《同濟大學線性代數(shù)課件：5-2 方陣的特征值與特征向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《同濟大學線性代數(shù)課件：5-2 方陣的特征值與特征向量（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、說明說明., 0. 1言言的的特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而特特征征向向量量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩陣陣的的即即滿滿足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值階階方方陣陣AEAxEAAn ., , 1的特征向量的特征向量的對應于特征值的對應于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關系式使關系式維非零列向量維非零列向量和和如果數(shù)如果數(shù)階矩陣階矩陣是是設設定義定義 AxAxAxxnnA 0. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaa
2、aaa次方程次方程為未知數(shù)的一元為未知數(shù)的一元稱以稱以n 0 EA . 的的為為A特征方程特征方程,次多項式次多項式的的它是它是n 記記 EAf 稱其稱其. 的的為方陣為方陣A特征多項式特征多項式 則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設設,. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多項式為的特征多項式為A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值為的特征值為所以所以A,00231123,2211 xx對應的特征向量應滿足對應的特征向量應滿足時時當當 .
3、0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取為取為所以對應的特征向量可所以對應的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時時當當 .11 ,221 pxx取為取為所以對應的特征向量可所以對應的特征向量可解得解得例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多項式為的特征多項式為. 1, 2321 的特征值為的特征值為所以所以A由由解方程解方程時時當當. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基礎解系得基
4、礎解系.2)0(11的全部特征值的全部特征值是對應于是對應于所以所以 kpk由由解方程解方程時時當當. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基礎解系得基礎解系.1)0(322的全部特征值的全部特征值是對應于是對應于所以所以 kpk例例 設設,314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解方程解方程時時當當. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎解系得基礎解系的的全全體
5、體特特征征向向量量為為故故對對應應于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時時當當. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基礎解系為：得基礎解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應應于于 ).0,(323322不不同同時時為為kk pkpk 例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆時可逆時當當 AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA
6、 xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特對應于對應于是是且且的特征值的特征值是矩陣是矩陣故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆時可逆時當當A., 1111的的特特征征向向量量對對應應于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA.,., 121212121線性無關線性無關則則各不相等各不相等如果如果向量向量依次是與之對應的特征依次是與之對應的特征個特征值個特征值的的是方陣是方陣設設定理定理mmmmppppppmA 證明證明使使設設有有常常數(shù)數(shù)mxxx,21. 0221
7、1 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 類推之，有類推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時時當當各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號號左左端端第第二二個個矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj
8、即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線線性性無無關關所所以以向向量量組組mppp注意注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關屬于不同特征值的特征向量是線性無關的的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的屬屬于于特特征征值值同
9、同時時是是如如果果設設因因為為,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾例例5 5 設設A是是 階方陣，其特征多項式為階方陣，其特征多項式為n 0111aaaAEfnnnA .的特征多項式的特征多項式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det . 1EAA 的特征多項式的特征多項式計算計算 ;,0det . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEAn .,0 , . 3 的特征向量的特征向量就是對應于就是對應于的非零解的非零解求齊次方程組求齊次方程組對于特征值對于特征值iiixEA ., 0det,2, 0A3Edet :4 的一個特征值的一個特征值求求滿足條件滿足條件階方陣階方陣設設 AAEAAAT知知由由可逆可逆故故因為因為0)3det( ., 0det EAAA解解,3的一個特征值的一個特征值是是A .31 1值值的一個特征的一個特征是是從而從而A 即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATT, 4det, 0det, 4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34有一個特征值為有一個特征值為故故A
同濟大學線性代數(shù)課件：5-2 方陣的特征值與特征向量
