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新教材2021-2022學(xué)年人教A版選擇性必修第一冊 - 傾斜角與斜率 學(xué)案.docx

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新教材2021-2022學(xué)年人教A版選擇性必修第一冊 - 傾斜角與斜率 學(xué)案.docx

第二章 DIERZHANG 直線和的方程 2.1直線的傾斜角與斜率 課前-自主探究 2.1.1傾斜角與斜率 內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)科素養(yǎng) 1. 在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的兒何要素. 2. 理解直線的傾斜角和斜率的概念. 3. 經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式. 4. 掌握傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系. 數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算 自主預(yù)習(xí)基礎(chǔ)認(rèn)知 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第31頁[教材提煉] 知識點(diǎn)一直線的傾斜角 預(yù)習(xí)教材,思考問題 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過一點(diǎn)P(2,2)可以作出多少條直線?這些直線區(qū)別在哪里 呢?如何表示這些直線的方向呢? [提示]無數(shù)條.區(qū)別是它們的方向不同.這些直線相對于x軸的傾斛■程度不同,也就是它們與x軸所成的角不同.因此,我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向. 知識梳理 定義 當(dāng)直線/與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),玉軸正向與直線/向上的方向之間所成的 角a叫做直線/的傾斜角 規(guī)定 當(dāng)直線/與x軸平行或重合時,規(guī)定直線/的傾斜角為0。 記法 a 圖示 * 范圍 0°Wa<180。 作用 (1) 表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度; (2) 確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的兒何要素是:直線上的一個定點(diǎn)以及它的傾斜角,二者缺一不可 知識點(diǎn)二直線的斜率 預(yù)習(xí)教材,思考問題 我們知道:兩點(diǎn)確定一條直線,進(jìn)而它的傾斜角也就確定了,那么任給直線/上兩點(diǎn)P|(M,>1),P2(X2,>2)(其中引正松),直線/的傾斜角a與R,P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么樣的內(nèi)在聯(lián)系呢?清用向量法探究下列問題: (1)己知直線/經(jīng)過0(0,0),01,1),a與(),P的坐標(biāo)有什么關(guān)系? [提示]如圖,OP=(1J),由正切函數(shù)的定義,得tana=\. (2)類似地,如果直線/經(jīng)過R(l,。),必(一1,2),a與R,戶2的坐標(biāo)有什么關(guān)系? [提示]如圖,汗2=(-2,2),平移舟2到矛,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2),且直線OP的傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義, 傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義, (3)—般地,如果直線/經(jīng)過兩點(diǎn)P|(X1,yi),P2S,J2),xi^x2f那么a與Pl,P2的坐 標(biāo)有怎樣的關(guān)系? [提示]如圖,當(dāng)向量奇2的方向向上時,P>2=(X2~X|,關(guān)一),1).平移奇2到泣,則V9—V1點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X2—xi,關(guān)一y1),且直線0P的傾斜角也是由正切函數(shù)的定義,有tana=. 尤2X1 當(dāng)向量局|的方向向上時,P^P}=(X}-X2t》一歸).平移呼|到則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(由vi— —X2,yi~y2),且直線OP的傾斜角也是a.如圖,由正切函數(shù)的定義,也有tana=*=X\~X2 知識梳理⑴直線/的傾斜角«與直線I上的兩點(diǎn)P1(A1,V),P2(X2,),2)3*“)的坐標(biāo)有如下關(guān)系:tana=—丑. X1~X\ (2)我們把-條直線的傾斜角。的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母k表示,即k=tan_a. (3)傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度,它們的對應(yīng)關(guān)系: 圖示 - * % 傾斜角(范圍) 1=0。 0°<a<90° [=90。 9()°<a<180° 斜率(范圍) 0 k>0 不存在 kVQ ⑷若直線/的斜率為奴它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y),則k=l [自主檢測] 1. 下圖中。能表示直線/的傾斜角的是() A.① B.①② C.①③ D.②④ 解析:結(jié)合直線/的傾斜角的概念可知①③可以,選C. 答案:c 2.(教材P55練習(xí)2改編)在直角坐標(biāo)系中,一條直線的斜率為寸,則此直線的傾斜角 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:由題意得tana=S,又Aa=60°. 答案:B 3.(教材P55練習(xí)3改編)過點(diǎn)皿)、可(一皿,0)的直線的斜率是() B.-1 答案:A 4. 若過A(4,y),BQ,一3)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是45。,則y=. —3—v解析:直線的傾斜角為45°,則其斜率為A=tan45°=I.由斜率公式,得2_4=】'解得),=-1. 答案:一1 5. 已知4(1,1),伙3,5),C(a,7),D(-l,b)四點(diǎn)在同一直線上,求直線的斜率及〃、b的值. 5—1 解析:由題意知,k,\B=3_]=2,由如c=W=2, 由如c=W=2, 解得a=4; =2,解得b=-3, =2,解得b=-3, 故直線的斜率為2,a=4,b=~3. 