電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第1章 矢量分析

《電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第1章 矢量分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第1章 矢量分析（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1章 矢量分析 1.1基本內(nèi)容概述 矢量分析是研究電磁場在空間的分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學工具之一。本章著重討論標量場的梯度、矢量場的散度和旋度的概念及其運算規(guī)律。 1.1.1 矢量代數(shù) 兩個矢量與的點積是一個標量，定義為 （1.1） 兩個矢量與的叉積是一個矢量， （1.2） 矢量與矢量的點積稱為標量三重積，它具有如下運算性質(zhì) （1.3） 矢量與矢量的叉積稱為矢量三重積，它具有如下運算性質(zhì) （1.

2、4） 1.1.2 三種常用的正交坐標系 1. 直角坐標系（ ） 直角坐標系中的三個相互正交的坐標單位矢量為、和，遵循右手螺旋法則： 、、 （1.5） 長度元 （1.6） 面積元為 ，， （1.7） 體積元為 （1.8） 2. 圓柱坐標系（） 圓柱坐標系中的三個相互正交的坐標單位矢量為、和，遵循右手螺旋法則： 、、 （1.9） 長度元

3、 （1.10） 面積元 ，， （1.11） 體積元 （1.12） 3. 球坐標系（） 球坐標系中的三個相互正交的坐標單位矢量為、和，遵循右手螺旋法則： 、、 （1.13） 長度元 （1.14） 面積元 ，， （1.15） 體積元 （1.16） 4. 坐標單位矢量之間的變換 、、與、、之間的變

4、換關系為 0 0 0 0 1 、、與、、之間的變換關系為 0 0 0 1 0 、、與、、之間的變換關系為 0 1.1.3 標量場的梯度 1. 標量場的等值面 標量場可用一個標量函數(shù)來描述 （1.17） 標量場的等值面方程為 為常數(shù) （1.18） 2. 標量場的方向?qū)?shù) 在直角坐標系中

5、方向?qū)?shù)的計算公式為 （1.19） 式中、、是方向的方向余弦。 3. 標量場的梯度 標量場的梯度是一個矢量，在直角坐標、圓柱坐標、球坐標中的分別表達式為 （1.20） （1.21） （1.22） 1.1.3矢量場的散度 1. 矢量場的矢量線 矢量場可用一個矢量函數(shù)來描述 （1.23） 矢量場的矢量線微分方程為 （1.24） 2．矢

6、量場的通量 矢量場穿出閉合面的通量為 （1.25） 3．矢量場的散度 矢量場的散度是一個標量，在直角坐標、圓柱坐標、球坐標中的表達式分別為 （1.26） （1.27） （1.28） 4．散度定理 矢量場的散度在體積上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合曲面S上的面積分，即 （1.29） 散度定理是矢量場中的體積分與面積分之間的一個變換關系，在電磁理論中非常有用。

7、 1.1.4 矢量場的旋度 1．矢量場的環(huán)流 矢量場沿閉合路徑的環(huán)流為 （1.30） 2．矢量場的旋度 矢量場的旋度是一個矢量，在直角坐標、圓柱坐標、球坐標中的表達式分別為 （1.31） （1.32） （1.33） 3．斯托克斯定理 矢量場的旋度在曲面S上的面積分等于矢量場在限定該曲面的閉合路徑的線積分，即 （1.

8、34） 斯托克斯定理是矢量場中的面積分與線積分之間的一個變換關系，在電磁理論中也很有用。 1.1.5無旋場與無散場 1. 無旋場 標量場的梯度有一個重要性質(zhì)，就是它的旋度恒等于零，即 （1.35） 一個旋度處處為零的矢量場稱為無旋場，可以把它表示為一個標量場的梯度，即如果，則存在標量函數(shù)，使得有 （1.36） 2. 無散場 矢量場的旋度有一個重要性質(zhì)，就是旋度的散度恒等于零，即 （1.37） 一個散度處處

9、為零的矢量場稱為無散場，可以把它表示為另一矢量場的旋度，即如果，則存在矢量函數(shù)，使得 （1.38） 1.1.6拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算 在直角坐標、圓柱坐標、球坐標中，的表達式分別為 （1.39） （1.40） （1.41） 2. 格林定理 格林第一定理（格林第一恒等式） （1.42） 格林第二定理（格林第二恒等式）

10、 （1.43） 1.1.7 亥姆霍茲定理 矢量場的散度和旋度都是表示矢量場的性質(zhì)的量度，一個矢量場所具有的性質(zhì)，可由它的散度和旋度來說明。而且，可以證明：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場的分布）惟一地確定，且可表示為 （1.44） 1.2教學基本要求及重點、難點 1.2.1 教學基本要求 理解標量場與矢量場的概念，了解標量場的等值面和矢量場的矢量線的概念； 直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系是三種常用的坐標系，應熟練掌握； 矢量場的散度和旋度、標量場的梯度是矢量分析中最基本的重要概念，

11、應深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的計算公式和方法； 散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的兩個重要定理，應熟練掌握和應用； 理解亥姆霍茲定理的重要意義。 1.2.2 重點、難點討論 （1）矢量場散度和旋度描述矢量場的不同性質(zhì)，主要的區(qū)別在于： ① 一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)； ② 旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關系； ③ 如果矢量場所在的空間中，，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的空間中，，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；

