《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書:第1章 第3節(jié) 全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非” Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書:第1章 第3節(jié) 全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非” Word版含解析(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三節(jié) 全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”
[最新考綱] 1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
1.全稱量詞和存在量詞
(1)常見(jiàn)的全稱量詞有:“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等.
(2)常見(jiàn)的存在量詞有:“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”“有一個(gè)”“某個(gè)”“有的”等.
2.全稱命題與特稱命題
(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題.
(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題.
3.命題的否定
(1)全稱命題的否定是特稱命題;特稱命題的否定是全稱命題.
(2
2、)p或q的否定為:綈p且綈q;p且q的否定為:綈p或綈q.
4.邏輯聯(lián)結(jié)詞
(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.
(2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
1.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律
(1)p或q:p,q中有一個(gè)為真,則p或q為真,即有真即真.
(2)p且q:p,q中有一個(gè)為假,則p且q為假,即有假即假.
(3)綈p:與p的真假相反,即一真一假,真假相反.
2.含有一個(gè)量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞
3、,否結(jié)論”.
3.命題的否定和否命題的區(qū)別:命題“若p,則q”的否定是“若p,則綈q”,否命題是“若綈p,則綈q”.
一、思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)命題“3≥2”是真命題.( )
(2)若命題p且q為假命題,則命題p,q都是假命題.( )
(3)命題“對(duì)頂角相等”的否定是“對(duì)頂角不相等”.( )
(4)“全等的三角形面積相等”是全稱命題.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
二、教材改編
1.命題“任意x∈R,x2+x≥0”的否定是( )
A.存在x0∈R,x+x0≤0
B.存在x0∈R,x+x0<0
C.任意x
4、∈R,x2+x≤0
D.任意x∈R,x2+x<0
B [由全稱命題的否定是特稱命題知選項(xiàng)B正確.故選B.]
2.下列命題中的假命題是( )
A.存在x0∈R,lg x0=1
B.存在x0∈R,sin x0=0
C.任意x∈R,x3>0
D.任意x∈R,2x>0
C [當(dāng)x=10時(shí),lg 10=1,則A為真命題;當(dāng)x=0時(shí),sin 0=0,則B為真命題;當(dāng)x≤0時(shí),x3≤0,則C為假命題;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,任意x∈R,2x>0,則D為真命題.故選C.]
3.已知p:2是偶數(shù),q:2是質(zhì)數(shù),則命題綈p,綈q,p或q,p
且q中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
5、C.3 D.4
B [p和q顯然都是真命題,所以綈p,綈q都是假命題,p或q,
p且q都是真命題.]
4.命題“實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是________.
存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù) [全稱命題的否定是特稱命題,故應(yīng)填:存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù).]
考點(diǎn)1 全稱命題、特稱命題
(1)全稱命題與特稱命題的否定
①改寫量詞:確定命題所含量詞的類型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對(duì)量詞進(jìn)行改寫.
②否定結(jié)論:對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.
(2)全稱命題與特稱命題真假的判斷方法
命題名稱
真假
判斷方法一
判斷方法二
全稱命題
真
所有對(duì)象使命題真
6、否定為假
假
存在一個(gè)對(duì)象使命題假
否定為真
特稱命題
真
存在一個(gè)對(duì)象使命題真
否定為假
全稱命題、特稱命題的否定
(1)(2019·西安模擬)命題“任意x>0,>0”的否定是( )
A.存在x<0,≤0 B.存在x>0,0≤x≤1
C.任意x>0,≤0 D.任意x<0,0≤x≤1
(2)已知命題p:存在m∈R,f(x)=2x-mx是增函數(shù),則綈p為
( )
A.存在m∈R,f(x)=2x-mx是減函數(shù)
B.任意m∈R,f(x)=2x-mx是減函數(shù)
C.存在m∈R,f(x)=2x-mx不是增函數(shù)
D.任意m∈R,f(x)=2x-mx不是增函數(shù)
7、(1)B (2)D [(1)因?yàn)椋?,
所以x<0或x>1,
所以>0的否定是0≤x≤1,
所以命題的否定是存在x>0,0≤x≤1,故選B.
(2)由特稱命題的否定可得綈p為“任意m∈R,f(x)=2x-mx不
是增函數(shù)”.]
全(特)稱命題的否定方法:任意x∈M,p(x)存在x0∈M,綈p(x0),簡(jiǎn)記:改量詞,否結(jié)論.
全稱命題、特稱命題的真假判斷
(1)下列命題中的假命題是( )
A.任意x∈R,x2≥0
B.任意x∈R,2x-1>0
C.存在x0∈R,lg x0<1
D.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2
(2)下列四個(gè)命題:
p1:存在x
8、0∈(0,+∞),x0< x0;
p2:存在x0∈(0,1),logx0>logx0;
p3:任意x∈(0,+∞),x>logx;
p4:任意x∈,x<logx.
其中的真命題是( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
(1)D (2)D [(1)A顯然正確;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知2x-1>0恒成立,所以B正確;當(dāng)0<x<10時(shí),lg x<1,所以C正確;因?yàn)閟in x+cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以D錯(cuò)誤.
(2)對(duì)于p1,當(dāng)x0∈(0,+∞)時(shí),總有x0>x0成立,故p1是假命題;對(duì)于p2,當(dāng)x0=時(shí),有1
9、=log=log>log成立,故p2是真命題;對(duì)于p3,結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=x與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx在(0,+∞)上的圖像,可以判斷p3是假命題;對(duì)于p4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=x與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx在上的圖像可以判斷p4是真命題.]
因?yàn)槊}p與綈p的真假性相反,因此不管是全稱命
題,還是特稱命題,當(dāng)其真假不容易正面判斷時(shí),可先判斷其否定的真假.
