電磁場與電磁波（第4版）教學(xué)指導(dǎo)書 第1章 矢量分析

第1章 矢量分析 1.1基本內(nèi)容概述 矢量分析是研究電磁場在空間的分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)工具之一。本章著重討論標(biāo)量場的梯度、矢量場的散度和旋度的概念及其運(yùn)算規(guī)律。 1.1.1 矢量代數(shù) 兩個(gè)矢量與的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，定義為 （1.1） 兩個(gè)矢量與的叉積是一個(gè)矢量， （1.2） 矢量與矢量的點(diǎn)積稱為標(biāo)量三重積，它具有如下運(yùn)算性質(zhì) （1.3） 矢量與矢量的叉積稱為矢量三重積，它具有如下運(yùn)算性質(zhì) （1.4） 1.1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系 1. 直角坐標(biāo)系（ ） 直角坐標(biāo)系中的三個(gè)相互正交的坐標(biāo)單位矢量為、和，遵循右手螺旋法則： 、、 （1.5） 長度元 （1.6） 面積元為 ，， （1.7） 體積元為 （1.8） 2. 圓柱坐標(biāo)系（） 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)相互正交的坐標(biāo)單位矢量為、和，遵循右手螺旋法則： 、、 （1.9） 長度元 （1.10） 面積元 ，， （1.11） 體積元 （1.12） 3. 球坐標(biāo)系（） 球坐標(biāo)系中的三個(gè)相互正交的坐標(biāo)單位矢量為、和，遵循右手螺旋法則： 、、 （1.13） 長度元 （1.14） 面積元 ，， （1.15） 體積元 （1.16） 4. 坐標(biāo)單位矢量之間的變換 、、與、、之間的變換關(guān)系為 0 0 0 0 1 、、與、、之間的變換關(guān)系為 0 0 0 1 0 、、與、、之間的變換關(guān)系為 0 1.1.3 標(biāo)量場的梯度 1. 標(biāo)量場的等值面 標(biāo)量場可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述 （1.17） 標(biāo)量場的等值面方程為 為常數(shù) （1.18） 2. 標(biāo)量場的方向?qū)?shù) 在直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為 （1.19） 式中、、是方向的方向余弦。 3. 標(biāo)量場的梯度 標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量，在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)中的分別表達(dá)式為 （1.20） （1.21） （1.22） 1.1.3矢量場的散度 1. 矢量場的矢量線 矢量場可用一個(gè)矢量函數(shù)來描述 （1.23） 矢量場的矢量線微分方程為 （1.24） 2．矢量場的通量 矢量場穿出閉合面的通量為 （1.25） 3．矢量場的散度 矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量，在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)中的表達(dá)式分別為 （1.26） （1.27） （1.28） 4．散度定理 矢量場的散度在體積上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合曲面S上的面積分，即 （1.29） 散度定理是矢量場中的體積分與面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中非常有用。 1.1.4 矢量場的旋度 1．矢量場的環(huán)流 矢量場沿閉合路徑的環(huán)流為 （1.30） 2．矢量場的旋度 矢量場的旋度是一個(gè)矢量，在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)中的表達(dá)式分別為 （1.31） （1.32） （1.33） 3．斯托克斯定理 矢量場的旋度在曲面S上的面積分等于矢量場在限定該曲面的閉合路徑的線積分，即 （1.34） 斯托克斯定理是矢量場中的面積分與線積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中也很有用。 1.1.5無旋場與無散場 1. 無旋場 標(biāo)量場的梯度有一個(gè)重要性質(zhì)，就是它的旋度恒等于零，即 （1.35） 一個(gè)旋度處處為零的矢量場稱為無旋場，可以把它表示為一個(gè)標(biāo)量場的梯度，即如果，則存在標(biāo)量函數(shù)，使得有 （1.36） 2. 無散場 矢量場的旋度有一個(gè)重要性質(zhì)，就是旋度的散度恒等于零，即 （1.37） 一個(gè)散度處處為零的矢量場稱為無散場，可以把它表示為另一矢量場的旋度，即如果，則存在矢量函數(shù)，使得 （1.38） 1.1.6拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1. 拉普拉斯運(yùn)算 在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)中，的表達(dá)式分別為 （1.39） （1.40） （1.41） 2. 格林定理 格林第一定理（格林第一恒等式） （1.42） 格林第二定理（格林第二恒等式） （1.43） 1.1.7 亥姆霍茲定理 矢量場的散度和旋度都是表示矢量場的性質(zhì)的量度，一個(gè)矢量場所具有的性質(zhì)，可由它的散度和旋度來說明。而且，可以證明：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場的分布）惟一地確定，且可表示為 （1.44） 1.2教學(xué)基本要求及重點(diǎn)、難點(diǎn) 1.2.1 教學(xué)基本要求 理解標(biāo)量場與矢量場的概念，了解標(biāo)量場的等值面和矢量場的矢量線的概念； 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系是三種常用的坐標(biāo)系，應(yīng)熟練掌握； 矢量場的散度和旋度、標(biāo)量場的梯度是矢量分析中最基本的重要概念，應(yīng)深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的計(jì)算公式和方法； 散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的兩個(gè)重要定理，應(yīng)熟練掌握和應(yīng)用； 理解亥姆霍茲定理的重要意義。 1.2.2 重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 （1）矢量場散度和旋度描述矢量場的不同性質(zhì)，主要的區(qū)別在于： ① 一個(gè)矢量場的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，而一個(gè)矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)； ② 旋度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與通量源的關(guān)系； ③ 如果矢量場所在的空間中，，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的空間中，，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）； ④ 在旋度公式（1.31）中，矢量場的場分量、、分別只對與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；而在散度公式（1.26）中，矢量場的場分量、、分別只對、、求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。 （2）亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，矢量場由它的散度和旋度惟一地確定，矢量的散度和矢量的旋度各對應(yīng)矢量場的一種源。所以，分析矢量場總是從研究它的散度和旋度著手，散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本方程（微分形式）。也可以從矢量場沿閉合面的通量和沿閉合路徑的環(huán)流著手，得到基本方程的積分形式。 （3）一個(gè)標(biāo)量場的性質(zhì)可由它的梯度來描述，即。