【教案】直接開平方法

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1、21.2.1 直接開平方法 教學內(nèi)容 運用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程． 教學目標 知識與技能 理解一元二次方程“降次”──轉化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題． 過程與方法 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 情感態(tài)度與價值觀 歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關概念的過程,使同學們體會到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型;經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程,使同

2、學們體會到轉化等數(shù)學思想;經(jīng)歷設置豐富的問題情景,使學生體會到建立數(shù)學模型解決實際問題的過程,從而更好地理解方程的意義和作用,激發(fā)學生的學習興趣. 重、難點 1．重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領會降次──轉化的數(shù)學思想． 2．難點：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題 問題1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2； （2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2； （3）x2+

3、px+_____=（x+______）2． 問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點同時出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？ 老師點評： 問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2； （3）（）2． 問題2：設x秒后△PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以驗證，2和-2都是

4、方程x·2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值． 所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2． 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得 x=±2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ （學生分組討論） 老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞， 那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的兩根為t1=-，t2=-- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：

5、x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2．市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率． 分析：設每年人均住房面積增長率為x．一年后人均住房面積就應該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應該是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：設每年人均住房面積增長率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因為每年

6、人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去． 所以，每年人均住房面積增長率應為20%． （學生小結）老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？ 共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉化思想”． 三、鞏固練習 教材P6練習． 四、應用拓展 例3．某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？ 分析：設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+x）2． 解：設該公司二

7、、三月份營業(yè)額平均增長率為x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當成一個數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因為增長率為正數(shù)， 所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%． 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握： 由應用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達到降次轉化之目的． 六、布置作業(yè) 1．教材P16復習鞏固1． 2．選用作業(yè)設計: 4 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改