12、 ④ 在旋度公式（1.31）中，矢量場的場分量、、分別只對與其垂直方向的坐標變量求偏導數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；而在散度公式（1.26）中，矢量場的場分量、、分別只對、、求偏導數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。 （2）亥姆霍茲定理總結了矢量場的基本性質(zhì)，矢量場由它的散度和旋度惟一地確定，矢量的散度和矢量的旋度各對應矢量場的一種源。所以，分析矢量場總是從研究它的散度和旋度著手，散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本方程（微分形式）。也可以從矢量場沿閉合面的通量和沿閉合路徑的環(huán)流著手，得到基本方程的積分形式。 （3）一個標量場的性

13、質(zhì)可由它的梯度來描述，即。標量場的梯度具有如下性質(zhì)： ① 標量場的梯度一個矢量場并且； ② 標量場中，在給定點沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即 ； ③ 標量場中每一點的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向增加的方向。 1.3習題解答 1.1 給定三個矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解 （1） （2） （3）－11 （4）由 ，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 1.2 三角形的三個頂點

14、為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。 解 （1）三個頂點、和的位置矢量分別為 ，， 則 ， ， 由此可見 故為一直角三角形。 （2）三角形的面積 1.3 求點到點的距離矢量及的方向。 解 ，， 則 且與、、軸的夾角分別為 1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。 解 故與之間的夾角為 在上的分量為 1.5 給定兩矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量為 1.6 證明

15、：如果和，則； 解 由，則有，即 由于，于是得到 故 1.7 如果給定一個未知矢量與一個已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設為一已知矢量，而，和已知，試求。 解 由，有 故得 1.8 在圓柱坐標中，一點的位置由定出，求該點在：（1）直角坐標中的坐標；（2）球坐標中的坐標。 解 （1）在直角坐標系中 、、 故該點的直角坐標為。 （2）在球坐標系中 、、 故該點的球坐標為 1.9 用球坐標表示的場。 （1）求在直角坐標中

16、點處的和； （2）求在直角坐標中點處與矢量構成的夾角。 解 （1）在直角坐標中點處，，故 又在直角坐標中點處，，所以 故 （2） 在直角坐標中點處 故與構成的夾角為 1.10 球坐標中兩個點和定出兩個位置矢量和。證明和間夾角的余弦為 解 由 得到 1.11 求標量函數(shù)的梯度及在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量定出；求點的方向?qū)?shù)值。 解 故沿方向的方向?qū)?shù)為 點處沿的方向?qū)?shù)值為 1.12 已知標量函數(shù)。（1）求；（2）在哪些點上等于零。 解 （1

17、）； （2）由，得 1.13 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。 解 由于 故橢球表面上任意點的單位法向矢量為 1.14 利用直角坐標，證明 解 在直角坐標中 1.15 一個球面的半徑為，球心在原點上，計算：的值。 解 1.16 已知矢量，試確定常數(shù)、、使為無源場。 解 由，得 1.17 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量驗證散度定理。 解 在圓柱坐標系中 所以 又 故有 1.

18、18 求（1）矢量的散度；（2）求對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗證散度定理。 解 （1） （2）對中心在原點的一個單位立方體的積分為 （3）對此立方體表面的積分 故有 1.19 計算矢量對一個球心在原點、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。 解 又在球坐標系中，，所以 1.20 在球坐標系中，已知矢量，其中、和均為常數(shù)。（1）問矢量是否為常矢量；（2）求和。 解 （1） 即矢量的模為常數(shù)。 將矢量用直角坐標表示，有 由此可見矢量的方向隨和變化

19、，故矢量不是常矢量。 由上述結果可知，一個常矢量在球坐標系中不能表示為。 （2）在球坐標系中 1.21 求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。 題1.21圖 解 如題1.21圖所示 又 所以 故有 1.22 求矢量沿圓周的線積分，再計算對此圓面積的積分。 解 1.23 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。 解 （1） （2） （3）設 ，則，故 1.24

20、 一徑向矢量場表示，如果，那么函數(shù)會有什么特點呢？ 解 在圓柱坐標系中，由 可得到 為任意常數(shù)。 在球坐標系中，由 可得到 1.25 給定矢量函數(shù)，試求從點到點的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點的直線。這個是保守場嗎？ 解 （1） （2）連接點到點直線方程為 即 故 由此可見積分與路徑無關，故是保守場。 1.26 試采用與推導直角坐標中相似的方法推導圓柱坐標下的公式。 解 在圓柱坐標中，取小體積元如題1.26圖所示。矢量場沿方向穿出該六面體的表面的通量為

21、 題1.26圖 同理 因此，矢量場穿出該六面體的表面的通量為 故得到圓柱坐標下的散度表達式 1.27 現(xiàn)有三個矢量、、為 （1）哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示？ （2）求出這些矢量的源分布。 解（1）在球坐標系中 故矢量既可以由一個標量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示； 在圓柱坐標系中 故矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示； 直角在坐標系中 故矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。 （2）這些矢量的源分

22、布為 ，； ，； ，. 1.28 利用直角坐標，證明 解 在直角坐標中 1.29 證明 解 根據(jù)算子的微分運算性質(zhì)，有 式中表示只對矢量作微分運算，表示只對矢量作微分運算。 由，可得 同理 故有 1.30 利用直角坐標，證明 解 在直角坐標中 所以 1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。 解 （1）對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有 由于曲面是任意的，故有 （2）對于任意閉合曲面為邊界的體積，由散度定理有 題1.31圖 其中和如題1.31圖所示。由斯托克斯定理，有 由題1.31圖可知和是方向相反的同一回路，則有 所以得到 由于體積是任意的，故有 1－17.