課堂-互動探究 以例示法核心突碰 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第32頁 探究一求直線的傾斜角 [例1](1)設(shè)直線/過原點(diǎn),其傾斜角為“,將直線/繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到直線4,則直線K的傾斜角為() A. a+45。 B. 。一135。 C. \35°~a D. 當(dāng)0。&<135。時,傾斜角為a+45。,當(dāng)135°WaV180。時,傾斜角為,一135。 (2)設(shè)直線A過原點(diǎn),其傾斜角a=15。,直線4與/2的交點(diǎn)為A,且匕與/2向上的方向之間所成的角為75。,則直線古的傾斜角為. [分析]對于(1),由于a不確定,需分情況討論;對于(2),畫出圖象,利用圖象求解. [解析](1)根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示: 因?yàn)?°^a<180°,顯然A,R,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知: 當(dāng)0°<«<135°,/1的傾斜角為a+45。; 當(dāng)135°WaV180°時,4的傾斜角為45°+a-180°=a-135°.故選D. (2)設(shè)直線的傾斜角為a,由圖可知,a=l5°+75°=90°,二直線也的傾斜南為90°. [答案](1)D(2)90°方法提升?— 直線的傾斜角可以看作是由x軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的最小正角.所以求直線的傾斜角時,往往借助于圖形.結(jié)合圖形求傾斜角時,應(yīng)注意傾斜角的范圍以及平面幾何知識的應(yīng)用. ■同源異考■在觸類旁通 1.已知直線/向上方向與y軸正向所成的角為30。,則直線/的傾斜角為. 解析:有如下兩種情況: (2)如圖②,直線/向上方向與x軸正向所成的南為120°,即直線/的傾斜角為120°.答案:60?;?20° 探究二根據(jù)斜率公式求斜率 [例2]直線/過點(diǎn)P(l,0),且與以A(2,l),B(0,壽)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線/斜率的取值范圍為. [分析]結(jié)合圖形,根據(jù)直線斜率的變化情況,確定出其范圍. ]—0、萬—0 [解析]如圖,,:kAP=._]=1,knp=0、_|=—a/3, ???虹(一8,]U[1,+8). [答案|(一8,f]U[1,+8) ■變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力 1.若將本例⑵中P(l,0)改為p(—1,0),其他條件不變,求直線/斜率的取值范圍. 解析:..."(一1,0),A(2,l),3((),寸5), .,1一°1,壽_0仄 ??3>—2_(_1)_3,如尸_0_(_])_。3. 如圖可知,直線/斜率的取值范圍為<3. 2. 若將本例(2)中的"點(diǎn)坐標(biāo)改為(2,-1),其他條件不變,求直線/傾斜角。的取值范圍. 解析:如圖,直線欄的傾斜角為45。,直線PB的傾斜角為135。, 由圖象知/的傾斜角的范圍為 (a|0"Wc(W45'}U{«|135°<»<180°}. —■??方法提升???當(dāng)已知兩定點(diǎn)坐標(biāo)求過這兩點(diǎn)的直線斜率時,可直接利用斜率公式求解.應(yīng)用斜率公式時,應(yīng)先判定兩定點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.若相等,直線垂直于]軸,斜率不存在;若不相等,再代入斜率公式求解. 探究三斜率與傾斜角的應(yīng)用 [例3]己知某直線/的傾斜角。=45。,又-(2,),i),P2S2.5),P3(3,l)是此直線上的三點(diǎn),求X2,>1的值. [分析]直線/的傾斜角已知可以求出其斜率且R、P2、P3均在直線/上,故任兩點(diǎn)的斜率均等于直線/的斜率,從而可以解出為,》的值. [解析]Va=45°,..?直線/的斜率&=tan45°=1, VPi,P2,P3都在直線/上,:?kPiPz=kPzP3=k. 斜率是反映直線相對于]軸正方向的傾斜程度的,直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變,即在 同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等,這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因. —同源異考重在觸類旁通 2.如果三點(diǎn)4(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一條直線上,則〃?的值為 解析:知=與吉=宇, 1—tn7..?人、B、C三點(diǎn)共線,.*睫=岫.即二j-=『.?,〃=一6. 答案:一6素養(yǎng)拓展能力提升 素養(yǎng)拓展能力提升 課后-素養(yǎng)培優(yōu)授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第34頁 、“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”——數(shù)形結(jié)合思想在求斜率取值范圍中的應(yīng)院直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象 I典例I]經(jīng)過點(diǎn)P(0,一2)作直線/,若直線與過4(一2,3),3(2,1)的線段總沒有公共點(diǎn),則直線/斜率的取值范圍是. [解析]設(shè)直線/的斜率為化直線AP的斜率為如,直線時的斜率為蜘, 當(dāng)直線,/與線段AB有公共點(diǎn)時,kWkAP或空而,3-2)- -2O(-一 -2 1>\或 5-2 3-2)- -2O(-一 -2 1>\或 5-2 3—(—2) 即當(dāng)直線,/與線段有公共點(diǎn)時,<_:_,、=53 所以當(dāng)直線/與線段沒有公共點(diǎn)時,一 答案:加_|v炊|[ 二、“歷史使人聰明,詩歌使人機(jī)智,數(shù)學(xué)使人精細(xì)”一分類討論在求傾斜角取值范圍中的應(yīng)用 >數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象'邏輯推理 [典例2]求經(jīng)過A(鳳3),倒1,2)兩點(diǎn)的直線的斜率,并指出傾斜角。的取值范圍. |解析]當(dāng),〃=1時,直線的斜率不存在,此時直線的傾斜角a=90。. 當(dāng)時,由斜率公式可得in~1in—I ① 當(dāng)m>\時,A=—^>0,in—1 所以直線的傾斜角«的取值范圍是0。<。<90°. ② 當(dāng)ni<\時,m~1 所以直線的傾斜角a的取值范圍是90°<a<180°. [糾錯心得]未考慮兩點(diǎn)斜率公式運(yùn)用的條件,從而忽略了,〃=1的情況.

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