2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.7 定積分的簡單應用 1.7.1 定積分在幾何中的應用優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc

1.7.1 定積分在幾何中的應用 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．曲線y＝x3與直線y＝x所圍封閉圖形的面積S等于(　　) A. (x－x3)dx　　　 B. (x3－x)dx C．20(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx 解析：如圖， 陰影部分的面積S＝2 (x－x3)dx.故選C. 答案：C 2．已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k>0)的圖象所圍成的封閉區(qū)域的面積為，則k＝(　　) A．3 B．2 C．1 D. 解析：由消去y得x2－kx＝0， 所以x＝0或x＝k，則所求區(qū)域的面積為 S＝ (kx－x2)dx＝＝＝，則k3＝27，解得k＝3. 答案：A 3．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積S為(　　) A. B. C. D. 解析：作出曲線y＝x2，y＝x3的草圖，所求面積即為圖中陰影部分的面積． 解方程組得曲線y＝x2，y＝x3交點的橫坐標為x＝0及x＝1. 因此，所求圖形的面積為S＝(x2－x3)dx＝ ＝－＝. 答案：A 4．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積為(　　) A．ln 2　　　　　　　 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 解析：所求面積為S＝dx＝ln x＝ln 2. 答案：A 5．設拋物線C：y＝x2與直線l：y＝1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于(　　) A．1 B. C. D. 解析：由得x＝1.如圖，由對稱性可知，S＝2(11－x2dx)＝ 2＝. 答案：D 6．曲線y＝－x2與曲線y＝x2－2x圍成的圖形面積為________． 解析：解方程組得交點坐標為(0,0)，(1，－1)． 如圖所示，圖形面積S＝(－2x2＋2x)dx ＝＝－＋1＝. 答案： 7．直線x＝，x＝與曲線y＝sin x，y＝cos x圍成平面圖形的面積為________． 解析：由圖可知， 圖形面積S＝ (sin x－cos x)dx ＝(－cos x－sin x) ＝－ ＝－(－)＝2. 答案：2 8．正方形的四個頂點A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1，1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示．若將一個質點隨機投入正方形ABCD中，則質點落在圖中陰影區(qū)域的概率是________． 解析：首先求第一象限內(nèi)陰影部的分面積，1－x2dx＝1－x3＝，根據(jù)對稱性以及幾何概型的相關內(nèi)容可知，所求概率為P＝＝. 答案： 9．計算由直線y＝6－x，曲線y＝以及x軸所圍圖形的面積． 解析：作出直線y＝6－x，曲線y＝的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積． 解方程組得直線y＝6－x與曲線y＝交點的坐標為(2,4)，直線y＝6－x與x軸的交點坐標為(6,0)． 因此，所求圖形的面積S＝S1＋S2＝ dx＋(6－x)dx＝x＋(6x－x2)＝＋[(66－62)－(62－22)]＝＋8＝. 10．已知f(x)為一次函數(shù)，且f(x)＝xf(x)dx＋1， (1)求f(x)解析式； (2)求直線y＝f(x)與曲線y＝xf(x)圍成平面圖形的面積． 解析：(1)設一次函數(shù)f(x)＝kx＋b (k≠0)，由f(x)＝xf(x)dx＋1得kx＋b＝x(kx＋b)dx＋1＝x＋1＝(2k＋2b)x＋1， 所以b＝1，k＝2k＋2b，即k＝－2b＝－2， 所以f(x)＝－2x＋1. (2)由 消去y，得2x2－3x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1，大致圖象如圖， 所求平面圖形的面積為 S＝ [(－2x2＋x)－(－2x＋1)]dx ＝ (－2x2＋3x－1)dx ＝ ＝. [B組　能力提升] 1．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，sin x)，f(x)＝ab，則直線x＝0，x＝，y＝0以及曲線y＝f(x)圍成平面圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：由a＝(sin x，cos x)， b＝(cos x，sin x)， 得f(x)＝ab＝2sin xcos x＝sin 2x， 當x∈時，sin 2x≥0； 當x∈時，sin 2x<0.由定積分的幾何意義，直線x＝0，x＝，y＝0以及曲線y＝f(x)圍成平面圖形的面積為 sin 2xdx－sin 2xdx ＝－cos 2x＋cos 2x ＝1＋＝. 答案：C 2.函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，其導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A.　　　 B. C．2　　　　 D. 解析：由導函數(shù)f′(x)的圖象可知函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，且對稱軸為x＝－1，開口方向向上．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)， 由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因過點(－1,0)與(0,2)，則有 ∴∴f(x)＝x2＋2x，則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S＝(－x2－2x)dx＝＝(－2)3＋(－2)2＝. 答案：B 3．(2015高考天津卷)曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為________． 解析：兩曲線的交點坐標為(0,0)，(1,1)，所以它們所圍成的封閉圖形的面積S＝(x－x2)dx＝＝. 答案： 4．如圖所示，已知拋物線拱形的底邊弦長為a，拱高為b，其面積為________． 解析：建立如圖所示的坐標系，所以得拋物線的方程為y＝－x2，所以曲線與x軸圍成的部分的面積為S＝＝＝，所以陰影部分的面積為ab－＝. 答案：ab 5．已知過原點的直線l與拋物線y＝x2－4x所圍成圖形的面積為36，求l的方程． 解析：由題意可知直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y＝kx， 則由，得或. (1)當k＋4>0，即k>－4時， 面積S＝ (kx－x2＋4x)dx ＝(kx2－x3＋2x2) ＝k(k＋4)2－(k＋4)3＋2(k＋4)2 ＝(k＋4)3＝36， ∴k＝2，故直線l的方程為y＝2x； (2)當k＋4<0，即k<－4時， S＝(kx－x2＋4x)dx ＝(kx2－x3＋2x2) ＝－[(k＋4)2k－(k＋4)3＋2(k＋4)2] ＝－(k＋4)3 ＝36， ∴k＝－10，故直線l的方程為y＝－10x. 綜上，直線l的方程為y＝2x或y＝－10x. 6．已知y＝ax2＋bx通過點(1,2)，與y＝－x2＋2x有一個交點(x1，y1)，且a<0，如圖所示． (1)求y＝ax2＋bx與y＝－x2＋2x所圍的面積S與a的函數(shù)關系； (2)當a，b為何值時，S取得最小值． 解析：(1)由y＝ax2＋bx通過點(1,2)可得a＋b＝2， 即b＝2－a. 由y＝ax2＋bx與y＝－x2＋2x聯(lián)立方程組， 解得x1＝，x2＝0， y＝ax2＋bx與y＝－x2＋2x所圍的面積S與a的函數(shù)關系為 S(a)＝[(ax2＋bx)－(－x2＋2x)]dx ＝ [(ax2＋2x－ax)－(－x2＋2x)]dx ＝[(a＋1)x3－ax2] ＝(a＋1)()3－a()2 ＝－. (2)求導可得 S′＝－ ＝－， 由S′>0，得－3<a<－1， 由S′<0，得－1<a<0或a<－3， ∴當a＝－3時，S取得極小值，即最小值， 此時b＝2－a＝5，最小值S(－3)＝.