1.命題“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N+,f(n)?N+且f(n)>n
B.任意n∈N+,f(n)?N+或f(n)>n
C.存在x0∈N+,f(n0)?N+且f(n0)>n0
D.存在n
10、0∈N+,f(n0)?N+或f(n0)>n0
D [“f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N+或f(n)>n”,全稱命題的否定為特稱命題,故選D.]
2.已知命題p:存在x0∈0,,使得cos x0≤x0,則綈p為________,是________命題(填“真”或“假”).
任意x∈0,,都有cos x>x 假 [綈p:任意x∈0,,都有cos x>x,此命題是假命題.]
考點(diǎn)2 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷
判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的一般步驟
(1)判斷復(fù)合命題的結(jié)構(gòu).
(2)判斷構(gòu)成復(fù)合命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假.
(3)依據(jù)“‘或’:一真即真;‘且
11、’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判斷即可.
[一題多解](2019·全國(guó)卷Ⅲ)記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p:存在(x,y)∈D,2x+y≥9;命題q:任意(x,y)∈D,2x+y≤12.下面給出了四個(gè)命題
①p或q?、诮恜或q ③p且綈q?、芙恜且綈 q
這四個(gè)命題中,所有真命題的編號(hào)是( )
A.①③ B.①②
C.②③ D.③④
A [法一:畫出可行域如圖中陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)z=2x+y是一條平行移動(dòng)的直線,且z的幾何意義是直線z=2x+y的縱截距.顯然,直線過(guò)點(diǎn)A(2,4)時(shí),zmin=2×2+4=8,即z=2x+y≥8.∴2x+y∈[8,+∞).
12、由此得命題p:存在(x,y)∈D,2x+y≥9正確;
命題q:任意(x,y)∈D,2x+y≤12不正確.∴①③真,②④假.故選A.
法二:取x=4,y=5,滿足不等式組且滿足2x+y≥9,不滿足2x+y≤12,故p真,q假.
∴①③真,②④假.故選A.]
含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價(jià)關(guān)系
(1)p或q真?p,q至少一個(gè)真?(綈p)且(綈q)假.
(2)p或q假?p,q均假?(綈p)且(綈q)真.
(3)p且q真?p,q均真?(綈p)或(綈q)假.
(4)p且q假?p,q至少一個(gè)假?(綈p)或(綈q)真.
(5)綈p真?p假;綈p假?p真.
1.(2019·石家莊模擬)命題
13、p:若sin x>sin y,則x>y;命題q:x2+y2≥2xy.下列命題為假命題的是( )
A.p或q B.p且q
C.q D.綈p
B [取x=,y=,可知命題p不正確;由(x-y)2≥0恒成立,可知命題q正確,故綈p為真命題,p或q是真命題,p且q是假命題.]
2.給定下列命題:
p1:函數(shù)y=ax+x(a>0,且a≠1)在R上為增函數(shù);
p2:存在a,b∈R,a2-ab+b2<0;
p3:cos α=cos β成立的一個(gè)充分不必要條件是α=2kπ+β(k∈Z).
則下列命題中的真命題為( )
A.p1或p2 B.p2且p3
C.p1或(綈p3) D.(綈p2)
14、且p3
D [對(duì)于p1:令y=f(x),當(dāng)a=時(shí),f(0)=0+0=1,f(-1)=-1-1=1,所以p1為假命題;對(duì)于p2:a2-ab+b2=2+b2≥0,所以p2為假命題;對(duì)于p3:由cos α=cos β,可得α=2kπ±β(k∈Z),所以p3是真命題,所以(綈p2)且p3為真命題.]
考點(diǎn)3 由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍
根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟
(1)根據(jù)題目條件,推出每一個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況).
(2)求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍.
(3)根據(jù)每個(gè)命題的真假情況,求出參數(shù)的取值范圍.
已知p:存在x0∈R,mx+1≤0,q:任意x∈
15、R,x2+mx+1>0,若p或q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
[解] 依題意知p,q均為假命題,當(dāng)p是假命題時(shí),mx2+1>0恒成立,則有m≥0;當(dāng)q是真命題時(shí),則有Δ=m2-4<0,-2<m<2.因此由p,q均為假命題得即m≥2.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2,+∞).
[母題探究]
1.(變問(wèn)法)在本例條件下,若p且q為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
[解] 依題意知p,q均為真命題,當(dāng)p是真命題時(shí),有m<0;
當(dāng)q是真命題時(shí),有-2<m<2,
由可得-2<m<0.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-2,0).
2.(變問(wèn)法)在本例條件下,若p且q為假,p或q為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
16、
[解] 若p且q為假,p或q為真,則p,q一真一假.
當(dāng)p真q假時(shí)所以m≤-2;
當(dāng)p假q真時(shí)所以0≤m<2.
所以m的取值范圍是(-∞,-2]∪[0,2).
根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍的策略
(1)全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,特稱命題可轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題.
(2)含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍,可根據(jù)命題的含義,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決.
1.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若對(duì)任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
A [當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)min=f(0)
17、=0,
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),g(x)min=g(2)=-m,
由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,
所以m≥,故選A.]
2.已知命題p:關(guān)于x的方程x2-ax+4=0有實(shí)根;命題q:關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函數(shù).若p或q是真命題,p且q是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
(-∞,-12)∪(-4,4) [命題p等價(jià)于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命題q等價(jià)于-≤3,即a≥-12.由p或q是真命題,p且q是假命題知,命題p和q一真一假.若p真q假,則a<-12;若p假q真,
則-4<a<4.故a的取值范圍是(-∞,-12)∪(-4,4).]