標(biāo)量場的梯度具有如下性質(zhì)： ① 標(biāo)量場的梯度一個(gè)矢量場并且； ② 標(biāo)量場中，在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即 ； ③ 標(biāo)量場中每一點(diǎn)的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向增加的方向。 1.3習(xí)題解答 1.1 給定三個(gè)矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解 （1） （2） （3）－11 （4）由 ，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 1.2 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。 解 （1）三個(gè)頂點(diǎn)、和的位置矢量分別為 ，， 則 ， ， 由此可見 故為一直角三角形。 （2）三角形的面積 1.3 求點(diǎn)到點(diǎn)的距離矢量及的方向。 解 ，， 則 且與、、軸的夾角分別為 1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。 解 故與之間的夾角為 在上的分量為 1.5 給定兩矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量為 1.6 證明：如果和，則； 解 由，則有，即 由于，于是得到 故 1.7 如果給定一個(gè)未知矢量與一個(gè)已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)為一已知矢量，而，和已知，試求。 解 由，有 故得 1.8 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)在：（1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。 解 （1）在直角坐標(biāo)系中 、、 故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。 （2）在球坐標(biāo)系中 、、 故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為 1.9 用球坐標(biāo)表示的場。 （1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處的和； （2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處與矢量構(gòu)成的夾角。 解 （1）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處，，故 又在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處，，所以 故 （2） 在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處 故與構(gòu)成的夾角為 1.10 球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)和定出兩個(gè)位置矢量和。證明和間夾角的余弦為 解 由 得到 1.11 求標(biāo)量函數(shù)的梯度及在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量定出；求點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。 解 故沿方向的方向?qū)?shù)為 點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)值為 1.12 已知標(biāo)量函數(shù)。（1）求；（2）在哪些點(diǎn)上等于零。 解 （1）； （2）由，得 1.13 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。 解 由于 故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為 1.14 利用直角坐標(biāo)，證明 解 在直角坐標(biāo)中 1.15 一個(gè)球面的半徑為，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：的值。 解 1.16 已知矢量，試確定常數(shù)、、使為無源場。 解 由，得 1.17 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量驗(yàn)證散度定理。 解 在圓柱坐標(biāo)系中 所以 又 故有 1.18 求（1）矢量的散度；（2）求對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。 解 （1） （2）對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為 （3）對此立方體表面的積分 故有 1.19 計(jì)算矢量對一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。 解 又在球坐標(biāo)系中，，所以 1.20 在球坐標(biāo)系中，已知矢量，其中、和均為常數(shù)。（1）問矢量是否為常矢量；（2）求和。 解 （1） 即矢量的模為常數(shù)。 將矢量用直角坐標(biāo)表示，有 由此可見矢量的方向隨和變化，故矢量不是常矢量。 由上述結(jié)果可知，一個(gè)常矢量在球坐標(biāo)系中不能表示為。 （2）在球坐標(biāo)系中 1.21 求矢量沿平面上的一個(gè)邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。 題1.21圖 解 如題1.21圖所示 又 所以 故有 1.22 求矢量沿圓周的線積分，再計(jì)算對此圓面積的積分。 解 1.23 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。 解 （1） （2） （3）設(shè) ，則，故 1.24 一徑向矢量場表示，如果，那么函數(shù)會有什么特點(diǎn)呢？ 解 在圓柱坐標(biāo)系中，由 可得到 為任意常數(shù)。 在球坐標(biāo)系中，由 可得到 1.25 給定矢量函數(shù)，試求從點(diǎn)到點(diǎn)的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)是保守場嗎？ 解 （1） （2）連接點(diǎn)到點(diǎn)直線方程為 即 故 由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。 1.26 試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式。 解 在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.26圖所示。矢量場沿方向穿出該六面體的表面的通量為 題1.26圖 同理 因此，矢量場穿出該六面體的表面的通量為 故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式 1.27 現(xiàn)有三個(gè)矢量、、為 （1）哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示？ （2）求出這些矢量的源分布。 解（1）在球坐標(biāo)系中 故矢量既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示； 在圓柱坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示； 直角在坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。 （2）這些矢量的源分布為 ，； ，； ，. 1.28 利用直角坐標(biāo)，證明 解 在直角坐標(biāo)中 1.29 證明 解 根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有 式中表示只對矢量作微分運(yùn)算，表示只對矢量作微分運(yùn)算。 由，可得 同理 故有 1.30 利用直角坐標(biāo)，證明 解 在直角坐標(biāo)中 所以 1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。 解 （1）對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有 由于曲面是任意的，故有 （2）對于任意閉合曲面為邊界的體積，由散度定理有 題1.31圖 其中和如題1.31圖所示。由斯托克斯定理，有 由題1.31圖可知和是方向相反的同一回路，則有 所以得到 由于體積是任意的，故有 1－17.