新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 課時分層訓練54 雙曲線 理 北師大版

課時分層訓練(五十四)　雙曲線 A組　基礎達標 一、選擇題 1．(20xx·石家莊一模)已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 A　[已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為－＝1，故選A.] 2．(20xx·合肥調(diào)研)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線x＋ 2y－1＝0垂直，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D.＋1 B　[由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故選B.] 3．已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為(　　) A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0) B　[由題設知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5. 所以點P的軌跡方程為－＝1(x>0)．] 4．(20xx·濟南一模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上一點到兩個焦點的距離分別為10和4，且離心率為2，則該雙曲線的虛軸長為(　　) 【導學號：79140296】 A．3 B．6 C．3 D．6 D　[由題意得2a＝10－4＝6，解得a＝3，又因為雙曲線的離心率e＝＝2，所以c＝6，則b＝＝3，所以該雙曲線的虛軸長為2b＝6，故選D.] 5．(20xx·天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 D　[根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設點A在漸近線y＝x上)． 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又點A在雙曲線的漸近線y＝x上，∴＝tan 60°＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. 故選D.] 二、填空題 6．過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝________. 4　[雙曲線的右焦點為F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為x2－＝0，將x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝4.] 7．設雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為________． 10　[由雙曲線的標準方程為－＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因為|AF1|＋|BF1|＝|AB|，當|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.] 8．(20xx·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________. 【導學號：79140297】 　[ 如圖，由題意知點A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點A到l的距離d＝. 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b， ∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2， ∴e＝＝＝.] 三、解答題 9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． [解]　橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5. 設雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. 10．已知雙曲線的中心在原點，左，右焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：1·2＝0. [解]　(1)∵e＝，∴可設雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴雙曲線的方程為x2－y2＝6. (2)法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴k＝，k＝， ∴k·k＝＝－. ∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故k·k＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0. 法二：由證法一知1＝(－3－2，－m)， 2＝(2－3，－m)， ∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵點M在雙曲線上， ∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴1·2＝0.] B組　能力提升 11．(20xx·康杰中學)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若△OAB的面積為，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　 B. C. D. D　[由題意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.] 12．(20xx·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.] 13．(20xx·湖南五市十校聯(lián)考)已知離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2. (1)求橢圓及雙曲線的方程． (2)設橢圓的左、右頂點分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P，連接BP交橢圓于點M，連接PA并延長交橢圓于點N，若＝，求四邊形ANBM的面積. 【導學號：79140298】 [解]　(1)設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，則根據(jù)題意知雙曲線的方程為－＝1且滿足 解方程組得 所以橢圓的方程為＋＝1， 雙曲線的方程為－＝1. (2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)， |AB|＝10， 設M(x0，y0)，則由＝得M為BP的中點，所以P點坐標為(2x0－5, 2y0)． 將M，P坐標代入橢圓和雙曲線方程， 得 消去y0，得2x－5x0－25＝0. 解得x0＝－或x0＝5(舍去)． 所以y0＝. 由此可得M， 所以P(－10,3)． 當P為(－10,3)時， 直線PA的方程是y＝(x＋5)， 即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0. 所以x＝－或－5(舍去)， 所以xN＝－，xN＝xM，MN⊥x軸． 所以S四邊形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15.