2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)13 球的表面積和體積庖丁解題 新人教A版必修2.doc
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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)13 球的表面積和體積庖丁解題 新人教A版必修2.doc
考點(diǎn)13 球的表面積和體積
1.球的表面積公式為S球=4πR2,即球面面積等于它的大圓面積的四倍.
2.球的半徑為R,則球的體積為V球=πR3.
【例】用兩個(gè)平行平面去截半徑為R的球面,兩個(gè)截面圓的半徑為r1=24 cm,r2=15 cm,兩截面間的距離為d=27 cm,求球的表面積.
【易錯(cuò)易混】注意兩個(gè)截面的位置.
1.把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,那么體積擴(kuò)大到原來(lái)的( )
A.2倍 B.2倍
C.倍 D.倍
【答案】B
【解析】球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)2倍,半徑擴(kuò)大到原來(lái)的倍,體積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍.
2.一個(gè)正方體的表面積與一個(gè)球的表面積相等,那么它們的體積比是( )
A. B.
C. D.
3.把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱,若不計(jì)損耗,則圓柱的高為( )
A.R B.2R
C.3R D.4R
【答案】D
【解析】設(shè)圓柱的高為h,則3πR3=πR2h,所以h=4R.
4.若一個(gè)球的體積為4π,則它的表面積為_(kāi)_______.
【答案】12π.
【解析】設(shè)球的半徑為R,則πR3=4π,∴R=,∴球的表面積S=4πR2=4π3=12π.
5.某幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為_(kāi)_______.
【答案】3π
【解析】由三視圖還原為實(shí)物圖為半個(gè)球,則表面積為半球面+底面圓,代入數(shù)據(jù)計(jì)算為S=4π12+π12=3π.
【易錯(cuò)易混】表面積為半球面+底面圓,而不是表面積為半球面.
1.一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.+π B.+π
C.+π D.1+π
【答案】C
【解析】由三視圖知,半球的半徑R=,四棱錐為底面邊長(zhǎng)為1,高為1的正四棱錐,
∴V=111+π=+π,故選C.
2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開(kāi)立方除之,即立圓徑.“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個(gè)近似公式.人們還用過(guò)一些類(lèi)似的近似公式.根據(jù)π=3.14159…判斷,下列近似公式中最精確的一個(gè)是( )
A.d ≈ B.d ≈
C.d ≈ D.d ≈
3.木星的表面積約是地球的120倍,體積約是地球的__________倍.
【答案】240
【解析】由題意,得4πR=4πR120,所以R木=R地
所以V木=πR=π(R地)3=240πR=240V地.
4.已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面積和體積.
【答案】4000π
【解析】∵AB:BC:AC=18:24:30=3:4:5,∴△ABC是直角三角形,∠B=90.
又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心,
露珠為何是圓的
表面張力的原因.表面張力使得液體盡可能的減小表面積,而球體正好滿(mǎn)足這一要求,所以在沒(méi)有外力作用下,液體成球體狀.在自然環(huán)境中,由于有重力、外界的支撐力等因素,露珠不會(huì)成標(biāo)準(zhǔn)的球體.科學(xué)家曾設(shè)想在太空中來(lái)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)球體的鋼珠,因?yàn)樵诘厍蛏鲜呛茈y完成的,而在太空中是很容易的事情.我們學(xué)習(xí)了球的體積與表面積之后不難得到詳細(xì)答案.