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1、保分大題規(guī)范專練(六)
1.已知f(x)=sin2
x—2/sin2x+2p
時(shí)，求f (x)的取值范圍;
兀兀
(1)當(dāng)xC,-
36
3,、
(2)已知銳角三角形ABCW足f(A)=43,且sinB=5,b=2,求△ABC勺面積.
解：⑴
.■f(x)=sin2x+2姆cos2x
= sin 2
x十 4(cos 2 x+ 1)
= 2sin
一 兀
2x+ —
3
+V3,
7t
3,
7t
7t
6 4 5 ,2x+~3-￡
兀 2兀
-- ---
3， 3 ，
??.f(x)e[0,2+J3].
2、
(2)在銳角三角形ABO43,?,f(A)=^3,
2sin2A+—+^3=，3,
sin2A+—=0,3
一一一 兀
? AC 0,—,
2A+ —e
3
.兀
A=3,
兀
? .sin C= sin
?兀 3 1 4
B+1 =5x2+5*
,；3_3+4 :'3
2 = 10 '
b
c= " o - sin
sin B
3+4正
C= 3 ,
1
? ? S>a abc— 2 bcsin
1 3+4 '3 '3 '3
A= p<2X —^~X2=2+2~.
2.如圖，P ABDW Q BCD^兩個(gè)全等的正棱錐，且 A B,
3、 C, D四點(diǎn)共面，其中 AB= 1,
/APEB= 90 .
(1)求證：BDL平面APQ
(2)求直線PB與平面PDCQ/f成角的正弦值.
BC0,y
解：由已知得PAB/口QBCD^頂角處三條棱兩兩垂直，底面是正三角形的正棱錐，其
中側(cè)棱長為22-.
(1)證明：易知底面ABC四菱形，連接AC圖略)，則ACLBD
易證PQ/AC所以PQLBD
由已知得PABD^QBCD^頂角處三條棱兩兩垂直，
所以APL平面PBD
所以BDLAP因?yàn)锳mPQ=P,
所以BDL平面APQ
(2)法一：由(1)知PQBD
取PQ中點(diǎn)M連接DMBM分別過點(diǎn)P,Q做AC的垂線，垂足
4、分H,N
由正棱錐的性質(zhì)可知H,N分別為△ABD△BCD勺重心，可知四PQNH；矩形.
113'6
其中PQ=-AG=^,PH=三
336
DM=^pD-PM=華,
o 1 、
S?A BDM= 2BD-
1 ：6 '6
PH= 2X1X 6 = 125
- 1 、
S；A PQD= -PQ。
DM 汜害.
2 3 6 12
令B到平面
PQD勺距離為h,
貝UV三棱錐PBDM=2V三棱錐BPQD,
即31iX￡="若解得h：^
設(shè)BP與平面PQ的成角為0,
則 sin 0 =
10
h 5
I PB —也一
2
2,5
5
5、
法二：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)Q取PQ的中點(diǎn)M連接OM易知OM
OBOCW兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則Q0,0,0),B1,0,0,D-1,。，0，P0,-史，攣，Q0,￡g226666
所以言=2,號,一呼,同=0，乎，0，
國=_1齒—亞26，6，
令mi=(a,b,c)為平面PQD勺法向量，
——>b=0,
m-PQ=0,
則即1詆J6
m-"PD=0,—2a+6b—6c=0.
令a=2,則m=(2,0，-乖).
設(shè)直線PB與平面PDQ^角為0,
…...=.|mf|
所以sin9=|cos〈mPB〉|=
—>
imipbi
6、|1+0+1|2v5
=1業(yè)=5.
小。*
.一..V2兀X..
3.已知函數(shù)f(x)=ae+x,g(x)=sin—+bx,直線l與曲線y="*)切于點(diǎn)(0,f(0)),
且與曲線y=g(x)切于點(diǎn)(1,g(1)).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值和直線l的方程；
(2)證明：f(x)>g(x).
……一，，、x,,,、兀兀x..
斛：(1)f(x)=ae+2x,g(x)=~cos+b,
則f'(0)=a,g'(1)=b,
又f(0)=a,g(1)=1+b,
則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=ax+a；
曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為
7、y=b(x-1)+1+b,IPy=bx+1,則a=b=1,直線l的方程為y=x+1.
.....v2兀x
(2)證明：由(1)知f(x)=e+x,g(x)=sin三十x,
rtK、一，,、x2、?兀X,、
只需證f(x)=e+x>x+1>sin—+x=g(x).
設(shè)F(x)=f(x)—(x+1)=ex+x2—x—1,x
則F(x)=e+2x—1,
由F'(x)=0,可得x=0,當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)'(x)<0;
當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)，(x)>0,
故F(X)在(―巴0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以F(X)min=F(0)=0.
…一、兀x
再設(shè)G(x)=x+1—g(x)=1—sin―,
則G(x)>0,當(dāng)且僅當(dāng)21x=-2-+2k兀(kCZ),
即x=4k+1(kCZ)時(shí)等號成立.
由上可知，f(x)>x+1>g(x),且兩個(gè)等號不同時(shí)成立,故f(x)>g(x).
4
?.cosB=t,
5
高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)保分大題規(guī)范專練(六)
