集為R? 解　(1)由題意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的兩根， ∴解得a＝3. ∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即為2x2－x－3>0， 解得x<－1或x>. ∴所求不等式的解集為. (2)ax2＋bx＋3≥0，即為3x2＋bx＋3≥0， 若此不等式解集為R， 則Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6. 11．下列四個(gè)不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1. 其中解集為R的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案　C 解析?、亠@然不可能； ②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不為R； ③中Δ＝62－4×10<0.滿足條件； ④中不等式可化為2x2－3x＋3<0，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口向上，顯然不可能．故選C. 12．在R上定義運(yùn)算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 答案　B 解析　根據(jù)給出的定義得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 又x⊙(x－2)<0，則(x＋2)(x－1)<0， 故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 13．若關(guān)于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________． 答案　2≤a<3 解析　若a－2＝0，即a＝2時(shí)，原方程為1＝0不合題意， ∴a＝2滿足條件， 若a－2≠0，則Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0， 解得2<a<3， 綜上有a的取值范圍是2≤a<3. 14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)?x∈R恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_______． 答案　{a|－1≤a≤4} 解析　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立， ∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0， ∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4. 15．在R上定義運(yùn)算：＝ad－bc.若不等式≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_______． 答案　 解析　原不等式等價(jià)于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)對(duì)任意x恒成立， 因?yàn)閤2－x－1＝2－≥－， 所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤. 16．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0對(duì)任意x∈R恒成立，解關(guān)于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 解　∵ax2＋2ax＋1≥0對(duì)任意x∈R恒成立． 當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0，不等式恒成立； 當(dāng)a≠0時(shí)，則解得0<a≤1. 綜上，0≤a≤1. 由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0. ∵0≤a≤1， ∴①當(dāng)1－a>a，即0≤a<時(shí)，a<x<1－a； ②當(dāng)1－a＝a，即a＝時(shí)，2<0，不等式無(wú)解； ③當(dāng)1－a<a，即<a≤1時(shí)，1－a<x<a. 綜上，當(dāng)0≤a<時(shí)，原不等式的解集為{x|a<x<1－a}；當(dāng)a＝時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)<a≤1時(shí)，原不等式的解集為{x|1－a<x<a}． 世界上一成不變的東西，只有“任何事物都是在不斷變化的”這條真理。 —— 斯里蘭卡 過(guò)放蕩不羈的生活，容易得像順?biāo)浦?，但是要結(jié)識(shí)良朋益友，卻難如登天。 —— 巴爾扎克 這世界要是沒(méi)有愛(ài)情，它在我們心中還會(huì)有什么意義！這就如一盞沒(méi)有亮光的走馬燈。 —— 歌德 生活有度，人生添壽。 —— 書(shū)摘 專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)