2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式，并會(huì)證明貝努利不等式.3.體會(huì)歸納—猜想—證明的思想方法． 知識(shí)點(diǎn)　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 思考1　用數(shù)學(xué)歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？ 答案　(1)歸納奠基：驗(yàn)證初始值n＝n0. (2)歸納遞推：在假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，證明n＝k＋1時(shí)問題成立． 思考2　證明不等式與證明等式有什么不同？ 答案　證明不等式需注意的是對式子進(jìn)行“放縮”． 梳理　(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k時(shí)命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1命題成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行． (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù)，且x＞－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則有(1＋x)n＞1＋nx. (3)貝努利不等式的推廣 事實(shí)上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)α?xí)r， 仍有類似不等式成立． ①當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足α＞1或者α＜0時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)； ②當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足0＜α＜1時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)． 類型一　數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式 例1　證明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝2－＝，由于＜，因此命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥2)時(shí)，命題成立， 即1＋＋＋…＋＜2－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，不等式對一切n∈N＋，n≥2都成立． 反思與感悟　在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)常用的方法之一． 跟蹤訓(xùn)練1　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＋，右邊＝2， 左邊＜右邊，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<k， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<k＋＋＋…＋<k＋ ＝k＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立． 類型二　利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式 例2　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論； (2)證明：S＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)． (1)解　是等差數(shù)列，證明如下：S1＝a1＝， 所以＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 所以－＝2.故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且＝2n. (2)證明?、佼?dāng)n＝1時(shí)， S＝＝－，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，不等式成立， 即S＋S＋…＋S≤－成立， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－ ＝－＜－ ＝－.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由①②可知，對任意n∈N＋不等式都成立． 反思與感悟　(1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，這是解決這類問題的基礎(chǔ)． (2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān)，有時(shí)要證明的式子是直接給出，有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手，通過觀察、猜想，歸納出一個(gè)式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)0＜a＜1，定義a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求證：對一切正整數(shù)n，有1＜an＜. 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＞1，a1＝1＋a＜，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，命題成立，即1＜ak＜. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 由遞推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. 同時(shí)，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1＜ak＋1＜. 綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，有1＜an＜. 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步驗(yàn)證(　　) A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4 答案　C 解析　由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n＝3是否成立． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N＋)”時(shí)，S1等于(　　) A. B. C.＋ D.＋＋ 答案　D 解析　S1＝＋＋＝＋＋. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞－.假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是____________________． 答案?。荆? 解析　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，目標(biāo)不等式為 ＋＋…＋＋＞－. 4．若不等式＋＋＋…＋＞對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論． 解　當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋＞， 即＞，∴a＜26. 又a∈N＋，∴正整數(shù)a的最大值為25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞. (1)當(dāng)n＝1時(shí)，不等式顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，＋＋…＋＞成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 ＋＋…＋＋＋＋＝＋＞＋. ∵＋＝＞＝＝， ∴＋－＞0， ∴＋＋…＋＞， 即n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由(1)(2)知，對一切n∈N＋，都有＋＋…＋＞. 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時(shí)，由n＝k到n＝k＋1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時(shí)，對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n＝k時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一． (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程． 一、選擇題 1．對于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝(k＋1)＋1， ∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 則上述證法(　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 答案　D 解析　證明過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè)，故選D. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)的第一步需證明(　　) A．1<2－ B．1＋<2－ C．1＋＋<2－ D．1＋＋＋<2－ 答案　C 3．若不等式＋＋…＋＞對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為(　　) A．12 B．13 C．14 D．不存在 答案　B 解析　令f(n)＝＋＋…＋， 取n＝2,3,4,5等值，發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的， 所以[f(n)]min＞，由f(2)＞，得m的最大值為13. 4．對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是(　　) A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n C．0.9n＜1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n 答案　C 解析　由貝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(n∈N＋，x≥－1)，得 ①當(dāng)x＝2時(shí)，即3n≥1＋2n成立； ②當(dāng)x＝－0.1時(shí)，0.9n≥1－0.1n成立； ③當(dāng)x＝－0.9時(shí)，0.1n≥1－0.9n成立． ∴0.9n＜1－0.1n不成立． 5．若不等式對n＝k成立，則它對n＝k＋2也成立．若該不等式對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．該不等式對所有正整數(shù)n都成立 B．該不等式對所有正偶數(shù)n都成立 C．該不等式對所有正奇數(shù)n都成立 D．該不等式對所有自然數(shù)n都成立 答案　B 解析　因?yàn)楫?dāng)n＝2時(shí)，不等式成立，且該不等式對n＝k＋2也成立，所以該不等式對所有的正偶數(shù)n都成立． 6．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計(jì)算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論(　　) A．f(2n)> B．f(n2)> C．f(2n)≥ D．以上都不正確 答案　C 解析　由f(2)＝，f(22)＞，f(23)＞， f(24)＞，f(25)＞， 可推測出f(2n)≥. 二、填空題 7．證明：＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為________________． 答案　2＜1＋＋＋＜3 解析　當(dāng)n＝2時(shí)， 要證明的式子為2＜1＋＋＋＜3. 8．以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋時(shí)，2n＞n2”的過程，證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12，不等式顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)不等式成立，即2k＞k2. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝22k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N＋不等式都成立． 其中錯(cuò)誤的步驟為________．(填序號(hào)) 答案　(2) 解析　在2k＋1＝22k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，這是一個(gè)不確定的結(jié)論． 如k＝2時(shí)，k2＜2k＋1. 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值n0最小應(yīng)當(dāng)是________． 答案　10 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________． 答案　5 解析　n取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5. 三、解答題 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式…>成立． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝， 左邊>右邊，所以不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即…>， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， > ＝＝> ＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n＞1，且n∈N＋)，求證：＞1＋. 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2時(shí)命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞2，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即＝1＋＋＋…＋＞1＋. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ 共項(xiàng) ＞1＋＋＋＋…＋ ＞1＋＋ ＝1＋＋ ＝1＋， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)(2)知，對n∈N＋，n＞2，＞1＋成立． 13．已知遞增等差數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若不等式…≤對任意n∈N＋恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)m的最小值，并證明． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d(d>0)， 由題意可知a1a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2， 解得d＝1或d＝0(舍去)． 所以an＝1＋(n－1)1＝n. (2)不等式等價(jià)于…≤， 當(dāng)n＝1時(shí)，m≥； 當(dāng)n＝2時(shí)，m≥； 而>，所以猜想，m的最小值為. 下面證不等式…≤對任意n∈N＋恒成立． 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，≤＝，命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)， 不等式…≤成立， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， …≤， 只需證≤， 只需證≤， 只需證≤2k＋2， 只需證4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4， 即證3≤4，顯然成立． 所以，對任意n∈N＋，不等式 …≤恒成立． 四、探究與拓展 14．求證：＋＋…＋＜(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝，右邊＝1，左邊＜右邊， 所以不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即＋＋…＋＜成立， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＜＋， 只需證明＋＜即可， 即證－＞， 即證＞＋， 即證(－1)＞， 而當(dāng)k≥1時(shí)上式顯然成立， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)可知，不等式對所有n∈N＋都成立．